2022-2023学年北师大版九年级数学上册4.4探索三角形相似的条件 同步练习题（含解析）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》
同步练习题（附答案）
一．选择题
1．下列各组图形一定相似的是（　　）
A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形
C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形
2．如图P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． D．
3．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（　　）
A．B．C．D．
4．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，已知点P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交于点D，截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有（　　）
A．2处 B．3处 C．4处 D．5处
7．如图，正方形ABCD的边长为2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（　　）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
A． B． C．或 D．或
二．填空题
8．如图，已知∠1＝∠2＝∠3，图中有　 　对相似三角形．
9．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP＝　 　．
10．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝　 　时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16cm，AC＝12cm，点P从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为ts，当t＝　 　时，△CPQ与△CBA相似．
12．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为　 　．
13．如图，已知：∠ACB＝∠ADC＝90°，AD＝2，CD，当AB的长为　 　时，△ACB与△ADC相似．
三．解答题
14．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
15．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB AD；
（2）求证：△AFD∽△CFE．
16．如图00，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC，AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F，
（Ⅰ）证明：△ABD≌△BCE；
（Ⅱ）证明：△ABE∽△FAE；
（Ⅲ）若AF＝7，DF＝1，求BD的长．
17．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
18．如图，B、C、D在同一直线上，△ABC和△DCE都是等边三角形，且在直线BD的同侧，BE交AD于F，BE交AC于M，AD交CE于N．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求证：△ABF∽△ADB．
19．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长；
（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）
（1）当t＝1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：A．若一个等腰三角形的底角和一个等腰三角形的顶角相等，无法判定两三角形相似，故本选项错误；
B．两个直角三角形中直角相等，则两锐角的大小无法确定，无法判定两三角形相似，故本选项错误；
C．一个角为100°，则这个角必须是顶角，且两底角度数为40°，故两个三角形三内角均相等，即可判定两三角形相似，故本选项正确；
D．对顶角相等的三角形中，其他两个角的度数不确定，故无法判定两三角形相似，故本选项错误，
故选：C．
2．解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
C、当时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．
故选：D．
3．解：因为△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故选：B．
4．解：设AP＝x，则有PB＝AB﹣AP＝7﹣x，
当△PDA∽△CPB时，，即，
解得：x＝1或x＝6，
当△PDA∽△PCB时，，即，
解得：x，
则这样的点P共有3个，
故选：C．
5．解：如图①，∠OAB＝∠BAC1，∠AOB＝∠ABC1时，△AOB∽△ABC1．
如图②，AO∥BC，BA⊥AC2，则∠ABC2＝∠OAB，故△AOB∽△BAC2；
如图③，AC3∥OB，∠ABC3＝90°，则∠ABO＝∠CAB，故△AOB∽△C3BA；
如图④，∠AOB＝∠BAC4＝90°，∠ABO＝∠ABC4，则△AOB∽△C4AB．
故选：D．
6．
解：∵截得的小三角形与△ABC相似，
∴过P作AC的垂线，作AB的垂线，作BC的垂线，所截得的三角形满足题意，
则D点的位置最多有3处，
故选：B．
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
∵BE＝CE，
∴AB＝2BE，
又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，
∴①DM与AB是对应边时，DM＝2DN
∴DM2+DN2＝MN2＝1
∴DM2DM2＝1，
解得DM；
②DM与BE是对应边时，DMDN，
∴DM2+DN2＝MN2＝1，
即DM2+4DM2＝1，
解得DM．
∴DM为或时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
故选：C．
二．填空题
8．解：∵∠A＝∠A，∠1＝∠2，
∴∠ADE∽△ABC，
∵∠A＝∠A，
∠1＝∠3，
∴△ADE∽△ACD，
∴△ABC∽△ACD，
∵∠1＝∠2，
∴DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∴DE∥CB，
∴∠DCB＝∠CDE，
∵∠2＝∠3，
∴△BDC∽△CED，
故答案为4
9．解：①当△APD∽△PBC时，，
即，
解得：PD＝1，或PD＝4；
②当△PAD∽△PBC时，，即，
解得：DP＝2.5．
综上所述，DP的长度是1或4或2.5．
故答案是：1或4或2.5．
10．解：当时，
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
此时AE；
