省实江门学校 2022-2023 学年第一学期开学考试
高一数学参考答案
一、 选择题（每题 3 分，10 小题，共 30 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C C D B A A D
部分题目说明
7、解：如图，连接 AC，AC与 BD相交于点 O，
∵四边形 ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，AC＝BD＝10，
∴AO＝CO＝BO＝DO＝5，AC⊥EF
∵DE= BF= 2，
∴OE＝OF＝OD－DE＝3，
在 Rt△COE中，
CE2 =CO2 +OE2
∴CE = CO2 +OE2 = 52 +32 = 34
∵AO＝CO，OE＝OF
∴四边形 AECF是平行四边形
∵ AC⊥EF
∴四边形 AECF是菱形，
∴AE＝EC＝CF＝AF＝ 34
∴四边形 AECF的周长＝4 34
9、解：如图，连接 AB 、 AB ，
A(0,4)，B(6,8)，
AB = 62 + 42 = 2 13，
点 B 与B′关于直线 AP 对称，
AB = AB = 2 13，
在Rt AOB 中，B O = AB 2 AO2 = 6
B 点坐标为 ( 6,0)或 (6,0)，
A(0,4)，点B(6,8)关于直线 AP 的对称点B′恰好落在 x 轴上，
点B(6,8)关于直线 y = 4的对称点 B (6,0)，
B 点坐标为 (6,0)不合题意舍去，
设直线BB 方程为 y = kx + b
6k +b = 8
将B(6,8)， B ( 6,0)代入得： ，
6k +b = 0
2
解得 k = ，b = 4，
3
2
直线BB 的解析式为： y = x + 4，
3
3
直线 AP 的解析式为： y = x + 4，
2
3
当 yAP = 0时， x + 4 = 0，
2
8
解得： x = ，
3
8
点 P 的坐标为： ( ,0) ；
3
故选：A．
10、解：① 四边形OACB是矩形，
OBC = 90 ，
将 OBP 沿OP 折叠得到 OPD，
OB =OD， PDO OBP 90 ， BOP = DOP ，
BOP 45 ，
DOP BOP 45 ，
BOD = 90 ，
BOD OBP ODP 90 ，
四边形OBPD是矩形，
OB =OD，
四边形OBPD为正方形；故①正确；
②过D作 DH ⊥OA于 H ，
点 A(10,0)，点 B(0,6)，
OA=10，OB = 6，
OD OB 6， BOP DOP 30 ，
DOA 30 ，
1
DH OD 3，
2
1 1
OAD 的面积为 OA DH 3 10 15 ，故②正确；
2 2
③连接OC ，
则OD CD OC ，
即当OD+CD =OC时，CD取最小值，
AC OB 6，OA=10，
OC OA2 AC 2 102 62 2 34 ，
CD OC OD 2 34 6，
即CD的最小值为 2 34 6；故③正确；
④ OD ⊥ AD，
ADO = 90 ，
ODP OBP 90 ，
ADP 180 ，
P， D，A 三点共线，
OA / /CB ，
OPB POA，
OPB OPD，
OPA POA，
AP OA 10 ，
AC = 6，
CP 102 62 8，
BP BC CP 10 8 2，故④正确；
二、 填空题（每题 3 分，5 小题，共 15 分）
2 4
11、 x 3 12、4a (a 2) 13、1 14、 15、2
3
部分题目详解
13、解：延长 CD交 AB于 F，
在△BDC和△BDF中，
，
∴△BDC≌△BDF（ASA），
∴BF＝BC＝3，CD＝DF，
∴AF＝AB﹣BF＝5-3=2，
∵CD＝DF，CE＝EA，
∴DE＝ AF＝1，
14、解：连接 CF，DF，
则△CFD是等边三角形，
∴∠FCD＝60°，
在正五边形 ABCDE中，∠BCD＝108°，
∴∠BCF＝48°，
∴ 的长＝ ＝ π，
故答案为： π．
ab
15、解：设 A点坐标为（a，b），则 k＝ab，y＝ ，如图，
x
过点 A作 AM⊥x轴于点 M，过点 B作 BN⊥y轴于点 N，过点 E作 EF⊥x轴于点 F，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ADM+∠CDO＝90°，∠BCN+∠DCO＝90°，
∵∠CDO+DCO＝90°，
∴∠ADM+∠BCN＝90°，
∵∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠BCN＝∠DAM，
在△ADM和△CBN中，
DAM = BCN
AD = CNB = 90 ，
AD =CB
∴△ADM≌△CBN（AAS），
∴CN＝AM＝b，BN＝MD，
∵OC＝3，
ab
∴ON＝3﹣b，即 yB＝b﹣3，且 B在 y＝ 图象上，
x
ab
∴B（ ，b﹣3），
b 3
ab
∴BN＝DM＝|xB|＝ ，
3 b
∵点 E是 AD的中点，
ab ab ab
∴MF＝ ，OF＝a+ ，OD＝a+ ，
6 2b 6 2b 3 b
ab 1
