第二章 实数
2. 平方根（第1课时）
成都铁中 刘强 霍佳
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生刚学完《勾股定理》，通过本章第一节的学习，已具备了对无理数的认识，知道只有有理数是不够的．学生还具备了乘方运算的基础，并且有计算正方形等几何图形面积的技能．
学生活动经验基础：在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．
二、教学任务分析
本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第二章《实数》的第二节《平方根》．本节内容计2个课时，本节课是第1课时，主要是算术平方根的概念和性质的教学．课程标准要求，对于数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性，因此确定本节的教学目标如下：
①了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质．
②在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力；在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识．
③让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲．
三、教学过程设计
本课时设计六个环节：第一环节：问题情境；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习；第五环节：学习小结；第六环节：作业布置．
本节课教学流程为：
第一环节：问题情境
方法一：问题导入
内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为的大的正方形，那么有，＝ ，2是有理数，而是无理数．在前面我们学过若，则叫的平方，反过来叫的什么呢？本节课我们一起来学习．
方法二：问题导入
内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：
， ， ， ．
目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性．
效果：能表示，，，；能求得，但不能求得，，的值．
说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二．
第二环节：初步探究
内容1：情境引出新概念
，，，，已知幂和指数，求底数，你能求出来吗？
目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．
效果：学生可以估算出，是1到2之间的数，是2到3之间的数但无法表示，，，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方．
说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数，你能求出来吗？”
内容2：在上面思考的基础上，明晰概念：
一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根，记为“”，读作“根号”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即．
目的：对算术平方根概念的认识．
效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的．
内容3：简单运用 巩固概念
例1 求下列各数的算术平方根：
(1) 900； (2) 1； (3) ； (4) 14．
目的：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是．
效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．
答案：解：(1)因为，所以900的算术平方根是30，即；
(2)因为，所以1的算术平方根是1，即；
(3)因为，所以 的算术平方根是， 即；
(4)14的算术平方根是．
内容4：回解课堂引入问题
，，，那么，，．
第三环节：深入探究
内容1：例2 自由下落物体的高度(米)与下落时间(秒)的关系为．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
目的：用算术平方根的知识解决实际问题．
效果：学生多能利用等式的性质将进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解．
解：将代入公式，得，所以正数(秒)．
即铁球到达地面需要2秒．
说明：强调实际问题是正数，用的是算术平方根，此题是为得出下面的结论作铺垫的．
内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点．
目的：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：中的是一个非负数，的算术平方根也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．
效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根．
第四环节：反馈练习
一、填空题：
1．若一个数的算术平方根是，那么这个数是 ；
2．的算术平方根是 ；
3．的算术平方根是 ；
4．若，则 ．
二、求下列各数的算术平方根：
36，，15，0.64，，，．
三、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？
答案：一、1．7；2．；3．；4．16；二、6；；；0.8；；；1．
三、解：由题意得 AC＝5.5米，BC＝4.5米，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得(米)．所以帐篷支撑竿的高是米．
目的：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程.
效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学生的回答，教师要给予评价和点评．
第五环节：学习小结
内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的．通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：
(1)算术平方根的概念，式子中的双重非负性：一是a≥0，二是≥0．
(2)算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．
(3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．
目的：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质．
第六环节：作业布置
习题2.3
四、教学设计反思
1．细讲概念、强化训练
要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化的过程．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．
“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征．算术平方根的本质特征就是定义中指出的：“如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根，”的“正数”，即被开方数是正的，由平方的意义，也是正数，因此算术平方根也必须是正的．当然零的算术平方根是零.
“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练，使练习题达到一定的质和量，也包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术平方根，而是通过平方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根号来表示.
“逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组，在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用.
2．发展思维、适度拓展
在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可以对的双重非负性的知识进行适当的拓展.
