高中数学苏教版（2019）必修第二册节节通关练——9.2向量运算C（含解析）

一、单选题
1．已知向量，若在的投影为，则（ ）
A．169 B．13 C．196 D．14
2．如图所示，已知正方体的棱长为1，则（ ）．
A． B．2 C． D．1
3．如图，在正方形中，，E为的中点，点P是以为直径的圆弧上任一点．则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
4．如图，在等边中，，向量在向量上的 投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量满足，，则
A．4 B．3 C．2 D．0
二、多选题
7．设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．向量，夹角为
8．下列说法正确的是（ ）
A．在△ABC中，，E为AC的中点，则
B．已知非零向量与满足，则△ABC是等腰三角形
C．已知，若与的夹角是钝角，则
D．在边长为4的正方形ABCD中，点E在边BC上，且，点F是CD中点，则
三、填空题
9．已知、、表示共面的三个单位向量，，那么的取值范围是__________．
10．已知，作，则___________.
11．已知向量与的夹角为，且，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是_______．
12．已知，存在实数，使，则的取值范围为___________．
四、解答题
13．已知，.求的最大值和最小值.
14．如图，四边形ABCD中，已知.
（1）用，表示；
（2）若，，用，表示.
15．已知向量，满足，且.
（1）试用表示，并求出的最大值及此时与的夹角的值.
（2）当，取得最大值时，求实数，使的值最小，并对这一结果做出几何解释.
16．在如图所示的平面图形中，已知，，，，求：
(1)设，求的值；
(2)若，且，求的最小值及此时的夹角.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】首先求出的模，再根据投影的定义求出，再根据及平面向量数量积的运算律计算可得；
【详解】解：因为，所以，因为在的投影为，所以，所以，所以
故选：B
2．C
【分析】利用向量的线性运算化简展开后利用数量积的定义即可求解.
【详解】
因为，，，所以，
所以，
故选：C.
3．D
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，将向量的数量积转化为向量的坐标运算，即，即可得到答案；
【详解】则，，
设，
，
，其中，
，
故选：D.
4．D
【分析】将向量用表示，求得模长及，从而利用投影公式求得向量在向量上的投影向量即可.
【详解】由题知D点是BC的四等分点，设三角形边长为a，
则，
，，
则向量在向量上的投影向量为：
，
故选：D
【点睛】关键点点睛：表示出，计算得到，利用投影公式求解.
5．C
【分析】根据向量的线性运算运算律可得，在根据数量积的定义求其值.
【详解】
故选：C
6．B
【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因为
所以选B.
点睛：向量加减乘：
7．AC
【分析】先由题给条件求得，从而得到选项A判断正确，选项D判断错误；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C.
【详解】由，可得，
又，则，
即，则.则选项A判断正确；选项D判断错误；
，则选项B判断错误；
，则选项C判断正确.
故选：AC
8．AB
【分析】对于A，利用平面向量基本定理根据题意将用，表示出来再判断，对于B，由向量的加法法则判断，对于C，由题意可知，，且两向量不共线，从而可求出的范围，对于D，如图，以为原点建立直角坐标，表示，然后利用数量积的万物复苏示运算求解
【详解】对于A，因为△ABC中，，E为AC的中点，
所以
,
所以A正确，
对于B，因为与是非零向量，所以所在的直线平分，
因为，所以，所以△ABC是等腰三角形，所以B正确，
对于C，因为与的夹角是钝角，所以，且两向量不共线，由，得，得，当与共线时，，得，所以当与的夹角是钝角时，且，所以C错误，
对于D，如图，以为原点建立直角坐标，则由题意可得，
所以，所以，所以D错误，
故选：AB
9．
【分析】计算出的值，利用平面向量的数量积的运算性质结合余弦函数的有界性可求得的取值范围.
【详解】已知、、表示共面的三个单位向量，，则，
，
所以，，
而，因此，.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
10．##
【分析】由题设可得，再根据向量夹角公式及数量积运算律可得、，结合已知即可求角的大小.
【详解】由知：，
而，，
所以，又，则.
故答案为：
11．
【分析】由题意可得，且与不共线，从而可求出的取值范围.
【详解】因为向量与的夹角为，且，，与的夹角为锐角，
所以，且与不共线，
由，得，
所以，
化简得，
解得或，
由与共线，得存在唯一实数，使，
所以，得，
所以当时，与不共线，
综上或，且，
所以的取值范围是，
故答案为：
12．
【分析】先由，得，再代入向量垂直关系式得的关系，由重要不等式整理得的不等关系，最后化简求解不等式.
【详解】，.
又，则.
则有，
又，
当且仅当时，等号成立.
则有，
两边同除以n得，，
解得(舍)，或.(由，得)
.
故答案为：.
【点睛】利用；，可解决垂直、平行问题.
13．最大值是3，最小值是1.
【分析】根据得到最大值，得到最小值.
【详解】因为，，
所以，当且仅当与，即与的方向相同时取等号.
，当且仅当与，即与的方向相反时取等号.
所以的最大值是3，最小值是1.
14．（1）；（2）.
【分析】（1）根据向量的加法运算求解出的表示；
（2）根据以及已知条件可将表示为与的线性组合.
【详解】（1）因为，
所以；
（2）因为，
所以.
15．（1），最大值为，； （2），几何解释见解析.
【解析】（1）由，得到，整理得，再结合基本不等式和向量的夹角公式，即可求解.
（2）由（2）知的最大值为，化简，结合二次函数的性质，求得取得最小值，再根据向量的线性运算，即可求得几何解释.
【详解】（1）由题意，向量，满足，且，
可得，整理得，
即，可得，
又由，
当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，
又由，所以.
（2）由（2）知的最大值为，
所以，
所以当时，取得最小值，最小值为,
这一结果的几何解释：平行四边形中，，当且仅当时，对角线最短为.
【点睛】对于向量的数量积和向量的模的运算方法：
1、定义法：已知或可求得两个向量的模和夹角；
2、基底法：直接利用定义法求得数量积不可行时，可选取合适的一组基底，利用平面向量的基本定理将待求数量积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解；
3、坐标法：已知条件中（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求解数量积；
4、利用及，把向量模的运算转化为数量积的运算；
5、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
16．(1)
(2)的最小值为，为.
【分析】（1）由向量的减法公式，结合题意和平面向量共线定理，即可求得，进而求出结果；
（2）记，因为，所以，设，根据平面向量加法理和平面向量共线定可得，进而求得，化简整理可得，再根据二次函数和余弦函数的性质，即可求出结果.
(1)
解：因为，，
所以，所以，
即.
(2)
解：记，
因为，所以，
设，则，
所以
当时，取最小值，即最小值为，
又，所以，所以，
即，
所以的最小值为，此时为.
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