省实江门学校 2022-2023学年第一学期开学考试
高二数学
一、单选题（本大题共 8小题，共 40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知向量 = (2,3)， = (3,2)，则| | =( )
A. √2 B. 2 C. 5√2 D. 50
2. 设{ 1 , 2 }为平面内所有向量的一个基底，已知向量 = ， 1 2 = 4 1 2 2 ，
= 3 1 3 2 ，若 ， ， 三点共线，则 的值是( )
A. 2 B. 1 C. 2 D. 1
3. 在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 =( )
3 1 1 3 3 1 1 3
A. B. C. + D. +
4 4 4 4 4 4 4 4
4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水
库水位为海拔148.5 时，相应水面的面积为140.0 2;水位为海拔157.5 时，相应水面
的面积为180.0 2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔
148.5 上升到157.5 时，增加的水量约为(√7 ≈ 2.65)( )
A. 1.0 × 109 3 B. 1.2 × 109 3 C. 1.4 × 109 3 D. 1.6 × 109 3
5. 设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若 ⊥ ， ， ，则 ⊥
B. 若 ⊥ ， // ， // ，则 ⊥
C. 若 ⊥ ， ， ，则 ⊥
D. 若 // ， ， ，则 //
6. 如图所示，在三棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ，
且 = = 1， = 2，点 为 中点，则 的长为 ( )
A. √5 B. 2 C. √3 D. √2
7. 刘徽(约公元225年 295年)，魏晋时期伟大的数学家，中国古代数学理论的奠基人之一.他
在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而
无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的重要阐释.割圆术的核心思想是将一个圆的内
接正 边形等分成 个等腰三角形，当 变得很大时，这些等腰三角形的面积之和近似等于
圆的面积.运用割圆术的思想，得到 1°的近似值为( )
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A. B. C. D.
90 180 270 360
8. 在三棱锥 中， ⊥平面 ，∠ = 90°， ， ，
分别是棱 ， ， 的中点， = ， = 2 ，则直线
与平面 所成角的正弦值为( )
2
A. √
5 5
B. √
5 5
3 2 3
C. √ D. √
5 5
二、多选题（本大题共 4小题，共 20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下面的命题正确的有 ( )
A. 方向相反的两个非零向量一定共线
B. 单位向量都相等
C. 若 ， 满足| | > | |且 与 同向，则 >
D. “若 、 、 、 是不共线的四点，且 = ” “四边形 是平行四边形”
10. 设向量 = (2,0)， = (1,1)，则( )
1 1
A. | | = | | B. 与 的夹角是 C. 4 ( ) ⊥
D. 与 同向的单位向量是( , )
2 2
11. 如图，在长方体 1 1 1 1中， 1 = = 4， = 2，
， 分别为棱 1 1， 1的中点，则下列说法正确的是 ( )
A. A、 、 、 四点共面
B. 平面 ⊥平面 1 1
C. 直线 与 1 所成角的为60
D. //平面
12. 如图在三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥底面 ，
⊥ ，点 是 上的动点，则下列结论正确的是( )
A. ⊥ 1
B. 当 为 的中点时，平面 1 ⊥平面 1 1
C. 当 为 中点时， 1//平面 1
D. 三棱锥 1 1的体积是定值
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三、填空题（本大题共 4小题，共 20.0分）
13. 设 = (3,4)，点 的坐标为( 1,0)，则点 的坐标为 ．
14. 已知向量 = (1,3)， = (3,4)，若( ) ⊥ ，则 = ．
15. 如图，在四棱锥 中， ⊥底面 ， ⊥ ，
// ， = = = 2， = 1.若 为棱 上一
点，满足 ⊥ ，则 = ．
16. 已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是球 的直径．若平面 ⊥平面
， = ， = ，三棱锥 的体积为9，则球 的表面积为 ．
四、解答题（本大题共 6小题，其中 18题 10分，其余每题 12分，共 70.0分。解答应写出文
字说明，证明过程或演算步骤）
2
17. 已知向量 与 的夹角 = ，且| | = 3，| | = 2．
3
(1)求 ，| + |；
(2)求向量 与 + 的夹角的余弦值．
18. 如图所示，在直角梯形 中， // ， ⊥ ， ⊥ ， = = . ， ，
分别为线段 ， ， 的中点，现将△ 折起，使点 平面 .