课件23张PPT。第二章 实数2. 平方根(第1课时)如图所示，右边的大正方形是由左边的两个小正方形剪拼成的，请表示a2＝ . 2请大家根据勾股定理，结合图形完成填空： ，
，
，
．
2345 ，已知幂和指数，求底数x，你能求出来吗？ 一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为“ ”，读作“根号 a ”．
特别地，我们规定0的算术平方根是0，即 ． 解: (1)因为302＝900， 所以900的算术平方根是30， 即 ;
(2)因为12＝1， 所以1的算术平方根是1，即 ;
应用举例例1 求下列各数的算术平方根：
(1) 900；(2) 1；(3) ；(4) 14．解：(3)因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 ;
(4)14的算术平方根是 .应用举例例1 求下列各数的算术平方根：
(1) 900；(2) 1；(3) ；(4) 14．非平方数的算术平方根只能用根号表示.如图所示，右边的大正方形是由左边的两个小正方形剪拼成的，请表示a＝ .解决问题请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：，x＝ ;
，y＝ ;
，z＝ ;
，w＝ .2解决问题例2 自由下落物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系为 ．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 解:将h＝19.6代入公式
，
得 ，
所以正数 (秒).
即铁球到达地面需要2秒.应用举例式子 的两层含义:
(1) a≥0;
(2) ≥0 .例3 如果将一个长方形ABCD折叠，得到一个面积为144cm2的正方形ABFE，已知正方形ABFE的面积等于长方形CDEF面积的2倍，求长方形ABCD的长和宽．知识拓展例题解：设正方形ABFE的边长为a，
有 ，所以 ， 所以 ．
又因为 ，设 ，
所以 ， ．
所以 (cm)．
所以长方形的长为18cm，宽为
12cm．一、填空题： 1．若一个数的算术平方根是 ，那么这个数是 ；
2． 的算术平方根是 ；
3． 的算术平方根是 ；
4．若 ，则 ．716练一练 二、求下列各数的算术平方根：36， ，15，0.64， ， ， ．练一练 (2)因为 ，所以 的算术
平方根是 ，即 ;解:(1)因为 ，所以36的算术平方
根是6，即 ;(3)15的算术平方根是 ;解：(4)因为0.82＝0.64，所以0.64的算术平
方根是0.8，即 ； (5)因为 ，所以10-4的算术平
方根是10-2，即 ； (6)因为 ，所以 的算术平
方根是 ； (7)因为 ，所以 的算术平方
根是1．36， ，15，0.64， ， ， ．三、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向
地面拉一根绳子AC固定帐篷．若
绳子的长度为5.5米，地面固定点
C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5
米，则帐篷支撑竿的高是多少米？练一练解：由题意得AC＝5.5米，BC＝4.5米，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：所以帐篷支撑竿的高是 米. (1)算术平方根的概念，式子 中的双重非负性：一是a≥0，二是 ≥0．(2)算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．(3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．学习小结习题2.3作业布置拓展资源：拓展练习
在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可用以下的例题和练习题进行知识的拓展：
内容：例 已知，求的值．
解：因为 和都是非负数，并且，所以 ，，解得x=2，y= -4，所以．
意图：加深对算术平方根概念中两层含义的认识，会用算术平方根的概念来解决有关的问题．
效果：达到能灵活运用算术平方根的概念和性质的目的．
课后还可以布置相应的拓展性习题：
内容：1．已知，求x+y+z的值．
2．若x，y满足，求xy的值．
3．求中的x．
4．若的小数部分为a，的小数部分为b，求a+b的值．
5．△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b满足，求c的取值范围．
解：1．因为≥0，≥0，≥0，且 ，
