安徽省滁州市南谯区施集学校2022-2023学年八年级上学期开学摸底考试数学试卷（含解析）

2022-2023学年度第一学期八年级开学摸底考试
数学试题
第I卷（选择题 40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．在实数，0.51 ，，，，中，无理数的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．某种粒子的质量为0.00000081g，将0.00000081用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线、相交于点，，平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．已知实数a，b，若a＞b，则下列结论错误的是（ ）
A．a－5＞b－5 B．3＋a＞b＋3
C． > D．－3a＞－3b
6．已知，则的值是（ ）
A．10 B．15 C．25 D．30
7．关于x的分式方程＝﹣1的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣2 B．m＜﹣2
C．m＞﹣2且m≠2 D．m＜﹣2且m≠﹣2
8．如图，直线与相交于点O，，，射线平分，则的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．如图所示，已知∠1=∠3，∠2=∠4，不能判定AB∥CD的条件是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1+∠2=90．
C．∠3+∠4=90． D．∠2+∠3=90．
10．如图，两个一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，，平移距离为7，求阴影部分的面积为（ ）
A．56 B．54 C．52 D．50
第II卷（非选择题 110分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．多项式2x3﹣8x2y+8xy2分解因式的结果是_____．
12．如图，△ABC的边长AB =3 cm，BC=4 cm，AC=2 cm，将△ABC沿BC方向平移a cm（a＜4 cm），得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为_______cm．
13．写出一个比大且比小的整数 _____．
14．已知x的5倍与3的差大于10，且不大于20，用不等式式表示为____________．
三、解答题（本大题共9题，满分90分）
15．（4分）计算：．
16．（6分）先化简，再求值：，其中．
17．（10分）解不等式（组），并把不等式的解集在数轴上表示出来．
（1） （2）
18．（10分）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点坐标为A（0，﹣2），B（3，﹣1），C（2，1）．
（1）请在图中画出△ABC向左平移4个单位长度的图形△A′B′C′；
（2）写出点B′和C′的坐标．
19．（10分）观察下列各式：
(x－1)(x+1)=x2－1
(x－1)(x2+x+1)=x3－1
(x－1)(x3+x2+x+1)=x4－1
……
（1）根据以上规律，则(x－1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=__________________．
（2）你能否由此归纳出一般性规律(x－1)(xn+xn－1+xn－2+…+x+1)=____________．
（3）根据以上规律求1+3+32+…+349+350的结果．
20．（12分）一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．
(1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件 每天能生产多少套产品
(2)现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每人每天只能加工4个A型零件．
①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，求x的值（用含m的代数式表示）
②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务
21．（12分）如图①，现有边长分别为a，b的正方形硬纸板A和B，邻边长为a和b（）的长方形硬纸板C若干．
(1)活动课上，老师用图①中的1张正方形A，1张正方形B和2张长方形C纸板，排成了如图②中的大正方形．观察图形，由图②可以得到的等式为_____（等号两边用含a，b的代数式表示）；
(2)小莹想用图①的三种纸板拼一个面积为的大长方形，则需要A硬纸板_____张，B硬纸板_____张，C硬纸板_____张（空格处填写数字），并参考图②画出该大长方形的设计图（画出一种即可）；
(3)如图③，已知点K为线段MN上的动点，分别以MK，NK为边在MN的两侧作正方形MKED和正方形NKFG，面积分别记作，，若，△MKF的面积为6，利用（1）中得到的结论求的值．
22．（12分）已知点A和点C分别在直线MN和直线EF上，点B在直线外，∠BAN=α，∠BCF=β．
（1）如图1，若MN∥EF，则∠B=　（用α，β的式子表示，不写证明过程）
（2）在（1）的条件下，点T在直线MN与直线EF之间，∠MAT=∠BAN，∠TCB=2∠TCE，求∠B与∠T之间的数量关系．
（3）如图2，若MN不平行于EF，直线AC平分∠MAB，且平分∠ECB，则∠B=　（用α，β的式子表示，不写证明过程）
23．（14分）如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．
（1）将图①中的三角板OMN沿BA方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；
（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转，使∠BON=30°，如图③，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；
（3）将图①中的三角尺COD绕点O按每秒15°的速度沿顺时针防线旋转一周，在旋转过程中，在第几秒时，MN恰好与CD平行；第几秒时，MN恰好与直线CD垂直．
参考答案：
1．B
【解析】
【详解】
在实数， ，，，，中，无理数有 ，，共2个，
故选B.
2．B
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法的运算法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则、合并同类项法则解答即可．
【详解】
解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意．
B、，原计算正确，故此选项符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
此题考查了同底数幂的乘法的运算法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则、合并同类项法则，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则、合并同类项法则是解本题的关键．
3．C
【解析】
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
0.00000081=8.1×10-7.
故选C．
【点睛】
考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．C
【解析】
【分析】
根据垂线的定义和角平分线的定义可得的度数，再根据平角的定义可得的度数．
【详解】
解：，
，
平分，
，
，
故选：．
【点睛】
此题考查了垂线，角平分线的定义，平角的定义，关键是得到的度数．
5．D
【解析】
【详解】
由不等式性质，选项D. －3a<－3b,所以D错，故选D.
