第三章 函数的概念与性质 期末试题汇编（含解析）

第三章 函数的概念与性质期末试题汇编 2021-2022学年北京地区高中必修1人教A版
一．选择题
1．（2022春 昌平区期末）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（　　）
A． B． C．y＝2x D．y＝log2x
2．（2021秋 丰台区期末）下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（　　）
A． B．y＝x3 C．y＝|x| D．y＝2x
3．（2021秋 通州区期末）已知函数y＝f（x）表示为：
x [﹣2，0） 0 （0，2]
y 1 0 ﹣2
设f（1）＝m，f（x）的值域为M，则（　　）
A．m＝﹣2，M＝{﹣2，0，1} B．m＝﹣2，M＝{y|﹣2≤y≤1}
C．m＝1，M＝{﹣2，0，1} D．m＝1，M＝{y|﹣2≤y≤1}
4．（2022春 北京期末）f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）（x）＝0，若，则＝（　　）
A． B． C． D．
5．（2021秋 房山区期末）下列函数中，值域是R的幂函数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2021秋 朝阳区期末）设函数，若f（x）≤2（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（0，4] C．[﹣1，4] D．（﹣∞，4]
7．（2021秋 东城区期末）已知函数f（x）＝ln（ax﹣b）的定义域是（1，+∞）（x）＝（ax+b）（x﹣1）在区间（﹣1，1）上（　　）
A．有最小值无最大值
B．有最大值无最小值
C．既有最小值也有最大值
D．没有最小值也没有最大值
8．（2021春 通州区期末）已知f（x）＝，若集合{x|x＞0，f（x）＝f（﹣x），则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0） B．[0，2） C．[0，4） D．[2，4）
9．（2022春 朝阳区期末）已知函数若存在唯一的整数x，使得，则所有满足条件的整数a的取值集合为（　　）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1}
C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1}
10．（2022春 海淀区校级期末）已知函数f（x）＝，其中a＞0，且a≠1．给出下列三个结论：
①函数f（x）是单调函数；
②当0＜a＜1时，函数f（x）的图象关于直线y＝x对称；
③存在a＞1，使方程f（x）＝x恰有1个实根．
其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二．填空题
11．（2022春 东城区期末）函数的定义域为 　 　．
12．（2022春 海淀区校级期末）若函数f（x）＝ln（）+b是奇函数　 　，b＝　 　．
13．（2021秋 海淀区校级期末）已知x∈[﹣3，﹣1]，则函数　 　，最小值为 　 　．
14．（2021秋 海淀区期末）已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1），给出下列四个结论：
①存在实数a，使得f（x）有最小值；
②对任意实数a（a＞0且a≠1），f（x）都不是R上的减函数；
③存在实数a，使得f（x）的值域为R；
④若a＞3，则存在x0∈（0，+∞），使得f （x0）＝f（﹣x0）．
其中所有正确结论的序号是 　 　．
三．解答题
15．（2021秋 房山区期末）已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）
16．（2021秋 房山区期末）已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1），f（1）＝1，f（3）＝2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）（x）的奇偶性，并证明．
17．（2021秋 平谷区期末）已知函数f（x）＝．
（Ⅰ）求f（﹣），f（）的值：
（Ⅱ）作出函数的简图；
（Ⅲ）由简图指出函数的值域；
（Ⅳ）由简图得出函数的奇偶性，并证明．
18．（2021秋 大兴区期末）已知函数．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）设0＜x1＜x2＜1，证明：f（x1）＞f（x2）．
19．（2022春 大兴区校级期末）已知函数．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并进行证明；
（2）若实数a满足，求实数a的取值范围．
20．（2022春 东城区期末）已知函数．
（1）求f（f（﹣1））的值；
（2）求不等式f（x）＞1的解集；
（3）当x0＜0时，是否存在使得f（x0）﹣f（﹣x0）＝0成立的x0值？若存在，直接写出x0的值；若不存在，说明理由．
