2022-2023学年北师大版九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明 选择专项练习题（含解析）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》
选择专项练习题（附答案）
1．如图，△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．图中所示的△ABC中，E、F分别在边AB、AC上，EF∥BC，AB＝3，AE＝2，EF＝4，则BC＝（　　）
A．6 B．12 C．18 D．24
3．已知：如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，AD：OD＝5：3，则S△AOB：S△DOC＝（　　）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
4．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，已知点D、E是△ABC中AB边上的点，△CDE是等边三角形，∠ACB＝120°，则下列结论中错误的是（　　）
A．AC2＝AD AB B．BC2＝BE AB
C．DE2＝AD BE D．AC BC＝AE BD
6．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（　　）
A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
8．如图，△ABC中，∠ABD＝∠C，若AB＝4，AD＝2，则CD边的长是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（　　）
A．12 B．7 C．6 D．5
10．如图，在平行四边形ABCD中，点E在CD上，若DE：CE＝1：2，则△CEF与△ABF的周长比为（　　）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．4：9
11．如图所示，在平行四边形ABCD中，点E为BC中点，连接DE，过点A作AF⊥CD于点F，交DE于点G，连接BG并延长交CD于点H，恰好使DH：HC＝2：3．已知AB＝5，阴影部分△BEG的面积为3，则AG的长度是（　　）
A． B．4 C． D．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M在BC边上，且满足BM＝1，过D作DN⊥AM交AM于点N，则DN的长为（　　）
A． B． C． D．
13．如图所示，矩形ABCD中，点E在DC上且DE：EC＝2：3，连接BE交对角线AC于点O．延长AD交BE的延长线于点F，则△AOF与△BOC的面积之比为（　　）
A．9：4 B．3：2 C．25：9 D．16：9
14．如图，O为正方形ABCD对角线AC上一动点，OE⊥OD，∠ODE＝45°，E在AB上．结论：①OD＝OE；②∠ADE＝∠AOE；③DG2＝GO GC；④若AB＝3，AE＝1，则OE．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
16．如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在DA的延长线上取点E，连接OE交AB于点F，已知AD＝11，CD＝14，且AF＝2，则AE的长为（　　）
A．2.3 B．2.2 C．2.1 D．2
17．如图，AC是 ABCD的对角线，点E是AB的延长线上的一点，连接DE，分别交BC，AC于点F，G，则下列式子一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
18．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M为AD中点，连接CM交BD于点N，若△MDN的面积为1，则 ABCD的面积为（　　）
A．12 B．14 C．15 D．20
19．如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且CD＝DE，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：
①OGAB；
②由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；
③S四边形ODGF＝S△ABF；
④S△ACD＝4S△BOG．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
20．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM＝CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④S△AOE：S△BCF＝1：2．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
参考答案
1．解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，四边形BDEF为平行四边形，
∴△ADE∽△EFC，DE＝BF，
∴．
故选：D．
2．解：∵EF∥AB，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∵AB＝3，AE＝2，EF＝4，
∴，
解得，BC＝6，
故选：A．
3．解：如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，AD：OD＝5：3，
∴△AOB∽△DOC，且AO：OD＝2：3，
∴S△AOB：S△DOC＝AO2：OD2＝4：9．
故选：C．
4． 解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3；
∴BE：BC＝1：4；
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴，
∴，故选：D．
5．解：如图所示：
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
又∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠ADC＝120°，
又∵∠ACB＝120°，
∴∠ADC＝∠ACB，
在△ADC和△ACB中，
，
∴△ADC∽△ACB（AA），
∴，
∴AC2＝AB AD，
即答案A正确；
同理可证：△CEB∽△ACB（AA），
∴，
∴BC2＝AB BE，
即答案B正确；
∵∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠CEB＝120°，
∴△ACD∽△CBE（AA），
∴，
∴CD CE＝AD BE，
又∵CD＝DE＝EC，
∴DE2＝AD BE，
即答案C正确；
∵△ACE与△BDC不相似，
∴AC BC＝AE BD不成立，
即答案D错误．
故选：D．
6．解：连接DE，过点D作DH⊥AB于H，如图所示：
∵CD＝2BD，CE＝2AE，
∴2，
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，△DEF∽△ABF，
∴，，
∴，
∵DE∥AB，
∴S△ABE＝S△ABD，
∴S△AEF＝S△BDF，
∴S△AEFS△ABD，
∵BDBC，
∵AB＝6一定，当DH最大时，△ABD的面积最大，
∵DH≤BD，
∴DH＝BD时，DH最大，
即当AB⊥BD时，△ABD的面积最大，最大值6＝5，
∴△AEF的面积的最大值5＝2，
故选：A．
7．解：∵ ABCD，故AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴，
∵点E是边AD的中点，
∴AE＝DEAD，
∴．
故选：D．