6．C
【解析】
【分析】
，代入求值即可．
【详解】
解：∵，
∴=25．
故选：C．
【点睛】
本题考查已知代数式的值进行求值的计算，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键．
7．C
【解析】
【分析】
先解分式方程，用含m的代数式表示出x．再根据方程的解为正数，得到关于m的不等式，求解即可．
【详解】
解：去分母，得x+m﹣2m＝2﹣x，
移项，得2x＝2+m，
∴x＝1+．
由于方程的解是正数，
∴1+＞0且1+≠2．
解得m＞﹣2且m≠2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
8．B
【解析】
【分析】
首先设∠DOF＝2x，∠AOD＝3x，然后表示∠FOE和∠BOE，再根据平角定义列方程，然后可得答案．
【详解】
解：设∠DOF＝2x，∠AOD＝3x，
∵∠DOE＝80°，
∴∠FOE＝80°﹣2x，
∵射线OE平分∠BOF，
∴∠BOE＝∠EOF＝80°﹣2x，
则：3x+80°+80°﹣2x＝180°，
解得：x＝20°，
∴∠AOD＝60°
∴∠BOC＝∠AOD=60°
故选B．
【点睛】
此题主要考查了邻补角和对顶角，关键是理清图中角之间的关系，利用方程思想解决问题．
9．A
【解析】
【详解】
∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，
A、∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠4，同旁内角相等，并不能判定两直线平行，故错误；
B、∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，即同旁内角互补，可得其平行，故B正确；
C、D、同B，皆由同旁内角互补，可判定其平行，故C，D都正确．故选A．
10．A
【解析】
【分析】
由三角形ABC的面积等于三角形DEF的面积，推出四边形ABEH的面积等于阴影部分的面积，即可解决问题．
【详解】
由平移的性质知，BE=7，DE=AB=10，
可得HE=DE-DH=10-4=6，
所以S四边形HDFC=S梯形ABEH=（AB+EH）×BE=（10+6）×7=56．
故选：A
【点睛】
此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点连线的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，要熟练掌握．
11．2x（x﹣2y）2．
【解析】
【分析】
先提取公因式2x，再利用公式法分解因式.
【详解】
解：2x3﹣8x2y+8xy2＝2x（x2﹣4xy+4y2）＝2x（x﹣2y）2．
故答案为：2x（x﹣2y）2．
【点睛】
此题考查因式分解的方法，当多项式中的各项有公因式时，先提取公因式，再根据公式法将能分解的因式继续分解，直至不能再分解为止.
12．9
【解析】
【分析】
根据平移的特点，可直接得出AC、DE、AD的长，利用EC=BC－BE可得出EC的长，进而得出阴影部分周长．
【详解】
∵AB=3cm，BC=4cm，AC=2cm，将△ABC沿BC方向平移acm
∴DE=AB=3cm，BE=acm
∴EC=BC－BE=(4－a)cm
∴阴影部分周长=2+3+(4－a)+a=9cm
故答案为：9
【点睛】
本题考查平移的特点和整式的加减计算，解题关键是利用平移的性质，得出EC=BC－BE．
13．3（答案不唯一）
【解析】
【分析】
先对和进行估算，再根据题意即可得出答案．
【详解】
解：∵＜2＜3＜4＜，
∴比大且比小的整数有2，3，4.
故答案为：3（答案不唯一）．
【点睛】
此题考查了估算无理数的大小，估算出与是解题的关键．
14．10﹤5x-3≤20
【解析】
【分析】
“的倍与的差”中，被减式为的倍，减式为；大于，且小于或等于，应表示为相减得到的相关式子，相减得到的相关式子．
【详解】
解：的倍与的差大于，且不小于，用不等式组表示．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查列一元一次不等式组，解决本题的关键是理解大于用数学符号表示为“”；不大于用数学符号表示为“”．
15．
【解析】
【分析】
根据、去绝对值运算和零指数幂运算分别求解即可．
【详解】
解：
．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，涉及到、去绝对值运算和零指数幂运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
16．
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】
原式，
当时，原式．
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（1），数轴表示见解析；（2）-2＜x≤3，数轴表示见解析
【解析】
【分析】
（1）先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可；
（2）先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】
解：（1）移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
在数轴上表示为：
（2），
解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x＞-2，
所以不等式组的解集是：-2＜x≤3，
在数轴上表示为：
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式或不等式组的解集等知识点，能求出不等式或不等式组的解集是解此题的关键．
18．（1）见解析（2）B′（﹣1，﹣1），C′（﹣2，1）．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；
（2）根据点B′和C′在坐标系中的位置写出两点坐标即可．
解：（1）如图所示；
（2）由图可知B′（﹣1，﹣1），C′（﹣2，1）．
【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
19．（1）x7－1；（2）xn+1－1；（3）．
【解析】
【分析】
（1）仿照已知等式写出答案即可；
（2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可；
（3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可．
【详解】
解：（1）根据题意得：(x－1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x7-1；