21．（2021秋 海淀区期末）已知函数f（x）＝ax+b a﹣x（a＞0且a≠1），再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，说明理由；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明；
（Ⅲ）若f（|m|﹣3）不大于b f（2），直接写出实数m的取值范围．
条件①：a＞1，b＝1；
条件②：0＜a＜1，b＝﹣1．
第三章 函数的概念与性质期末试题汇编 2021-2022学年北京地区高中必修1人教A版
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2022春 昌平区期末）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（　　）
A． B． C．y＝2x D．y＝log2x
【解答】解：函数y＝x在区间（8；
函数y＝在区间（0；
函数y＝4x在区间（0，+∞）上递增；
函数y＝log2x在区间（6，+∞）上递增．
故选：B．
2．（2021秋 丰台区期末）下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（　　）
A． B．y＝x3 C．y＝|x| D．y＝2x
【解答】解：A：函数定义域（0，+∞）为非奇非偶函数；
B：y＝x3为奇函数，图象关于原点对称；
C：y＝|x|为偶函数，图象关于y轴对称；
D：y＝3x为非奇非偶函数，图象关于原点不对称．
故选：B．
3．（2021秋 通州区期末）已知函数y＝f（x）表示为：
x [﹣2，0） 0 （0，2]
y 1 0 ﹣2
设f（1）＝m，f（x）的值域为M，则（　　）
A．m＝﹣2，M＝{﹣2，0，1} B．m＝﹣2，M＝{y|﹣2≤y≤1}
C．m＝1，M＝{﹣2，0，1} D．m＝1，M＝{y|﹣2≤y≤1}
【解答】解：由函数关系知f（1）＝﹣2，即m＝﹣2，
函数的值域为{6，0，﹣2}，
故选：A．
4．（2022春 北京期末）f（x）是定义域为R的奇函数，且f（1+x）（x）＝0，若，则＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为f（1+x）﹣f（x）＝0，所以f（7+x）＝f（x），
所以函数的周期为1，
因为f（x）是定义域为R的奇函数，，
所以，
故选：C．
5．（2021秋 房山区期末）下列函数中，值域是R的幂函数是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在R上，函数y＝＝，故A满足条件；
由于函数y＝的值域为（7，故B不满足条件；
由于函数y＝＝ 的值域为[0，故B不满足条件；
由于函数y＝的值域为（0，故D不满足条件；
故选：A．
6．（2021秋 朝阳区期末）设函数，若f（x）≤2（　　）
A．[﹣1，+∞） B．（0，4] C．[﹣1，4] D．（﹣∞，4]
【解答】解：∵函数，
∴当x＞6时，f（x）≤2即log2x≤7，解得1＜x≤4，
当x≤6时，f（x）≤2即（）x≤2，解得﹣1≤x≤8，
综上所述不等式的解集为：[﹣1，4]，
故选：C．
7．（2021秋 东城区期末）已知函数f（x）＝ln（ax﹣b）的定义域是（1，+∞）（x）＝（ax+b）（x﹣1）在区间（﹣1，1）上（　　）
A．有最小值无最大值
B．有最大值无最小值
C．既有最小值也有最大值
D．没有最小值也没有最大值
【解答】解：因为函数f（x）＝ln（ax﹣b）的定义域是（1，+∞），
即不等式ax﹣b＞0的解集为（8，+∞），
所以a＞0且a﹣b＝0，即a＝b＞5，
所以g（x）＝（ax+b）（x﹣1）＝a（x﹣1）（x+7），
函数开口向上，对称轴为x＝0，0）上单调递减，8）上单调递增，
所以g（x）min＝g（0）＝﹣a，没有最大值，
故选：A．
8．（2021春 通州区期末）已知f（x）＝，若集合{x|x＞0，f（x）＝f（﹣x），则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，0） B．[0，2） C．[0，4） D．[2，4）
【解答】解：当a＜0时，f（x）＝2（x＞5）图象的对称轴左右部分均可以取到，
而y＝x2本身具有偶函数的性质，所以集合{x|x＞0，不符合题意；
当a＝7时，f（x）＝x，由4x＝x2，可得x＝2或x＝7，恰好两个解；
当a＞0时，若0＜x≤a时，，
则﹣x＜0＜a，f（﹣x）＝，
由f（x）＝f（﹣x），可得，不符合题意；
若x＞a时，可得，恰好两个解．
综上所述，实数a的取值范围为[0．
故选：B．
9．（2022春 朝阳区期末）已知函数若存在唯一的整数x，使得，则所有满足条件的整数a的取值集合为（　　）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1}
C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1}
【解答】解：令作出g（x）的图象如图所示：
等价于，表示点（x，2）所在直线的斜率，
可得曲线g（x）上只有一个整数点（x，g（x））与（a，
而点（a，3）在直线y＝2上运动，g（﹣1）＝8，