所以=0，=0，=0，解得，，，所以x+y+z= ．
2．因为2x-1≥0，1-2x≥0，所以 2x-1=0，解得 x= ，当 x=时，y=5，所以 xy=×5=．
3．解：因为x-5≥0，≥0 ，所以 x=5 ．
4．解：因为 ，所以的整数部分为8，的整数部分为1，所以的小数部分，的小数部分，所以．
5．解：由，可得，因为 ≥0，≥0，
所以=0，=0，所以a = 1，b = 2，由三角形三边关系定理有：b- a < c < b+a ，即1 < c < 3．
拓展资源：拓展练习
在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可用以下的例题和练习题进行知识的拓展：
内容： 例1 如果将一个长方形ABCD折叠，得到一个面积为144的正方形ABFE，已知正方形ABFE的面积等于长方形CDEF面积的2倍，求长方形ABCD的长和宽．
解：设正方形ABFE的边长为a，有，所以，所以. 又因为，设，所以，．所以(cm).所以长方形的长为18 cm，宽为12 cm．
目的：用算术平方根的知识解决实际问题．
效果：达到能灵活运用算术平方根的知识解决实际问题的目的．
内容：例2 已知，求的值．
解：因为和都是非负数，并且，所以 ，，解得，，所以．
目的：加深对算术平方根概念中两层含义的认识，会用算术平方根的概念来解决有关的问题．
效果：达到能灵活运用算术平方根的概念和性质的目的．
课后还可以布置相应的拓展性习题：
内容：1．已知，求的值．
2．若，满足，求的值．
3．求中的．
4．若的小数部分为，的小数部分为，求的值．
5．△ABC的三边长分别为，，，且，满足，求的取值范围．
解：1．因为，，，且，
所以，，，解得，，，所以．
2．因为，，所以，解得 ，当 时，，所以．
3．解：因为，，所以．
4．解：因为，所以的整数部分为8，的整数部分为1，所以的小数部分，的小数部分，所以．
5．解：由，可得，因为，，所以，，所以，，由三角形三边关系定理有：，即．
第二章 实数
２. 平方根（第2课时）
成都市锦西中学 赵天成
西南交大附中 田晓红
一、学生起点分析
学生在七年级上册学习 “棋盘上的故事”就认识了一种运算 “乘方”，并能熟练计算任何一个数的平方．知道正数的平方是正数，负数的平方是正数，0的平方是0． 在八年级上册第二章《实数》的学习中又认识了算术平方根的概念和表示方法，已能求非负数的算术平方根．那么这一课时进一步学习平方根．本节也为后面学习 “立方根”做基础．
二、教学任务分析
《平方根》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第二节．本节安排了两个课时完成．第一课时是了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．在具体的例子中抽象出概念，发展学生的抽象概括能力．本节课是第二课时，继续学习平方根的概念及其运用．并对“平方根”和“算术平方根”，“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导－探索－类比－发现”中发展学习数学的能力．为此，本节课的教学目标是
①了解平方根、 开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系．
②进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系．
③经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的应用能力．
教学重点是
①了解平方根、开平方的概念．
②了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根．
③了解平方根与算术平方根的区别与联系．
教学难点是
①平方根与算术平方根的区别和联系．
②负数没有平方根，即负数不能进行开平方的运算．
三、教学过程设计:
本节课采用引导、探究、类比相结合的教学方法，设计了六个教学环节 第一环节 复习旧知 引入新知；第二环节 形成概念，辨析概念；第三环节 例题和巩固练习；第四环节 课堂小结；第五环节 思维拓展；第六环节 布置作业．
第一环节 复习旧知 引入新知
内容:方法一 复习引入
1．什么叫算术平方根?
3的平方等于9，那么9的算术平方根就是 3 ．
的平方等于 ，那么 的算术平方根就是______________．
展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长_ 7_米．
2．到目前为止，我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何？
乘方有没有逆运算?