（2）根据题意得：（x-1）（x"+x"-1+.…+x+1）=x"+1-1；
（3）原式=×（3-1）(1+3+32+···+349+350)= ×（x50+1-1）=
故答案为：（1）x7－1；（2）xn+1－1；（3）．
【点睛】
本题考查了平方差公式以及规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键．
20．(1)工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品
(2)①；②至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务
【解析】
【分析】
（1）设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件，根据“每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成”列方程求解即可；
（2）①根据“x名熟练工人和m名新工人生产的A型零件等于1200套产品的A型零件总数”可列方程，进行整理即可；
②设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，根据题意，可得关于m、n的方程组，求解即可．
(1)
解：设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件，
由题意得：，
解得，
（套）
所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品．
(2)
①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，
由题意得，，
整理得；
②设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，
由题意得，
解得，
所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
21．(1)
(2)1，2，3，图见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）用两种方法表示出来面积即可得出等式；
（2）先计算多项式乘以多项式，即可得出需要纸板的数量，然后根据纸板数量画出相应图形即可；
（3）设，，利用（1）中结论进行变形求解即可．
(1)
解：根据图形可得：，
故答案为：
(2)
解：(a+b)(a+2b)=，
需要A硬纸板1张，B硬纸板2张，C硬纸板3张，
故答案为：1，2，3；
设计图可以为：
a ab ab ab ab
b a ab
ab
a b b a b b
(3)
设，
由题意得：，
由（1）知：
∴
即．
【点睛】
本题主要考查多项式乘法与图形面积的关系，熟练掌握多项式乘以多项式的计算方法及面积表示方法是解题关键．
22．（1）β-α；（2）∠ATC=-∠B+60°；（3）∠B=（β-α）
【解析】
【分析】
（1）利用平行线的性质和三角形外角的性质求解即可；
（2）过T作TK∥MN，根据平行线的性质得出∠ATK=∠MAT，∠KTC=∠TCE，再由∠MAT=∠BAN，∠TCB=2∠TCE，表示出∠ATC=-（β-α）+60°，结合∠B=β-α，即可求出结果；
（3）根据题中条件可得：∠BAH=（180°-α），∠BCA=（180°-β），结合∠BAH=∠B+∠BCA，可得∠B.
【详解】
解：（1）如图，设MN与BC交于点G，
∵MN∥EF，
∴∠BGN=∠BCF=β，
∴∠B=∠BGN-∠BAN=β-α，
故答案为：β-α；
（2）如图，过T作TK∥MN，
∵MN∥EF，
∴∠ATK=∠MAT，∠KTC=∠TCE，
∵∠MAT=∠BAN，∠TCB=2∠TCE，
∴∠ATC=∠ATK+∠KTC
=∠MAT+∠TCE
=∠BAN+∠TCB
=α+××（180°-∠BCF）
=α-β+60°
=-（β-α）+60°
∵∠B=β-α，
∴∠ATC=-∠B+60°；
（3）如图，
∵直线AC平分∠MAB，且平分∠ECB，
∴∠BAH=∠MAH=（180°-∠BAN）=（180°-α），
∠BCA=∠ECA=（180°-∠BCF）=（180°-β），
∵∠BAH=∠B+∠BCA，
∴（180°-α）=∠B+（180°-β），
∴∠B=（β-α）.
【点睛】
本题综合考查了平行线的性质和三角形外角的性质，以及角平分线的定义，作出适当的辅助线，结合图形进行推理计算是解题的关键.
23．（1） 105°；（2） 135°； （3）5或17；11或23
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；
（2）根据内错角相等，两直线平行判断出MN∥BC，再根据两直线平行，同旁内角互补解答；
（3）作出图形，然后分两种情况求出旋转角，再根据时间=旋转角÷速度计算即可得解．
【详解】
解：（1）在△CEN中，
∠CEN=180°-∠DCN-∠MNO=180°-45°-30°=105°
（2）∵∠BON=∠N=30°，
∴MN∥CB，
∴∠CEN=180°-∠DCO=180°-45°=135°
（3）如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于F，
∵CD∥MN，
∴∠OFD=∠M=60°，
在△ODF中，∠MOD=180°-∠D-∠OFD，
=180°-45°-60°，
=75°，
∴旋转角为75°，
t=75°÷15°=5秒；
CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F，
∵CD∥MN，
∴∠DFO=∠M=60°，
在△DOF中，∠DOF=180°-∠D-∠DFO=180°-45°-60°=75°，
∴旋转角为75°+180°=255°，
t=255°÷15°=17秒；
综上所述，第5或17秒时，边CD恰好与边MN平行；
如图2，CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGC=90°-∠MNO=90°-30°=60°，
∴∠CON=∠NGC-∠OCD=60°-45°=15°，
∴旋转角为180°-∠CON=180°-15°=165°，
t=165°÷15°=11秒，
CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGD=90°-∠MNO=90°-30°=60°，
∴∠AOC=∠NGD-∠C=60°-45°=15°，
∴旋转角为360°-∠AOC=360°-15°=345°，
t=345°÷15°=23秒，
综上所述，第11或23秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于（3）分情况讨论，作出图形更形象直观．