高中数学苏教版（2019）必修第二册节节通关练——9.1向量的概念B（含解析）

一、单选题
1．给出下列命题：①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是（ ）
A．①② B．② C．②③ D．③④
2．设均为单位向量，且，则（ ）
A． B． C． D．7
3．下列说法中，错误的个数为（ ）
①向量的长度与向量的长度相等；②两个非零向量与平行，则过与的方向相同或相反；③两个有公共终点的向量一定是共线向量；④共线向量是可以移动到同一条直线上的向量；⑤平行向量就是向量所在直线平行
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．下列命题正确的是（ ）
A．若，都是单位向量，则
B．若向量，，则
C．与非零向量共线的单位向量是唯一的
D．已知为非零实数，若，则与共线
5．在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
6．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．(多选题)给出下列说法正确的是（ ）
A．若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点
B．在平行四边形ABCD中，一定有＝
C．若，，则
D．若，，则
8．下列有关向量命题，不正确的是（ ）
A．若，则 B．已知，且，则
C．若，则 D．若，则且
三、填空题
9．已知平面向量，的夹角为120°，且，，的最小值是___________.
10．在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过，该船的实际航程是________.
11．有下列命题：
①单位向量一定相等；
②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同；
④方向相反的两个单位向量互为相反向量；
⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆．
其中正确的命题的个数为______．
12．如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．
（1）单位向量共有______个；
（2）模为的向量有______；
（3）与相等的向量有______；
（4）的相反向量有______．
四、解答题
13．如图的方格由若干个边长为1的小正方形组成，方格中有定点A，点C为小正方形的顶点，且，画出所有的向量.
14．如图所示，四边形ABCD和BCED都是平行四边形,
（1）写出与相等的向量：
（2）写出与共线的向量：
15．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
（1）与相等的向量；
（2）与长度相等的向量；
（3）与共线的向量.
16．在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量：
（1）,点A在点O正南方向；
（2）,点B在点O北偏西方向；
（3）,点C在点O南偏西方向.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】利用向量的有关概念判断.
【详解】①起点相同，方向相同，但大小不一定相同，所以两个非零向量的终点不一定相同，故错误；
②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同，故正确；
③两个平行的非零向量的方向相同或相反，故错误；
④两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故错误.
故选：B
2．A
【分析】由已知，利用向量数量积的运算律求得，又即可求.
【详解】由题设，，又均为单位向量，
∴，
∴，则.
故选：A
3．A
【分析】根据平面向量的基本概念逐项进行判断，由此确定出错误的说法个数.
【详解】①与互为相反向量，长度相同方向相反，故正确；
②非零向量平行，则两非零向量方向相同或相反，故正确；
③终点相同，起点不同的非零向量不是共线向量，故错误；
④向量共线时，根据向量的可平移性可将两向量平移至同一条直线；
⑤平行向量指方向相同或相反的非零向量，因此向量所在直线可以共线，故错误，
所以错误的说法有个，
故选：A.
4．D
【分析】根据向量的基本概念和共线定理，逐项判断，即可得到结果.
【详解】单位向量的方向不一定相同，故A错误；
当时，显然与不一定平行，故B错误；
非零向量共线的单位向量有，故C错误；
由共线定理可知，若存在非零实数，使得，则与共线，故D正确.
故选：D.
5．A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
6．D
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
【详解】由已知可得：.
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.
7．BC
【分析】根据相等向量、共线向量的概念，其中注意零向量与任何向量都平行或垂直，进而判断各项的正误.
【详解】A：＝，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故A错误.
B：在平行四边形ABCD中与平行且方向相同，所以，故B正确.
C：若，则，且与方向相同；若，则，且与方向相同，则与长度相等且方向相同，所以，故C正确.
D：当时，与不一定平行，故D错误.
故选：BC
8．AB
【解析】根据向量的模，数量积，向量相等的概念判断各选项．
【详解】向量由两个要素方向和长度描述，A错；若，且与垂直，结果成立，但不一定等于，B错；相等向量模相等，方向相同，D选项对．
故选：AB．
9．
【分析】求向量的模即求其模的平方，进而转为二次函数求最值即得．
【详解】因为平面向量，的夹角为120°，且，，
∵，
所以当时，
故答案为：
10．
【分析】根据实际航线是垂直于河岸，作出图形，求得实际速度后可得结论．
【详解】如图，是水流方向，是垂直于河岸的方向，是船的实际航线，因此是船在静水中的航行方向，， ，则，
，故该船行驶的航程为.
故答案为：．
11．
【分析】由相等向量、相反向量的知识依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】对于①，两个单位向量方向不同时不相等，①错误；
对于②，方向相同且模长相等的向量为相等向量，与起点无关，②正确；
对于③，相等的非零向量方向相同且模长相等，若起点不同，则终点不同，③正确；
对于④，单位向量模长相等，又方向相反，则这两个向量为相反向量，④正确；
对于⑤，若两个向量起点相同，且模长相等且不为零，则终点的轨迹为球面，⑤错误；
则正确的命题个数为个.
故答案为：.
12． 8 、、、、、、、 、、 、、、
【分析】根据单位向量、模、相等向量、相反向量的概念结合图形进行分析求解.
【详解】（1）由图可知，，所以单位向量有个；
（2）由图可知，，所以模为的向量有：、、、、、、、；
（3）由图可知，，所以与相等的向量有：、、；
（4）由图可知，，所以的相反向量有：、、、；
故答案为：；、、、、、、、；、、；、、、.
13．见解析
【解析】利用向量模长的几何意义，即可画出图形.
【详解】∵，∴C点落在以A为圆心，以为半径的圆上，又∵点C为小正方形的顶点，
根据该条件不难找出满足条件的点C，解析所有的向量，如图所示：
【点睛】本题考查了向量模长的几何意义，轨迹问题，属于基础题.
14．(1)　(2) ，
【详解】试题分析：
根据相等向量和平行向量的定义，结合几何图形的性质进行求解．
试题解析：
（1）与相等的向量有：；
（2）与共线的向量有：
15．（1）；（2），，，，，，；（3）
【解析】（1）由BCAD，BC＝AD，可得答案；
（2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，可得答案；
（3）由BCAD，BC＝AD，可得出与共线的向量.
【详解】画出图形，如图所示．
（1）易知BCAD，BC＝AD，所以与相等的向量为.
（2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，
所以与长度相等的向量为，，，，，，.
（3）与共线的向量为，，.
【点睛】本题考查向量的相等向量，共线向量，注意共线向量的定义，向量的方向，属于基础题.
16．（1）作图见解析（2）作图见解析（3）作图见解析
【解析】（1）按照题意要求画图即可；
（2）按照题意要求画图即可；
（3）按照题意要求画图即可；
【详解】解：如图.
【点睛】本题考查了作图能力，考查了方位角的定义，属于基础题.
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