平方与算术平方根之间的关系？
已知折叠着的正方形ABCD面积为1，则边长为__1___．将它扩展，若面积变为原来的2倍，那么它的边长为______；若面积变为原来的3倍，则边长为_________；若面积变为原来的n倍，则边长为________．
方法二 复习引入
问题 平方等于9，，49的数还有吗？
目的: 这一环节主要是复习旧知识和提出问题，由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系，让学生在几何图形中认识．熟悉它们的互化关系．并把上节课的思考题制作成Flash情景引入，增加动画效果．
效果 借助多媒体吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣．
说明 数学知识源于生活，并服务于我们的生活．这两种方法通过生活中的具体问题激发学生的学习兴趣，并让他们产生解决问题的强烈愿望．
第二环节 : 新课学习
内容 （一）探究新知
填空
3=(9 )
(－3)=(9 ) ( )=9 0=0
()=() (不存在)=－4
()=()
（二）形成概念(1)
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．而把正的平方根叫做a的算术平方根．
表达式为:若x=a，那么x叫做a的平方根． 记作 ．
例如:(±4) =16，则+4和－4都是16的平方根；即16的平方根是±4；4是16的算术平方根．
（三）探索平方与开平方的关系:
给出几组具体的数据，由平方探知开平方与平方的互逆关系．
（四）概念辨析
平方根与算术平方根的联系与区别
联系 1．包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种．
2．只有非负数才有平方根和算术平方根．
3． 0的平方根是0，算术平方根也是0．
区别 1．个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根．
2．表示法不同：平方根表示为 ，而算术平方根表示为．
目的 形成“平方根”的概念．在列举一些具体数据的感性认识基础上，由平方运算反推出平方根的概念和定义，并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化并，明白它们之间的互逆关系，辨析概念 “平方根”与 “算术平方根”的区别与联系，使之与上一节课紧密联系．
效果 由于遵循了从具体到抽象的过程，注重学生原有认知基础的回顾，并和原有的概
念进行了比较与辨析，因此，学生对这一抽象的概念掌握得比较牢靠．
说明 平方根与算术平方根的区别是本节课的一大难点，也是学生经常容易出错的地方．
对这两个概念加以比较与区别有利于学生的理解与掌握．
第三环节 例题和新知巩固
（一）例题示范
求下列各数的平方根:
(1)64；(2)；(3) 0.0004；(4)；(5) 11
解 （1），，；
（2），；
（3），；
（4）， ；
（5）
目的 这是书上的例题，要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达．能熟
练地求出一个数的平方根，然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数．
效果 通过对例题的详解，学生能准确地书写表达，规范平方根的书写格式，掌握正
确的符号化语言．
（二）思考提升
1． ，的算术平方根是_____，的平方根是_____；
2． ， ， ，=_______；
3．= ， ．
（三）巩固练习
1 ．下列说法正确的是
①②25的平方根是5；③－36的平方根是－6；④平方根等于0的数是0；⑤64的平方根是8．
2．下列说法不正确的是( ) ．
(A)0的平方根是0 (B)的平方根是
(C)非负数的平方根是互为相反数 (D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
3．已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）．
(A) a+1 (B) (C) +1 (D)
4．为何值，有意义？
答 因为，所以
目的 围绕本节课的重点知识 （平方根）作适当的练习，在不同的变式练习中加深对平方根意义的理解．
效果 学生基本能顺利解决这些问题，并利用探索的规律进行规范的表达．
第四环节 课堂小结
内容 引导学生总结本课时的知识、方法．
目的 让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯．
效果 在老师的引导下学生自己总结本节课的知识、方法，如
平方根的概念 若，则x叫a的平方根，
平方根的个数 正数有2个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．
平方与开方之间的关系；
求平方根的方法 求一个数的平方根就是转化寻找哪个数平方等于这个数．
第五环节 提高训练
内容 1.的小数部分为a，的小数部分为b，求的值．
2．已知实数a，b满足
①若a，b为的两边，求第三边c的取值范围；
②若a，b为的两边，第三边c等于5，求的面积．
目的 安排了两道题，其中最后一题是用算术平方根的意义来解决三角形的问题，这一环节主要针对层次较好的学生提供的题．可供老师根据教学的实际情况灵活处理．
第六环节 作业布置
习题2．４
四、教学设计反思