∴E（a+ ， b），
6 2b 2
k
∵双曲线 y＝ 经过 AD的中点 E，
x
ab 1
∴（a+ ） b＝ab，解得 b＝2，
6 2b 2
∴A（a，2），B（﹣2a，﹣1，D（3a，0），
而 C（0，﹣3），且矩形 ABCD有 AC＝BD，
∴（a﹣0）2+（2+3）2＝（﹣2a﹣3a）2+（﹣1﹣0）2，
解得 a＝1 或 a＝﹣1（舍去），
k
∴A（1，2），代入 y＝ 得：k＝2．
x
三、 解答题（共 8 小题，共 75 分）
2x 1 x+1①
16、解; ，
x +8 4x 1②
由①得，x＞2，………………………… 3分
由②得，x＞3，………………………… 6分
故此不等式组的解集为：x＞3. ………………………… 8分
17、
………………………… 3分
………………………… 6分
………………………… 8分
18、
………………………… 1分
………………………… 5分
………………………… 6分
………………………… 8分
19、解：根据题意可知：四边形EFCA和 ABDC 是矩形，ME = 7.5米，
CA= EF = BD =1.5米，CD = AB，………………………… 1 分
设 FC = x，
在 Rt MFC 中，
MCF = 60 ，
FMC = 30 ，………………………… 2分
MC = 2FC = 2x，MF = 3x，………………………… 3分
MDC = 30 ，
CMD = 60 30 = 30 ，………………………… 4分
CD =CM = 2x， ………………………… 5分
ME = MF +EF ，
3x +1.5 = 7.5，………………………… 6分
解得： x = 2 3 ，………………………… 7分
MC = 2x = 4 3 （米 )．………………………… 8分
答：体温监测有效识别区域 AB 的长为4 3 米．………………………… 9分
20、解：（1）设 A型女装单价为 x元，B型女装单价为 y元．
2x +3y = 5600,
根据题意可得 ………………………… 2分
x + 2y = 3400．
x =1000,
解得 ………………………… 3分
y =1200．
所以 A型女装的单价是 1000 元，B型女装的单价是 1200 元．………………………… 4分
（2）设该专卖店购进 A型女装 x（0 x 60，且 x为整数）件，则购进 B型女装（60-x）件．
根据题意可得 x 2 (60 x)．………………………… 5分
解得 x≥40． ………………………… 6分
∴40 x 60，且 x为整数．
设该专卖店需要准备贷款 y元．
根据题意可得 y =1000x +1200 0.8 (60 x) = 40x + 57600．………………………… 7 分
∵k=40>0，
∴y随 x的增大而增大．
∴当 x=40 时，y有最小值为 40×40+57600=59200 元．………………………… 8分
∴该专卖店至少需要准备 59200 元的贷款．………………………… 9分
21、解：（1）由条形统计图和扇形统计图可知参加问卷调查的学生人数是 84÷35%=240 人；…… 1分
24
“D”对应的人数为 24 人，对应扇形的圆心角大小为 360 =36 ．…… 2分
240
24
（2）最喜欢 D活动的人数占总调查人数： 100%=10% ，………………………… 3分
240
∴最喜欢 C活动的人数占总调查人数：1-35%-25%-10%=30%，………………………… 4分
∴1000 名学生中最喜欢 C活动的人数约有：1000 30%=300人．………………………… 5分
（3）树状图如下：
………………………… 7分
恰好选到甲和丁同学有 2 种情况，总的情况有 12 种，………………………… 8分
2 1
∴恰好选到甲和丁同学的概率为P= = ．………………………… 9分
12 6
22、解：解：（1）如图 1，
∵AC 为直径，
∴∠ABC＝90°，………………………… 1分
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，………………………… 2分
∴∠ADB＝∠ACB＝45°；………………………… 3分
（2）线段 EA，CF，EF 之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：………………………… 4分
如图 2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，
∵AD∥BF，
∴∠EBF＝∠ADB＝45°，
又∠ABC＝90°，
∴α+β＝45°，………………………… 5分
过 B 作 BN⊥BE，使 BN＝BE，连接 NC，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，
∴△AEB≌△CNB（SAS），
∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，………………………… 6分
∴∠FCN＝90°．
∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，
∴△BFE≌△BFN（SAS），
∴EF＝FN，………………………… 7分
∵在 Rt△NFC 中，CF2+CN2＝NF2，
∴EA2+CF2＝EF2；………………………… 8分
（3）如图 3，延长 GE，HF 交于 K，
由（2）知 EA2+CF2＝EF2，
1 1 1
∴ EA2+ CF2＝ EF2，
2 2 2
∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，
∴S△AGE+S△CFH+S 五边形 BGEFH＝S△EFK+S 五边形 BGEFH，
即 S△ABC＝S 矩形 BGKH，
1 1
∴ S△ABC＝ S 矩形 BGKH，
2 2
∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，
∴S△BGM＝S 四边形 COMH，S△BMH＝S 四边形 AGMO，………………………… 9分
∵S 四边形 AGMO：S 四边形 CHMO＝8：9，
∴S△BMH：S△BGM＝8：9，
∵BM 平分∠GBH，
∴BG：BH＝9：8，
设 BG＝9k，BH＝8k，
∴CH＝3+k，
∵AG＝3，
∴AE＝3 2 ，
∴CF＝ 2 （k+3），EF＝ 2 （8k﹣3），
∵EA2+CF2＝EF2，
∴ (3 2)2 +[ 2(k +3)]2 = [ 2(8k 3)]2 ，………………………… 10分
整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，
1
解得：k1＝﹣ （舍去），k2＝1．………………………… 11分
7
∴AB＝12，
2
∴AO＝ AB＝6 2 ，
2
∴⊙O 的半径为 6 2 ． ………………………… 12分
23、解：(1) y = ax2
1
+ bx + c(a 0)的对称轴为直线 x = ，
2
b 1
= b = a ．………………………… 1分
2a 2
又 A( 2,0)，B(0,2)在抛物线上C 上，
b = a a = 1,
4a 2b + c = 0 b = 1, ………………………… 2分
c = 2 c = 2,
抛物线上C 的解析式为 y = x2 x + 2．……………… 3分
1
(2) 抛物线上C 的解析式为 y = x2 x + 2的对称轴 x = ， A( 2,0)，
2
C(1,0)．………………………… 4分
A( 2,0)，B(0,2)，
直线 AB 的解析式 y = x+ 2．
直线 AD的斜率为 1，解析式y = x 2．…………… 5分
设直线EF 的解析式 y = x+b(b 2) ，E(x1, y1)， F (x2 , y2 )， x1 x2，
y = x2 x + 2
x
2 + 2 b = 0 ,
y = x + b
x1 + x2 = 0
2
， x1 x2 = b 2， EF = 1+ ( 1)
2 (x + x ) 4x x = 2 8 4b ．………………………… 6分 1 2 1 2
△EFO为以EF 为斜边的直角三角形，
EF 2 = EO2 + FO2 ．
EO = x2 + y2 = 2x2 2x b + b2 ， FO = x2 + y2 = 2x2 21 1 1 1 2 2 2 2x2b + b ，
2(8 4b) = 2x21 + 2x
2
2 2b(x1 + x2) + 2b
2 ，即 2(8 4b) = 2[(x1 + x2)
2 2x1x2] 2b(x1 + x
2
2) + 2b ，
整理得b2 + 2b 4 = 0，解得b = 1+ 5或b = 1 5 ，
平移后的直线EF 的解析式为 y = x 1+ 5 或 y = x 1 5 ．………………………… 8分
1
(3) 抛物线上C 的解析式为 y = x2 x + 2，对称轴直线 x = 与 x 轴交于点M ，
2
1
M ( ,0)．………………………… 9分
2
1
设直线PM 的解析式为 y = k(x + )(k 0)， P(x1, y1)，Q(x2 , y2 )，
2
直线PM 交抛物线于另一点Q，点 P 关于抛物线对称轴对称点H ，
y = x2 x + 2
2 k k 1 x (k +1)x + 2 = 0， x1 + x2 = (k +1) ， x1 x2 = 2，……………………10分
y = k(x + ) 2 2
2
H( 1 x , x21 1 x1 + 2) ，Q(x2 , x
2
2 x2 + 2)．
1
设G( , y) ，
2
斜率 kGH = kHQ ，
x22 x
2 2
2 + 2 + x1 + x1 2 y + x1 + x1 2=
x 1 ，……………… 11分 2 + x1 +1 + x1 +1
2
1 k 1 k 9
整理得， y = (x1 + x2 ) x1 x2 + 2 = + + 2+ 2 = ，
2 2 2 2 2
9
GM = ．………………………… 12分
2省实江门学校 2022-2023 学年第一学期开学考试