8．解：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴，AC＝AD+DC，
∴，
∴DC＝6．
答：DC边的长为6．
故选：C．
9．解：∵在Rt△ABC中（∠C＝90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，
∴△CEF∽△OME∽△PFN，
∴OE：PN＝OM：PF，
∵EF＝x，MO＝3，PN＝4，
∴OE＝x﹣3，PF＝x﹣4，
∴（x﹣3）：4＝3：（x﹣4），
∴（x﹣3）（x﹣4）＝12，即x2﹣4x﹣3x+12＝12，
∴x＝0（不符合题意，舍去）或x＝7．
故选：B．
10．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，CD＝AB．
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC＝1：2，
∴EC：DC＝CE：AB＝2：3，
∴C△CEF：C△ABF＝2：3．
故选：C．
11．解：延长DE与AB的延长线交于点M，连接CG，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠M＝∠EDC，
∵BE＝CE，∠BEM＝∠CED，
∴△BEM≌△CED（AAS），
∴EM＝ED，BM＝CD，
∵DH：HC＝2：3，
∴DH：CD＝2：5，
∴DH：BM＝2：5，
∵DH∥BM，
∴△DHG∽△MBG，
∴，
∴，
∵DE＝ME，
∴，
∴，
∵△BEG的面积为3，点E为BC中点，
∴S△CEG＝S△BEG＝3，
∴S△CDG＝4，
∵CD＝AB＝5，
∴，
∴FG，
∵HF∥AB，
∴△HFG∽△BAG，
∴，
∴AGFG＝4．
故选：B．
12．解：连接DM，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD＝BC＝4，△AMD底边AD上的高为AB，
AM，
∵△ADM的面积AM×DNAD×AB，
∴DN；
故选：D．
13．解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴△AOB∽△COE，
∵DE：EC＝2：3，
∴CE：CD＝3：5，
∴CE：CD＝CE：AB＝3：5，
∴S△AOF：S△BOC＝25：9．
故选：C．
14．解：∵OE⊥OD，
∴∠DOE＝90°，
∵∠ODE＝45°，
∴△DOE是等腰直角三角形，
∴OD＝OE，
∴①正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵∠DEO＝90°﹣∠ODE＝45°，
∴∠DAC＝∠DEO＝45°，
∵∠AGD＝∠EGO，
∠DAC+∠AGD+∠ADE＝180°，
∠DEO+∠EGO+∠AOE＝180°，
∴∠ADE＝∠AOE，
∴②正确；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝∠ACB，
∵∠ODE＝45°，
∴∠ODE＝∠ACD＝45°，
∵∠DGO＝∠DGC，
∴△GOD∽△GDC，
∴，
∴DG2＝GO GC；
∴③正确；
∵四边形ABCD是正方形，AB＝3，AE＝1，
∴AD＝CD＝AB＝3，
∴DE，
∵△DOE是等腰直角三角形，
∴OE＝OD，
∴④正确，
∴正确结论个数为4，
故选：D．
15．解：∵AD∥BC，
∴设AD与BC之间的距离为h，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，
∴△ADO∽△CBO，
∴，
故选：A．
16．解：过O点作OM∥CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD＝14，
∴OM是△ABD的中位线，
∴AM＝DMAD，OMBA＝7，
∵AF∥OM，
∴△AEF∽△MEO，
∴，
∴，
∴AE2.2，
故选：B．
17．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，CD∥AB，
∴△CFG∽△ADG，
∴，
故A不正确；
∵CD∥AE，
∴△CDG∽△AEG，
∴，
∵AB＝DC，
∴，
故B正确；
∵△BEF∽△CDF，
∴，
故C，D不正确；
故选：B．
18．解：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，
∴∠DMN＝∠BCN，∠MDN＝∠NBC，
∴△MND∽△CNB，
∴，
∵M为AD中点，
∴，
∴BN＝2DN，
∴，，
∵△MDN的面积为1，
∴S△CNB＝4，S△CND＝2，
∴S△BCD＝S△CNB+S△CND＝4+2＝6，
∴S平行四边形ABCD＝2S△BCD＝2×6＝12．
故选：A．
19．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OGAB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴平行四边形ABDE是菱形，故②正确；
∵OA＝OC，AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG∥CD∥AB，OGCD，
∴S△ACD＝4S△AOG，
∵S△AOG＝S△BOG，
∴S△ACD＝4S△BOG，故④正确；
连接FD，如图：
∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，
∴F到△ABD三边的距离相等，
∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF，
∴S四边形ODGF＝S△ABF，故③正确；
正确的是①②③④，
故选：D．
20．解：连接OD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AC、BD互相平分，
∵O为AC中点，
∴BD也过O点，
∴OB＝OC，
∵∠COB＝60°，OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°，
在△OBF与△CBF中，
，
∴△OBF≌△CBF（SSS），
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，
∴FB⊥OC，OM＝CM，
∴①正确；
∵四边形EBFD是菱形，
∵∠OBC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∵△OBF≌△CBF，
∴∠OBM＝∠CBM＝30°，
∴∠ABO＝∠OBF，
∵AB∥CD，
∴∠OCF＝∠OAE，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴OB⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形，
∴③正确，
由四边形EBFD是菱形，得：△EOB≌△FOB，
由①可知BF是OC的垂直平分线，则有△FOB≌△FCB，
∴△EOB≌△FOB≌△FCB，
∴△EOB≌△CMB错误．
∴②错误；
④∵四边形ABCD是矩形，四边形EBFD是菱形，
∴OA＝OC，∠COF＝∠AOE，OF＝OE，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴S△AOE＝S△COF，
∵S△COF＝2S△CMF，
∵∠FCO＝30°，
∴FMCM，BMCM，
∴，
∴S△FOM：S△BOF＝1：4，
∵∠OGE＝∠OMF，∠GOE＝∠MOF，OE＝OF，
∴△GEO≌△MFO（AAS），
∴S△GEO＝S△MFO，
∴S△DEF＝S△EFB＝2S△BOF，
设S△EGO＝x，则S△AOE＝2x，S△BOF＝4x，
S四边形DGOF＝S△DEF﹣S△EGO＝S△EFB﹣S△EGO＝8x﹣x，
∴S△AOE：S四边形DGOF＝2x：（8x﹣x）＝2：7，
故④正确；
所以其中正确结论的个数为3个，
故选：C．