本节课是八年级上册第二章《平方根》的第二课时．主要知识是平方根的学习和运用．教材是教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．
（一）注重概念的形成过程，让学生在概念的形成的过程中，逐步理解所学的概念．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很必要的．所以在学习平方根的概念时，对正数有两个平方根学生不太容易接受，往往丢掉负的平方根，因为这与他们以前的经验不符．对此，在平方根的引入时，可多提一些具体的问题．如“9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9．还有其他的数，它的平方也是9吗？”等等，旨在引起学生的思考，让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念．再让学生去讨论 一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？引导学生更深刻地理解平方根的概念，然后通过具体的求平方根的练习，巩固新学的概念．
（二）鼓励学生进行探究和交流 本节课为学生提供了有趣而富有数学含义的问题，让学生进行充分的探索和交流．如 把正方形的面积不断的扩大为2倍、3倍、n倍，来引导学生充分进行交流、讨论与探索等数学活动，从中感受学习平方根的必要性．
（三）设计之中多处运用类比的方法，使学生清楚新旧知识的区别和联系．类比概念 “平方根”和“算术平方根”的区别和联系，“平方”和“开平方”运算．
（四）根据学生实际，灵活使用教材
教材上只安排了一道例题和几个想一想，为了让学生对新知巩固，我增加了部分练习题，围绕“平方根”这一知识点进行各种题型的变式练习．当然，选题要有层次，有梯度．老师们在进行教学时可以根据学生的实际情况作适当的取舍．
（五）建议
根据知识结构的逻辑关系与学生的认知规律，建议教材在内容安排上平方根置于算术平方根之前．
课件20张PPT。2. 平方根(第2课时)第二章 实数2.我们已经学习过哪些运算？它们中互为
逆运算的是什么？ 答：加、减、乘、除、乘方五种运算.加与减互逆；乘与除互逆1.什么叫算术平方根？若一个正数的平方等于a 则这个数叫做a的算术平方根,表示为 .
0的平方根是0，即 .一、回顾与思考已知折叠着的正方形ABCD面积为1，则边长为_____.将它展开面积变为原来的2倍，那么它的边长为______.若面积变为原来的3倍，则边长为______.若面积变为原来的n倍，则边长为_____. 复习平方与算术平方根之间的关系？1 问题：乘方有没有逆运算？ 3的平方等于9，那么9的算术平方根是___
的平方等于 ，那么 的算术平方
根是____;
展厅的地面为正方形，其面积49平方米，
则边长_____米你发现了吗7问题：平方等于9， ，49的数还有吗？3( )2 = 9
( )2 =
( )2 = 0
( )2 =-4
32 = ( )
(-3 )2 = ( )
( )2= ( )
( )2 = ( )
02 = ( )90±30不存在 探求新知9 一般地，如果一个数的平方等于a，那么
这个数叫做a 的平方根或二次方根.而把正
的平方根叫算术平方根. 例如:(±4)2=16,则+4和-4都是16的平方根;
即16的平方根是±4; +4是16的算术平方根.平方根的表达式为：若x2= a ，那么x叫做a的平方根记作： . 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
（a叫做被开方数）149+1-1+2-2+3-3149+1-1+2-2+3-3开平方平方平方与开平方互逆运算.探索平方与开平方的关系联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根，
算术平方根是平方根的一种. 平方根与算术平方根的联系与区别：
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3.0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别： 1.个数不同：一个正数有两个平方根，
但只有一个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为 ，而算
术平方根表示为 .巩固新知
1.求下列各数的平方根:(1)64(3)0.0004(5)11(4)(2)巩固新知
1.求下列各数的平方根:(1)64 (2) ， 的平方根 ,
即 .解: 64的平方根为 ,
即 .巩固新知
(3) 0.0004 (5) 11 (4) ， 0.0004的平方根
为 , 即 ； 的平方根
为 ，即 ；11的平方根是 .总结：
运用平方运算求一个非负数的平方根
是常用的方法，如被开方数是小数，要注意
小数点的位置，也可先将小数化为分数，再
求它的平方根，如被开方数是带分数，先要
把它化为假分数. 注意要弄清 ， ， 的意义， 不能用来表示a的平方根，如：64的平方根不要写成 .议一议一个正数有几个平方根？它们是什么
关系？
0的平方根有几个？
负数有平方根吗? 一个正数有两个平方根,它们是互为相反数.一个，0的平方根是0.负数没有平方根.±539±80.2a5想一想1． 的平方根 ， 的算术平方根
是_____， 的平方根是_____；
2 ． =___, _____, ____,
_____;
3. _____, 当a ≥0时, ___.
