空间向量及其应用（一）讲义（含答案）
文档属性
| 名称 | 空间向量及其应用（一）讲义（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 407.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-27 04:05:13 | ||
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文档简介
空间向量及其应用（一）
基本概念
1．空间向量的概念
向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
向量与平面平行：如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作∥。注意：向量∥与直线a∥的联系与区别。
共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理 如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y，使①
空间向量基本定理：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使
3．（1）用空间向量处理“平行”问题
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
线线平行∥∥； 线面平行∥；
面面平行∥∥
（2）用空间向量处理“垂直”问题
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
线线垂直⊥∥；
线面垂直⊥⊥，⊥（是两条相交的直线）；
线面垂直⊥∥； 面面垂直 ⊥⊥
（3）设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
异面直线所成角：
直线与平面所成角：
两个平面的夹角（平面的法向量分别为）：
（4）异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线，AB为其公垂线段，C、D分别为上的任意一点，为与共线的向量，则｜｜＝.（5）设平面α的一个法向量为，点P是平面α外一点，且Po∈α，则点P到平面α的距离是d＝.
3．当解空间图形问题几何法难进行时,可以尝试运用空间向量(或坐标)来处理(三步曲):
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)（化为向量问题或向量的坐标问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系及它们之间距离和夹角等问题（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回到图形）
巩固训练
一、选择题。
1．有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）
①② ①③ ②③ ①②③
2．下列命题正确的是（ ）
若与共线，与共线，则与共线；
向量共面就是它们所在的直线共面；
零向量没有确定的方向；
若，则存在唯一的实数使得；
3．如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
4．已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（ ）
A. ：||=：|| B.a1·b1=a2·b2=a3·b3
C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零实数k，使=k
5．已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（ ）
A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1
6．下列各组向量共面的是（ ）
A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)
B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)
C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)
D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)
7．设、、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①（·）－（·）= ②||－||<|－| ③（·）－（·）不与垂直
④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命题的有（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
8．关于直线、与平面、，有下列四个命题：
①且，则； ②且，则；
③且，则； ④且，则.
其中真命题的序号是 （ ）
A. ①、② B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③
9．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则△BCD是 （ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
10．已知=，=，则以为邻边的平行四边形的面积为 （ ）
A． B． C．4 D．8
11． 设是平面外一点，点满足条件，则直线 （ ）
A．与平面平行 B．是平面的斜线
C．是平面的垂线 D．在平面内
12．已知四边形ABCD满足，，，，，则该四边形ABCD为 （ ）
A．平行四边形 B．空间四边形 C．平面四边形 D．梯形
13．已知非零向量及平面，若向量是平面的法向量，则是向量所在直线平行于平面或在平面内的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知四面体ABCD中，AB、AC、AD两两互相垂直，给出下列两个命题：
①；
②=．
则下列关于以上两个命题的真假性判断正确的为 （ ）
A．①真、②真 B．①真、②假 C．①假、②假 D．①假、②真
二、填空题
1. 已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2－）·=_____.
2. 空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD与ADEF，设M，N分别是BD和AE的中点，给出如下命题：
①AD⊥MN； ②MN∥面CDE； ③MN∥CE； ④MN，CE异面
则所有的正确命题为 。
三、解答题
1．已知：且不共面.若∥,求的值.
2．已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设=，=，（1）求和的夹角；（2）若向量k+与k－2互相垂直，求k的值.
3. 设空间两个不同的单位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)与向量=(1，1，1)的夹角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π。
4. （1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：++≤4。
（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。
5. 如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E是PD的中点．证明：PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC．
(
D
E
B
A
C
P
)
(
x
y
z
B
1
C
1
A
1
C
B
A
M
N
)6. 如图，直三棱柱，底面中，CA＝CB＝1，，棱，M、N分别A1B1、A1A是的中点．
(1) 求BM的长； (2) 求的值； (3) 求证：．
7. 已知为原点，向量∥，求．
8. 如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4.
(
Z
A
D
G
E
F
C
B
x
y
)(1) 求和点G的坐标；
(2) 求GE与平面ABCD所成的角；
(3) 求点C到截面AEFG的距离．
答案：
一、1. C 2. C 3. A 4. D 5. A 6.A 7. D 8. D 9. C 10.A 11．D
12．B 13．C 14．A
二、1.答案：13；解析：∵（2－）·=22－·=2||2－||·||·cos120°=2·4－2·5（－）=13。 2. ①②③
三、
1. 解：∥,,且即
又不共面,
2.解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，=，=，
∴=(1，1，0)，=（－1，0，2）.