求证：平面 //平面 ．
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19. 已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，向量 = ( , √3 )， = ( , )，
且 // ．
(1)求角 ；
(2)若 = √7， = 2，求△ 的面积．
20. 百年恰是风华正茂，迈向新征程的中国共产党，举世瞩目. 100年来，中国社会沧桑巨变．今
年是我国建党一百周年，某班(共50名同学)举行了一次主题为“学好百年党史，凝聚奋斗
伟力”的党史知识竞赛活动，根据全班同学的竞赛成绩(均在80 100之间)绘制成频率分
布直方图如图．
(1)求 的值，并求在[80,92)的学生总人数；
(2)若从成绩在[80,88)的同学中随机选出两人，
求至少有一人成绩在[84,88)的概率．
21. 如图，直四棱柱 1 1 1 1的底面是菱形， 1 = 4， = 2，∠ = 60
， ，
， 分别是 ， 1， 1 的中点．
(1)证明： //平面 1 ;
(2)求点 到平面 1 的距离．
22. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧面 是正三角形，侧面 ⊥
底面 ， 是 的中点．
(1)求证： ⊥平面 ;
(2)求侧面 与底面 所成二面角的余弦值．
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高二数学-参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
3 1
13. (2,4) 14. 15. 16. 36
5 3
2 1
17. 解：(1) = | || |cos = 3 × 2 × ( ) = 3，……4分
3 2
2
| + | = √
2
( + )2 = √ + + 2 = √9 + 4 6 = √7，……8分
(2)设向量 与 + 的夹角 ，
( + ) 9 3 2√7
则 = = = ． …………12 分
| || + | 3×√7 7
18. 证明：∵ = ， = ，
∴ // ，
又∵ // ，
∴ // ．
又 平面 ，
∴ //平面 ．
同理可证 //平面 ．
又∵ ∩ = ， 、 平面 ，
∴平面 //平面 ． …………10 分
19. 解：(1)因为 // ，所以 sin √3 = 0．
由正弦定理，得sin sin √3sin cos = 0，
因为sin ≠ 0，所以tan = √3．
又 为△ 的内角，
所以 = ．…………6分
3
(2)由余弦定理，得 2 = 2 + 2 2 ，即7 = 4 + 2 2 ，
解得 = 3或 1(舍去)，
1 3 3
所以△ 的面积 √ = sin = ． ……12 分
2 2
20. 解：(1)由( + 2 + 5 + 8 + 9 ) × 4 = 1，解得 = 0.01，
其中在[80,84)内有2人，在[84,88)内有4人，在[88,92)内有10人，共有16人；……6分
(2)其中在[80,84)内有2人，在[84,88)内有4人，
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设此六人分别为 ， 和 ， ， ， ，
则从成绩在[80,88)的同学中随机选出2位，有 ， ，
， ， ； ， ， ， ； ， ， ； ， ； 共15种可能情形，
记“至少有一人成绩在[84,88)”为事件 ，
事件 包含 ， ， ， ；
， ， ， ； ， ， ； ， ； 14种情况，
14
故 ( ) = ，
15
14
答：至少有一人成绩在[84,88)的概率为 ……12 分
15
21. 解：(1)连接 1 ， ．
因为 ， 分别为 1， 的中点，
1
所以 // 1 ，且 = 2 1
，
又因为 为 1 的中点，
1
所以 = 1 ， 2
// //
由题设知 1 ，可得 ， 1 = 1 = 1
//
故 = ，
因此四边形 为平行四边形， // ．
又 平面 1 ， 平面 1 ，
所以 //平面 1 ．…………6分
(2)过 作 1 的垂线，垂足为 ，
由已知可得 ⊥ ， ⊥ 1 ，
所以 ⊥平面 1 ，故 DE⊥ ，
从而 ⊥平面 1 ，
故 CH 的长即为 到平面 1 的距离，
由已知可得 = 1， 1 = 4，
4
所以 √
17
1 = √17，故 CH= ， 17
4 17
从而点 到平面 1 的距离为
√ ．…………12 分
17
22. (1)证明：∵平面 ⊥平面 ，交线为 ，
又底面 为正方形， ⊥ ， 平面 ，
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∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，∴ ⊥ ，
又△ 是正三角形， 是 的中点，
∴ ⊥ ．
又 ∩ = ， , 平面 ，
∴ ⊥平面 ．…………4分
(2)取 、 的中点分别为 、 ，连接 、 、 ．
由(1)知 ⊥平面 ， // ，得 ⊥平面 ，
∵ , 平面 ，
∴ ⊥ , ⊥ ，即∠ = ∠ = 90°，而 = , = ，
∴△ ≌△ ，
∴ = ， 为 的中点，
∴ ⊥ ，
又 ⊥ ，
∴ ∠ 为侧面 与底面 所成的二面角，且∠ = 90°，
7
设正方形边长为 ，可求得 = ， √ = √2 ，∴ = ，
2
2√7
∴ cos∠ = = ，
7
2 7
即侧面 与底面 所成二面角的余弦值为 √ ． …………12 分
7
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