一、下列说法正确的是_________
① -3是的平方根 ②25的平方根是5 ③ -36的平方根是-6 ④平方根等于0的数是0 ⑤6的算术平方根是8基础练习① ④ ⑤B二、下列说法不正确的是______
A.0的平方根是0 B. 的平方根是2
C.非负数的平方根是互为相反数
D.一个整数的算术平方根一定大于这个数
的相反数基础练习三、已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）
A. a+1 B.
C. a2+1 D. D四、 x为何值时， 有意义？ 答： 因为 ，所以 .五、求 x 的值解：基础练习,,, 知识总结若 ，则x叫a的平根， .正数有2个平方根，0的平方根是0.
负数没有平方根.方法总结：
求一个数的平方根就是转化寻找哪个
数平方等于这个数
平方与开方的互化关系课堂小结作业布置
习题2.4
谢谢平方根练习题
成都市锦西中学 赵天成 袁兵
一、填空题：
1．的算术平方根是__________．
2．＝ _____________．
3．2的平方根是__________．
4．实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示
化简＝________________．
5．若m，n互为相反数，则＝_________．
6． 若 ，则a______0．
二、选择题：
7．代数式，，,中一定是正数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞ B．x≥ C．x＞ D．x≥
9．下列说法中，错误的是（ ）
A．4的算术平方根是2 B．的平方根是±3
C．121的平方根是±11 D．－1的平方根是±1
三、解答题：
10．求的平方根和算术平方根．
11．计算的值．
12．计算
13．若x，y都是实数，且， xy的值．
*知识拓展：
1．若，求的值．
2．化简：
参考答案
1．6 2．1 3．± 4．0 5． 6．≤
7．A 8．D 9．D
10． 11． 12．4 13．,
(知识拓展)
1．；=3
2．
根号的由来
现在，我们都习以为常地使用根号（如 等等），并感到它使用起来既简明又方便．那么，根号是怎样产生和演变成现在这种样子的呢？
古时候，埃及人用记号“┌”表示平方根．印度人在开平方时，在被开方数的前面写上ka．阿拉伯人用 表示 ．1840年前后，德国人用一个点“.”来表示平方根，两点“..”表示4次方根，三个点“...”表示立方根(稍细一些的点)，比如， .3、..3、...3就分别表示3的平方根、4次方根、立方根．到十六世纪初，可能是书写快的缘故，小点上带了一条细长的尾巴，变成“”．1525年，路多尔夫在他的代数著作中，首先采用了根号，比如他写 4是2， 9是3，并用 8， 8表示 ， ．但是这种写法未得到普遍的认可与采纳．
与此同时，有人采用“根”字的拉丁文radix中第一个字母的大写R来表示开方运算，并且后面跟着拉丁文“平方”一字的第一个字母q，或“立方”的第一个字母c来表示开的是多少次方．例如，现在的 ，当时有人写成R.q.4352．现在的 ，用数学家邦别利（1526—1572年）的符号可以写成R.c.?7p.R.q.14╜，其中“?╜”相当于今天用的括号，P相当于今天用的加号（那时候，连加减号“+”“-”还没有通用）．
直到十七世纪，法国数学家笛卡尔（1596—1650年）第一个使用了现今用的根号“ ”．在一本书中，笛卡尔写道：“如果想求 的平方根，就写作 ，如果想求 的立方根，则写作 ．”
这是出于什么考虑呢？有时候被开方数的项数较多，为了避免混淆，笛卡尔就用一条横线把这几项连起来，前面放上根号√（不过，它比路多尔夫的根号多了一个小钩）就为现在的根号形式．
现在的立方根符号出现得很晚，一直到十八世纪，才在一书中看到符号 的使用，比如25的立方根用表示．
由此可见，一种符号的普遍采用是多么地艰难，它是人们在悠久的岁月中，经过不断改良、选择和淘汰的结果，它是数家们集体智慧的结晶，而不是某一个人凭空臆造出来的，不是从天上掉下来的．