(1)cos==－，
∴和的夹角为－。
(2)∵k+=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），
k－2=（k+2，k，－4），且(k+)⊥（k－2），
∴（k－1，k，2）·（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。
则k=－或k=2。
3. 解：(1)∵||=||=1，∴x+y=1，∴x=y=1.
又∵与的夹角为，∴·=||||cos==.
又∵·=x1+y1，∴x1+y1=。
另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=()2－1=.∴x1y1=。
(2)cos<，>==x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=，x1y1=.∴x1，y1是方程x2－x+=0的解.
∴或同理可得或
∵≠，∴或
∴cos<，>=·+·=+=.
∵0≤<，>≤π，∴<，>=。
4. 解析：（1）设=(，，)，=(1，1，1)，
则||=4，||=.
∵·≤||·||，
∴·=++≤||·||=4.
当==时，即a=b=c=时，取“=”号。
（2）解：W=F·s=(F1+F2+F3)·=14。
5. 先证明PA⊥平面ABCD．
建立空间直角坐标系A-xyz，则
A（0，0，0），B（），D（0，a，0），P（0，0，a），于是，
，=（），=（0，a，0）．
(
D
E
P
B
A
C
O
G
H
z
y
x
) ∵=0+0+0=0，=0+0+0=0，
∴AP⊥AB，AP⊥AD．
∵AB、AD为平面ABCD内的两相交直线，
∴AP⊥平面ABCD．
再证明PB∥平面EAC．
因为
，
所以、、共面．
又PB平面EAC，所以PB∥平面EAC．
6. 解：以C为原点建立空间直角坐标系.
(1) 依题意得B（0，1，0），M（1，0，1）．.
(2) 依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）.
.
(3) 证明：依题意得C1（0，0，2），N.
7. 解：设，
∵∥，∴，，
∴，即
解此方程组，得。
∴，。
8. 解：(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)，
E(1，4，3)，F(0，4，4) ∴
又∵，设G(0，0，z)，则(－1，0，z)
＝(－1，0，1) ∴z＝1 ∴G(0，0，1)
(2)平面ABCD的法向量
，设GE与平面ABCD成角为，则
∴
(3)设⊥面AEFG，＝(x0，y0，z0)
∵⊥，⊥，而＝(－1，0，1)，＝(0，4，3)
∴
取z0＝4，则＝(4，－3，4)
∵
即点C到截面AEFG的距离为．
基本概念
1．空间向量的概念
向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。
向量与平面平行：如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作∥。注意：向量∥与直线a∥的联系与区别。
共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。
共面向量定理 如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y，使①
空间向量基本定理：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使
3．（1）用空间向量处理“平行”问题
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
线线平行∥∥； 线面平行∥；
面面平行∥∥
（2）用空间向量处理“垂直”问题
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
线线垂直⊥∥；
线面垂直⊥⊥，⊥（是两条相交的直线）；
线面垂直⊥∥； 面面垂直 ⊥⊥
（3）设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
异面直线所成角：
直线与平面所成角：
两个平面的夹角（平面的法向量分别为）：
（4）异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线，AB为其公垂线段，C、D分别为上的任意一点，为与共线的向量，则｜｜＝.（5）设平面α的一个法向量为，点P是平面α外一点，且Po∈α，则点P到平面α的距离是d＝.
3．当解空间图形问题几何法难进行时,可以尝试运用空间向量(或坐标)来处理(三步曲):
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)（化为向量问题或向量的坐标问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系及它们之间距离和夹角等问题（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回到图形）
巩固训练
一、选择题。
1．有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）
①② ①③ ②③ ①②③
2．下列命题正确的是（ ）
若与共线，与共线，则与共线；
向量共面就是它们所在的直线共面；
零向量没有确定的方向；
若，则存在唯一的实数使得；
3．如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
4．已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（ ）
A. ：||=：|| B.a1·b1=a2·b2=a3·b3
C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零实数k，使=k
5．已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（ ）
A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1
6．下列各组向量共面的是（ ）
A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)
B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)
C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)
D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)
7．设、、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则
①（·）－（·）= ②||－||<|－| ③（·）－（·）不与垂直
④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命题的有（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
8．关于直线、与平面、，有下列四个命题：
①且，则； ②且，则；
③且，则； ④且，则.
