函数解析式的求法
题型一 待定系数求解解析式
例 1 （1）设是一次函数，且，求的解析式.
【答案】或
【分析】利用待定系数法及复合函数从内到外的处理的原则即可求解.
【详解】设，则
,
所以，解得或，
所以函数的解析式为或.
（2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
【答案】；
【分析】待定系数法：先设含待定系数的解析式，再利用恒等式的性质或将已知条件代入，建立方程（组），通过解方程（组）求出相应的待定系数.
【详解】设，由得：c＝1.
由得：，
整理得，
∴，则，
∴.
巩固练习
1.（1）已知是一次函数，且，求；
（2）已知是二次函数，且满足，求.
【答案】（1）或 ；（2）.
【分析】（1）设，代入，整理，得恒等式，求出即可；
（2）设，代入条件，求出即可
【详解】（1）设，
则
因为，所以
所以解得或
所以或
（2）设
由，得
由
得
整理，得
所以 所以
所以
题型二 换元法求解析式
例2 已知函数.求函数的解析式；
【答案】，．
【分析】用换元法求解．
【详解】设，则，，
所以，
所以，．
巩固训练
2.已知，则___________.
【答案】或
【分析】利用换元法，令，求出函数解析式，再由可求出的值.
【详解】，
设，解得，
，
，
解得.
故答案为：.
题型三 配凑法求解析式
例3若函数，且，则实数的值为（ ）
A． B．或 C． D．3
【答案】B
【分析】令，配凑可得，再根据求解即可
【详解】令（或），，，，.
故选；B
巩固训练
3.已知，则__________.
【答案】，
【分析】由配方法可得，利用换元法可求出答案.
【详解】
又当且仅当，即时等号成立.
设，则，所以
所以
故答案为：，
题型四 构造方程组法求解析式
例 4 已知，求的解析式___________.
【答案】，.
【分析】利用方程组法求解即可.
【详解】因为，
所以，
消去解得，
故答案为：，.
巩固训练
4.若对任意实数，均有，求___________
【答案】或
【分析】利用方程组求解即可.
【详解】∵（1）
∴（2）
由得，
∴.
故答案为：.
5.已知函数f(x)满足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，则f(x)的解析式为___________.
【答案】f(x)=2x
【分析】利用换元法，用方程组思想求得，然后用配凑法得出．
【详解】根据题意3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，
用x+2代替x可得3f(x+1)+2f(﹣1﹣x)=2x+4，…①
用﹣x代替x可得3f(﹣x﹣1)+2f(1+x)=﹣2x…②
①②消去f(﹣1﹣x)可得：5f(1+x)=10x+12，
∴f(x+1)=2x2(x+1)，
f(x)=2x，
故答案为：f(x)=2x.
题型五 利用奇偶性求函数的解析式
例 5 已知是定义在上的奇函数，当时，，求在上的解析式.
【答案】.
【分析】根据奇函数的定义求出时的解析式，再由分段函数的定义写出R上的解析式即可得答案．
【详解】解：当时，则，
因为当时，，且是定义在上的奇函数，
所以，即，
故时，的解析式为.
∴的解析式为.
巩固训练
6.已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求时，函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，得，即可得解；
（2）作函数的图像，若在区间上单调递增，结合函数图像，列出关于的不等式组求解.
（1）
设，则，所以
又为奇函数，所以，
所以当时，.
（2）
作函数的图像如图所示，
要使在上单调递增，结合的图象知，所以，
所以的取值范围是.
课后作业
1.根据下列条件，求的解析式
(1)已知满足
(2)已知是一次函数，且满足；
(3)已知满足
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用换元法即可求解；
（2）设，然后结合待定系数法即可得解；
（3）由题意可得，利用方程组思想即可得出答案.
（1）
解：令，则，
故，
所以；
（2）
解：设，
因为，
所以，
即，
所以，解得，
所以；
（3）
解：因为①，
所以②，
②①得，
所以.
2．（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求的解析式．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据已知函数代入直接求解即可，
（2）利用换元法或配凑法求解，
（3）利用待定系数法求解，设，然后根据已知条件列方程求出即可，
（4）利用方程组法求解，用－x替换中的x，将得到的式子与原式子联立可求出.
【详解】（1）因为，所以．
（2）方法一 设，则，，即，
所以，所以．
方法二 因为，所以．
（3）因为是二次函数，所以设．由，得c＝1．
由，得，
整理得，
所以，所以，所以．
（4）用－x替换中的x，得，
由，
解得．
3.已知是R上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式.
【答案】.
【分析】特殊值法（赋值法）：通过取特殊值代入题设中的等式，使抽象的问题具体化、简单化，求出解析式.
【详解】
令，则，
∴.
4.已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数在上的解析式；
(2)若，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出，再设，利用奇偶性求出时函数解析式，即可得解；
（2）首先判断函数的单调性，再结合函数的奇偶性可得，恒成立，则，即可得到不等式，解得即可.
(1)
解：由题意知，解得，所以当时，，
当，则，所以．
又为奇函数，所以，
故当时，．
综上：．
(2)
解：由，得，
因为是奇函数，所以．
当时，所以函数在上单调递增，又是定义在上的奇函数，
所以在上单调递增．
可得，恒成立，
故，解得．
所以．
5．已知定义在上的奇函数．在时，．
(1)试求的表达式；
(2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，再设，根据奇偶性及上的函数解析式，计算可得；
（2）依题意参变分离可得，令，，根据指数函数的性质求出函数的单调性，即可求出函数最小值，从而得解；
（1）
解：是定义在上的奇函数，，
因为在时，，
设，则，
则，
故 .
（2）
解：由题意，可化为
化简可得，
令，，
因为在定义域上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，
，
故．函数解析式的求法
题型一 待定系数求解解析式
例 1 （1）设是一次函数，且，求的解析式.
（2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
巩固练习
1.（1）已知是一次函数，且，求；
（2）已知是二次函数，且满足，求.
题型二 换元法求解析式
例2 已知函数.求函数的解析式；
巩固训练
2.已知，则___________.
题型三 配凑法求解析式
例3若函数，且，则实数的值为（ ）
A． B．或 C． D．3
巩固训练
3.已知，则__________.
题型四 构造方程组法求解析式
例 4 已知，求的解析式___________.
巩固训练
4.若对任意实数，均有，求___________
5.已知函数f(x)满足3f(x﹣1)+2f(1﹣x)=2x，则f(x)的解析式为___________.
题型五 利用奇偶性求函数的解析式
例 5 已知是定义在上的奇函数，当时，，求在上的解析式.
巩固训练
6.已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求时，函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
课后作业
1.根据下列条件，求的解析式
(1)已知满足
(2)已知是一次函数，且满足；
(3)已知满足
2．（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求函数的解析式；
（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
（4）已知，求的解析式．
3.已知是R上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式.
4.已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求函数在上的解析式；
(2)若，恒成立，求实数的取值范围．
5．已知定义在上的奇函数．在时，．
(1)试求的表达式；
(2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