高一数学试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4页，满分 120分，考试用时 90分钟.
第一部分 选择题（共 30分）
一、选择题(本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)
1. 2022 的相反数是（ ）
1 1
A．2022 B． C．﹣2022 D．﹣
2022 2022
2. 随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高，我国企业中芯国际已经实现14纳米量产，14纳米
= 0.000014毫米，0.000014 用科学记数法表示为（ ）
A. 14 10-6 B. 1.4 10-5 C. 1.4 10-7 D. 0.14 10-4
3. 现在道路上的车辆是越来越多了，如果没有交通规则约束和交通标志指示，那么路上的车辆一
定是混杂堵塞，所以开车时一定要看清标志，文明驾车．下列交通标志中，既是轴对称图形又是
中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算正确 是（ ）
3
A. 3a+ 2b = 5ab B. 8a2
2 6 3 2 3
4a = 2a C. ( 2a ) = 8a D. 4a 3a =12a
5. 一个几何体由若干大小相同的小立方木块搭成，如图是它的主视图和俯视图，那么搭成该几
何体所需小立方木块的个数最少为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
6. 在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇 7 个村的得分如下：10，7，6，9，8，
9，5，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 7，9 B. 9，9 C. 9，8 D. 8，9
7. 如图，E、F是正方形 ABCD的对角线 BD上的两点，BD= 10，DE= BF= 2，则四边形 AECF的
周长等于（ ）
A. 20 B. 4 34 C. 30 D. 20 2
题 7 图 题 9 图 题 10 图
高一数学试卷 第 1 页，总 4 页
8. 某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运 30 件电子产品，已知甲工人搬运
300 件电子产品所用的时间与乙工人搬运 200 件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运
x 件电子产品，可列方程为 ( )
300 200 300 200 300 200 300 200
A. = B. = C. = D. =
x + 30 x x 30 x x x + 30 x x 30
9. 如图，点 A、B的坐标分别为 (0,4)、 (6,8)，点 P为 x轴上的动点，若点 B关于直线 AP的对称
点 B '恰好落在 x轴上，则点 P的坐标是（ ）
8 4
A． ,0 B． ,0 C． (2,0) D． (3,0)
3 3
10. 如图，已知一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 A（10，0），点 B
（0，6），点 P为 BC边上的动点，将△OBP沿 OP折叠得到△OPD，连接 CD、AD．则下列结中：
①当∠BOP＝45°时，四边形 OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为 15；③当 P
在运动过程中，CD的最小值为 2 34 ﹣6；④当 OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
第二部分 非选择题（共 90分）
二、填空题(本大题 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)
x 2
11. 若 有意义，则 x的取值范围是 ．
x + 3
12. 因式分解：4a3 16a2 +16a = _______．
13. 如图，在 ABC中，BD平分 ABC ，CD ⊥ BD ，垂足为D， E 为 AC 的中点．若
AB = 5， BC = 3，则 DE 的长为______．
题 13图 题 14图 题 15图
14. 如图，正五边形 ABCDE的边长为 5，分别以点 C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点
F，则 BF 的长为_____．
k
15. 如图，已知矩形 ABCD的顶点 A、B分别落在双曲线 y = 上，顶点C、D分别落在 y 轴、 x
x
k
轴上，双曲线 y = 经过 AD的中点E ，若OC = 3，则 k 的值为______．
x
三、解答题(一)（本大题 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）
2x 1 x +1
16．解不等式组 .