其中真命题的序号是 （ ）
A. ①、② B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③
9．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则△BCD是 （ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
10．已知=，=，则以为邻边的平行四边形的面积为 （ ）
A． B． C．4 D．8
11． 设是平面外一点，点满足条件，则直线 （ ）
A．与平面平行 B．是平面的斜线
C．是平面的垂线 D．在平面内
12．已知四边形ABCD满足，，，，，则该四边形ABCD为 （ ）
A．平行四边形 B．空间四边形 C．平面四边形 D．梯形
13．已知非零向量及平面，若向量是平面的法向量，则是向量所在直线平行于平面或在平面内的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知四面体ABCD中，AB、AC、AD两两互相垂直，给出下列两个命题：
①；
②=．
则下列关于以上两个命题的真假性判断正确的为 （ ）
A．①真、②真 B．①真、②假 C．①假、②假 D．①假、②真
二、填空题
1. 已知向量和的夹角为120°，且||=2，||=5，则（2－）·=_____.
2. 空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD与ADEF，设M，N分别是BD和AE的中点，给出如下命题：
①AD⊥MN； ②MN∥面CDE； ③MN∥CE； ④MN，CE异面
则所有的正确命题为 。
三、解答题
1．已知：且不共面.若∥,求的值.
2．已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设=，=，（1）求和的夹角；（2）若向量k+与k－2互相垂直，求k的值.
3. 设空间两个不同的单位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)与向量=(1，1，1)的夹角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π。
4. （1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：++≤4。
（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。
5. 如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，点E是PD的中点．证明：PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC．
(
D
E
B
A
C
P
)
(
x
y
z
B
1
C
1
A
1
C
B
A
M
N
)6. 如图，直三棱柱，底面中，CA＝CB＝1，，棱，M、N分别A1B1、A1A是的中点．
(1) 求BM的长； (2) 求的值； (3) 求证：．
7. 已知为原点，向量∥，求．
8. 如图，多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得，其中AB＝4，BC＝1，BE＝3，CF＝4.
(
Z
A
D
G
E
F
C
B
x
y
)(1) 求和点G的坐标；
(2) 求GE与平面ABCD所成的角；
(3) 求点C到截面AEFG的距离．
答案：
一、1. C 2. C 3. A 4. D 5. A 6.A 7. D 8. D 9. C 10.A 11．D
12．B 13．C 14．A
二、1.答案：13；解析：∵（2－）·=22－·=2||2－||·||·cos120°=2·4－2·5（－）=13。 2. ①②③
三、
1. 解：∥,,且即
又不共面,
2.解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，=，=，
∴=(1，1，0)，=（－1，0，2）.
(1)cos==－，
∴和的夹角为－。
(2)∵k+=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），
k－2=（k+2，k，－4），且(k+)⊥（k－2），
∴（k－1，k，2）·（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。
则k=－或k=2。
3. 解：(1)∵||=||=1，∴x+y=1，∴x=y=1.
又∵与的夹角为，∴·=||||cos==.
又∵·=x1+y1，∴x1+y1=。
另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=()2－1=.∴x1y1=。
(2)cos<，>==x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=，x1y1=.∴x1，y1是方程x2－x+=0的解.
∴或同理可得或
∵≠，∴或
∴cos<，>=·+·=+=.
∵0≤<，>≤π，∴<，>=。
4. 解析：（1）设=(，，)，=(1，1，1)，
则||=4，||=.
∵·≤||·||，
∴·=++≤||·||=4.
当==时，即a=b=c=时，取“=”号。
（2）解：W=F·s=(F1+F2+F3)·=14。
5. 先证明PA⊥平面ABCD．
建立空间直角坐标系A-xyz，则
A（0，0，0），B（），D（0，a，0），P（0，0，a），于是，
，=（），=（0，a，0）．
(
D
E
P
B
A
C
O
G
H
z
y
x
) ∵=0+0+0=0，=0+0+0=0，
∴AP⊥AB，AP⊥AD．
∵AB、AD为平面ABCD内的两相交直线，
∴AP⊥平面ABCD．
再证明PB∥平面EAC．
因为
，
所以、、共面．
又PB平面EAC，所以PB∥平面EAC．
6. 解：以C为原点建立空间直角坐标系.
(1) 依题意得B（0，1，0），M（1，0，1）．.
(2) 依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）.
.
(3) 证明：依题意得C1（0，0，2），N.
7. 解：设，
∵∥，∴，，
∴，即
解此方程组，得。
∴，。
8. 解：(1) 由图可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)，
E(1，4，3)，F(0，4，4) ∴
又∵，设G(0，0，z)，则(－1，0，z)
＝(－1，0，1) ∴z＝1 ∴G(0，0，1)
(2)平面ABCD的法向量
，设GE与平面ABCD成角为，则
∴
(3)设⊥面AEFG，＝(x0，y0，z0)
∵⊥，⊥，而＝(－1，0，1)，＝(0，4，3)
∴
取z0＝4，则＝(4，－3，4)
∵
即点C到截面AEFG的距离为．