只有点（0，0）满足，只有点（﹣1，
当a＞1时，至少有（﹣5，（1，不满足唯一整数点，
当a＜﹣2时，至少有（0，（﹣5，不满足唯一整数点，
因为a为整数，故a可取﹣6，0，1，
故选：B．
10．（2022春 海淀区校级期末）已知函数f（x）＝，其中a＞0，且a≠1．给出下列三个结论：
①函数f（x）是单调函数；
②当0＜a＜1时，函数f（x）的图象关于直线y＝x对称；
③存在a＞1，使方程f（x）＝x恰有1个实根．
其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解答】解：因为函数f（x）＝，
当0＜a＜6时，f（x）＝ax﹣1在（﹣∞，0]上单调递减x﹣3≥f（0）＝0，
f（x）＝loga（x+1）在（3，+∞）单调递减a（x+1）＜loga1＝2，
所以f（x）在R上单调递减；
当a＞1时，f（x）＝ax﹣1在（﹣∞，2]上单调递增x﹣1≤f（0）＝0，
f（x）＝loga（x+8）在（0，+∞）单调递增a（x+1）＞loga8＝0，
所以f（x）在R上单调递增，命题①正确；
设P（x1，y5）为f（x）图象上的点，不妨设x1＞0，
因为5＜a＜1，所以y1＝loga（x6+1）＜0，
所以点P（x4，y1）关于直线y＝x对称的对称点为P′（y1，x7），
由y1＝loga（x1+7）得x1＝﹣31，x1）满足函数f（x）＝ax﹣6，
所以当0＜a＜1时，函数f（x）的图象关于直线y＝x对称；
当a＞2时，令f（x）＝x，
若x≤0，则ax＝x+1，若x＞4a（x+1）＝x化为ax＝x+1，
设y＝ax，则y′＝axlna，所以在点（5，
当a＝e时，直线y＝x+1与y＝ax相切，方程f（x）＝x根的个数为1，
当a＞6，且a≠e时x相切，方程f（x）＝x根的个数是1，
当a＞1，且a≠e时x相交，方程f（x）＝x根的个数为5．
综上知，所有正确结论的序号是①②③．
故选：D．
二．填空题（共4小题）
11．（2022春 东城区期末）函数的定义域为 　[1，+∞）　．
【解答】解：由可知：，
即函数的定义域为[7，
故答案为：[1，+∞）．
12．（2022春 海淀区校级期末）若函数f（x）＝ln（）+b是奇函数　1　，b＝　0　．
【解答】解：当x＝0时，f（0）＝ln1+b＝b有意义，
∵f（x）是奇函数，∴f（0）＝ln7+b＝b＝0，
得b＝0，
此时f（x）＝ln（），
∵f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（﹣x）+f（x）＝0，
得ln+ln（ ）＝ln，
即＝62＝1，即a＝4或a＝﹣1，
当a＝﹣1时，f（x）＝ln，此时f（x）为非奇非偶函数．
故a＝1，
故答案为：7；0．
13．（2021秋 海淀区校级期末）已知x∈[﹣3，﹣1]，则函数　﹣2　，最小值为 　﹣3　．
【解答】解：观察函数是由对勾函数，
由对勾函数性质可知y1在（﹣∞，﹣8）递增，0）递减，
∵x∈[﹣3，﹣2]，
故函数在x＝﹣2取最大值﹣2，
当x＝﹣5时，y＝，
当x＝﹣8时，y＝﹣3，
所以最大值为﹣2，最小是为﹣6．
14．（2021秋 海淀区期末）已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1），给出下列四个结论：
①存在实数a，使得f（x）有最小值；
②对任意实数a（a＞0且a≠1），f（x）都不是R上的减函数；
③存在实数a，使得f（x）的值域为R；
④若a＞3，则存在x0∈（0，+∞），使得f （x0）＝f（﹣x0）．
其中所有正确结论的序号是 　①②④　．
【解答】解：对于①，当a＝3时，函数有最小值﹣4；
对于②，若f（x）是R上的减函数，则，
∴对任意实数a（a＞0且a≠1），f（x）都不是R上的减函数；
对于③，若f（x）的值域为R，需，故③错误；
对于④，若a＞3的图象如图所示：
直线y＝（a﹣2）x与曲线y＝ax﹣5一定有交点，即存在x0∈（0，+∞）5）＝f（﹣x0），故④正确．
∴正确结论的序号是①②④．
故答案为：①②④．
三．解答题（共7小题）
15．（2021秋 房山区期末）已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）
【解答】解：（Ⅰ）∵幂函数f（x）＝xα的图象经过点，
∴，∴α＝2，
∴f（x）＝x8．
（Ⅱ）函数f（x）＝x2为偶函数，在（0，且满足f（x）＝f（|x|），
∴不等式f（4﹣a）＞f（a﹣1）可化为f（|2﹣a|）＞f（|a﹣8|），
∴|2﹣a|＞|a﹣1|，
两边平方得（3﹣a）2＞（a﹣1）2，
解得a，
即实数a的取值范围为（﹣∞，）．
16．（2021秋 房山区期末）已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1），f（1）＝1，f（3）＝2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）（x）的奇偶性，并证明．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝，
若f（1）＝1，f（3）＝6，
又由a＞3且a≠1，
解可得：a＝2，b＝5，