x +8 4x 1
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a a2 1
17. 先化简，再求值： ( 1) ，其中a =1+ 2 ．
a +1 a2 + 2a +1
18．如图，四边形 ABCD中，AB∥CD，AC与 BD相交于点 O，
AO＝CO，求证：四边形 ABCD是平行四边形．
四、解答题(二)（本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）
19．在疫情防控工作中，某学校在校门口的大门上方安装了一个人体测温摄像头．如图，学校大门
高 ME＝7.5 米，AB为体温监测有效识别区域的长度，小明身高 BD＝1.5 米，他站在点 B处测得摄
像头M的仰角为 30°，站在点 A处测得摄像头M的仰角为 60°，求体温监测有效识别区域 AB的长
度．
20．某服装专卖店计划购进 A，B两种型号的精品女装．已知 2 件 A型女装和 3 件 B型女装共需
5600 元；1 件 A型女装和 2 件 B型女装共需 3400 元．
（1）求 A，B型女装的单价．
（2）专卖店购进 A，B两种型号 女装共 60 件，其中 A型的件数不少于 B型件数的 2 倍，如果
B型女装打八折，那么该专卖店至少需要准备多少贷款？
21．某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次
用 A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的将好情况：学校随机抽取部分学生进行了“你
最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查，并根据调查结果绘制了条形统计图和
扇形统计图，部分信息如图：
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（1）参加问卷调查的学生人数是 人，扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为 ．
（2）估计全体 1000 名学生中最喜欢 C活动的人数约为多少人？
（3）现从喜好编导表演 甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人搭档彩排双人相声，请用树状图
或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？
五、解答题(三)（本大题 2 小题，每小题 12 分，共 24 分）
22．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC 为直径，AC 和 BD 交于点 E，AB＝BC．
（1）求∠ADB 的度数；
（2）过 B 作 AD 的平行线，交 AC 于 F，试判断线段 EA，CF，EF 之间满足的等量关系，并说
明理由；
（3）在（2）条件下过 E，F 分别作 AB，BC 的垂线，垂足分别为 G，H，连接 GH，交 BO 于
M，若 AG＝3，S 四边形 AGMO：S 四边形 CHMO＝8：9，求⊙O 的半径．
1
23．如图，抛物线C ： y = ax2 +bx + c(a 0)的对称轴为直线 x = ，且抛物线经过 A( 2,0)，
2
B(0,2)两点，交 x 轴于另一点C ．
(1) 求抛物线的解析式；
(2)过点A 作直线 AB的垂线交 y 轴于点D，平移直线 AD交抛物线于点E ，F 两点，连结EO，
FO．若△EFO 为以EF 为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．
1
(3)设对称轴直线 x = 与 x 轴交于M ，点 P 为抛物线上对称轴左侧一点，直线PM 交抛物线于另
2
一点Q ，点 P 关于抛物线对称轴对称点H ，直线HQ 交抛物线对称轴于G 点，在点P 运动过程
中GM 长是否为一定值，若为定值，请求出其值，若不为定值，请求出其变化范围．
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