当时，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
此时AE；
故答案为：或．
11．解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以，，
即，
解得t＝4.8；
CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以，，
即，
解得t．
综上所述，当t＝4.8或时，△CPQ与△CBA相似．
故答案为4.8或．
12．解：设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B＝∠D＝90°，
当时，△ABP∽△PDC，即；
整理得x2﹣14x+24＝0，
解得x1＝2，x2＝12，
BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2，
∴当BP为2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似．
故答案为：2或12．
13．解：∵AD＝2，CD，
∴AC．
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有，∴AB＝3；
（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有，∴AB＝3．
即当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似．
故答案为：3或3．
三．解答题
14．解：设经过t秒时，以△QBP与△ABC相似，则AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴当时，△BPQ∽△BAC，即，解得t＝2（s）；
当时，△BPQ∽△BCA，即，解得t＝0.8（s）；
即经过2秒或0.8秒时，△QBP与△ABC相似．
15．（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC＝AC：AB，
∴AC2＝AB AD；
（2）证明：∵E为AB的中点，
∴CE＝BE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE．
16．解：（Ⅰ）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE，
在△ABD与△BCE中
，
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
（Ⅱ）由（1）得：∠BAD＝∠CBE，
又∵∠ABC＝∠BAC，
∴∠ABE＝∠EAF，
又∵∠AEF＝∠BEA，
∴△AEF∽△BEA；
（Ⅲ）∵∠BAD＝∠CBE，∠BDA＝∠FDB，
∴△ABD∽△BFD，
∴，
∴BD2＝AD DF＝（AF+DF） DF＝8，
∴BD＝2．
17．（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，
∴∠B＝∠C＝45°．
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠EDC，
∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD．
又∵∠ADE＝45°，
∴45°+∠EDC＝45°+∠BAD．
∴∠EDC＝∠BAD．
∴△ABD∽△DCE．
（2）解：讨论：①若AD＝AE时，∠DAE＝90°，此时D点与点B重合，不合题意．
②若AD＝DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，
于是AB＝DC＝2，BC＝2，AE＝AC﹣EC＝2﹣BD＝2﹣（22）＝4﹣2
③若AE＝DE，此时∠DAE＝∠ADE＝45°，
如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD＝DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE＝CEAC＝1．
18．证明：（1）∵△ABC与△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．
∴∠ACB+∠ACE＝∠ACE+∠DCE，
即∠BCE＝∠ACD．
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE；
（2）由（1）知：△BCE≌△ACD，
∴∠CBE＝∠CAD，
又∵∠BMC＝∠AMF，
∴∠AFB＝∠ACB＝60°＝∠ABC，
又∵∠BAF＝∠BAD，
∴△ABF∽△ADB．
19．（1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠DEC＝∠BAE，
∴△ABE∽△ECD；
（2）解：Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，
∴BE＝3，
∵BC＝5，
∴EC＝5﹣3＝2，
由（1）得：△ABE∽△ECD，
∴，
∴，
∴CD；
（3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD＝AB+CD；
理由是：过E作EF⊥AD于F，
∵△AED∽△ECD，
∴∠EAD＝∠DEC，
∵∠AED＝∠C，
∴∠ADE＝∠EDC，
∵DC⊥BC，
∴EF＝EC，
∵DE＝DE，
∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），
∴DF＝DC，
同理可得：△ABE≌△AFE，
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD．
20．解：（1）如图1，当t＝1秒时，AE＝2，EB＝10，BF＝4，FC＝4，CG＝2，
由S＝S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG，
（10+2）×810×4
＝24（cm2）；
（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，
此时AE＝2t，EB＝12﹣2t，BF＝4t，FC＝8﹣4t，CG＝2t，
S＝S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG
（EB+CG） BCEB BFFC CG
8×（12﹣2t+2t）4t（12﹣2t）2t（8﹣4t）
＝8t2﹣32t+48（0≤t≤2）．
②如图2，当点F追上点G时，4t＝2t+8，解得t＝4，
当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF＝4t﹣8，CG＝2t，
FG＝CG﹣CF＝2t﹣（4t﹣8）＝8﹣2t，
SFG BC（8﹣2t） 8＝﹣8t+32．
即S＝﹣8t+32（2＜t＜4）．
（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，在△EBF和△FCG中，∠B＝∠C＝90°，
①若，即，
解得t．
所以当t时，△EBF∽△FCG，
②若即，解得t．
所以当t时，△EBF∽△GCF．
综上所述，当t或t时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．