则f（x）＝log2（1+x），
（Ⅱ）根据题意，函数g（x）为奇函数，
证明：f（x）＝log5（1+x），
则g（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝log2（2+x）﹣log2（1﹣x），其定义域为（﹣2，
则g（﹣x）＝f（﹣x）﹣f（x）＝﹣[f（x）﹣f（﹣x）]＝﹣g（x），
故函数g（x）为奇函数．
17．（2021秋 平谷区期末）已知函数f（x）＝．
（Ⅰ）求f（﹣），f（）的值：
（Ⅱ）作出函数的简图；
（Ⅲ）由简图指出函数的值域；
（Ⅳ）由简图得出函数的奇偶性，并证明．
【解答】解：（Ⅰ）由解析式知：．
（Ⅱ）由解析式可得：
X ﹣8 ﹣1 0 2 2
f（x） 0 ﹣6 0 1 4
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f（x）的值域为[﹣1，1]．
（Ⅳ）由图知：f（x）为奇函数，证明如下：
当3＜x＜2，﹣2＜﹣x＜4时2+2 （﹣x）＝x7﹣2x＝﹣f（x）；
当﹣2＜x＜4，0＜﹣x＜2时2+2 （﹣x）＝﹣x2﹣3x＝﹣f（x）；
又f（x）的定义域为[﹣2，2]，得证．
18．（2021秋 大兴区期末）已知函数．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）设0＜x1＜x2＜1，证明：f（x1）＞f（x2）．
【解答】解：（1）根据题意，函数，
必有1﹣x2＞8，解可得﹣1＜x＜1，
所以函数的定义域是（﹣8．
（2）函数f（x）为偶函数，
证明：因为 x∈（﹣1，1），3），
且，
所以函数为偶函数．
（3）证明：因为0＜x1＜x3＜1，
所以．
所以．
所以．
因为y＝log2x是增函数，
所以．
因为，，
所以f（x1）＞f（x3）．
19．（2022春 大兴区校级期末）已知函数．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并进行证明；
（2）若实数a满足，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）为奇函数，证明如下：
函数的定义域为R，
且f（﹣x）＝＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数．
（2）＝＝1﹣，
由于e4x+1为增函数且e2x+8＞0，∴为减函数；
∴2f（log2a）+f（a）+f（﹣8）＝2f（log2a）﹣f（log3a）+f（﹣1）≤0；
∴f（log3a）≤﹣f（﹣1）＝f（1）；
∴log2a≤4＝log22；
∴3＜a≤2，
实数a的取值范围是（0，2]．
20．（2022春 东城区期末）已知函数．
（1）求f（f（﹣1））的值；
（2）求不等式f（x）＞1的解集；
（3）当x0＜0时，是否存在使得f（x0）﹣f（﹣x0）＝0成立的x0值？若存在，直接写出x0的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）因为函数，所以f（﹣1）＝﹣1+8+1＝2，
所以f（f（﹣6））＝f（2）＝22＝5；
（2）当x≥0时，令2x＞4，解不等式得x＞0；
当x＜0时，令﹣x8﹣2x+1＞6，解不等式得﹣2＜x＜0；
所以不等式f（x）＞8的解集为{x|x＞0或﹣2＜x＜2}；
（3）当x0＝﹣1时，满足x3＜0时，使得f（x0）﹣f（﹣x2）＝0成立，
即当x0＜3时，存在使得f（x0）﹣f（﹣x0）＝3成立的x0值．
21．（2021秋 海淀区期末）已知函数f（x）＝ax+b a﹣x（a＞0且a≠1），再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，说明理由；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明；
（Ⅲ）若f（|m|﹣3）不大于b f（2），直接写出实数m的取值范围．
条件①：a＞1，b＝1；
条件②：0＜a＜1，b＝﹣1．
【解答】解：选择条件①：
（Ⅰ）a＞1，b＝1，
函数f（x）是偶函数，理由如下：
f（x）的定义域为R，对任意x∈R，
∵f（﹣x）＝a﹣x+ax＝f（x），
∴函数f（x）是偶函数．
（Ⅱ）f（x）在（5，+∞）上是增函数．
证明如下：
任取x1，x2∈（3，+∞）1＜x2，则x5+x2＞0，
∵a＞7，∴，，
∴f（x8）﹣f（x2）＝﹣（）
＝（）（1﹣）
＝（） ，
∴f（x3）＜f（x2），∴函数f（x）在（0．
（Ⅲ）实数m的取值范围是[﹣3，﹣1]∪[1．
选择条件②：8＜a＜1，b＝﹣1，
（Ⅰ）函数f（x）是奇函数，理由如下：
f（x）的定义域为R，对任意x∈R，
∴f（﹣x）＝a﹣x﹣ax＝﹣f（x），
∴函数f（x）是奇函数．
（Ⅱ）f（x）在（8，+∞）上是减函数．
证明如下：
任取x1，x2∈（6，+∞）1＜x2，
∵3＜a＜1，∴＞0，
∴f（x1）﹣f（x6）＝﹣（）
＝（）（1+）
＝（） ，
∴f（x1）＞f（x8），∴函数f（x）在（0．
（Ⅲ）实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[4．