高中数学苏教版（2019）必修第二册节节通关练——9.1向量的概念A（含解析）

一、单选题
1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）
（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；
（3）若，则；
（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图，在平行六面体的棱中，与向量模相等的向量有（ ）
A．0个 B．3个 C．7个 D．9个
3．向量，将按向量平移后得到向量，则的坐标形式为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．向量与向量是相等向量
B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合
C．与实数类似，对于两个向量有三种关系
D．向量的模是一个正实数
5．下列命题正确的是（ ）
A．若与共线，与共线，则与共线
B．三个向量共面，即它们所在的直线共面
C．若，则存在唯一的实数，使
D．零向量是模为，方向任意的向量
6．为非零向量，“”为“共线”的
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件
二、多选题
7．下列说法中正确的是（ ）
A．模相等的两个向量是相等向量
B．若，，分别表示，的面积，则
C．两个非零向量,，若，则与共线且反向
D．若，则存在唯一实数使得
8．下列命题不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题
9．给出下列命题：
①若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；
②在中，一定有＝；
③若，，则＝；
④若，，则．
其中所有正确命题的序号为________．
10．有下列说法：
①向量和向量长度相等；
②向量＝0；
③向量大于向量；
④单位向量都相等.
其中，正确的说法是________(填序号).
11．已知O是正方形ABCD的中心，则向量是___________.（填序号）
①平行向量；②相等向量；③有相同终点的向量；④模都相等的向量.
12．已知，若，则________.
四、解答题
13．某人从点A出发向西走4个单位长度到达点B，然后改变方向朝西北方走6个单位长度到达点C，最后又向东走4个单位长度到达点D．试分别作出向量，和．
14．如图，点O为正方形ABCD的两条对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：
(1)分别写出与，相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)判断向量与是否相等；
(5)写出与垂直的向量．
15．在中，、分别是边、的中点，、分别是、的中点，判别下列命题是否正确.
（1）；
（2）和是平行向量；
（3）.
16．如图，四边形ABCD是正方形，找出与垂直的向量．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】根据相等向量的有关概念判断．
【详解】由相等向量的定义知（1）正确；
平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；
方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；
相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错，
所以正确答案只有一个．
故选：B．
2．C
【分析】根据向量模相等，结合平行六面体的结构特征和向量的概念，即可求解.
【详解】由向量模相等，即为长度相等，根据平行六面体的结构特征可知：
与向量模相等的向量是：，，，，，，共7个．
故选：C．
3．C
【分析】由向量平移可知，与方向相同且长度相等，即可得的坐标.
【详解】因为平移后，与方向相同且长度相等，故.
故选：C
4．B
【分析】选项A，由向量相等、相反的定义可判断；
选项B，由向量共线的定义可判断；
选项C，由向量的定义可判断；
选项D，零向量的模长为0，故可判断.
【详解】向量与向量模长相等，方向相反，为相反向量，故选项A不正确；
由向量共线的定义可知，选项B正确；
由向量的定义，向量有模长和方向两个要素，不可比较大小，故选项C不正确；
零向量的模长为0，因此向量的模不一定为正数，故选项D不正确.
故选：B
【点睛】本题考查了向量的定义、模长、共线向量、相等向量、相反向量等基本概念，考查了学生概念理解的能力，属于基础题
5．D
【解析】假设为零向量，即可判断A选项；根据向量的特征，可判断B选项；根据共线向量定理，可判断C选项；根据零向量的定义，可判断D选项.
【详解】A选项，若，则根据零向量方向的任意性，可的与共线，与共线；但与不一定共线，故A错；
B选项，因为向量是可以自由移动的量，因此三个向量共面，其所在的直线不一定共面；故B错；
C选项，根据共线向量定理，若，其中，则存在唯一的实数使；故C错；
D选项，根据零向量的定义可得，零向量是模为，方向任意的向量；即D正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查向量相关命题的判定，熟记向量的概念，向量的特征，以及共线向量定理即可，属于基础题型.
6．B
【分析】共线，方向相同或相反，共线的单位向量不一定相等，结合充分必要条件的判断，即可得出结论.
【详解】分别表示与同方向的向量，
，则有共线，
而共线，则的方向不一定相同，即两向量不一定相等，
“”为“共线”的充分不必要条件.
故选:B.
【点睛】本题考查命题充分不必要条件的判定，考查共线向量和单位向量的间的关系，属于基础题.
7．BC
【分析】根据向量相等的定义可知不正确, 设AC的中点为M，BC的中点为D,将化成,根据三角形的面积公式分析可知B选项正确; 当与不共线或共线方向相同时, 结论不成立，故C选项正确; 时, D选项错误.
【详解】相等向量是大小相等、方向相同的向量，向量的模相等，但方向不一定相同，故A选项错误；
设AC的中点为M，BC的中点为D，因为.所以，即，所以O是线段MD上靠近点M的三等分点，可知O到AC的距离等于D到AC距离的，而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍，故可知O到AC的距离等于B到AC距离的，根据三角形面积公式可知B选项正确；
C选项中，当与共线且反向时，可知成立，当与不共线或共线方向相同时，结论不成立，故C选项正确；
D选项错误，例如，
故选:BC.
【点睛】本题考查了相等向量的定义,向量的线性运算,属于基础题.
8．ABD
【分析】对于A，B，D，利用向量的概念判断，对于D，利用相等向量的定义判断即可
【详解】解：对于A，由可得与的大小相等，但方向不一定相同，所以与不一定相等，所以A错误，
对于B，由可得的长度大于的长度，而向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，所以B错误，
对于C，由可得与的大小相等，方向相同，所以有，所以C正确，
对于D，由，可得，而不是0，所以D错误，
故选：ABD
9．②③
【分析】对于①，由两向量共线可知A、B、C、D四点有可能在同一条直线上；对于②，由平行四边形的对边平行且相等可判断；对于③，由相等向量的定义判断即可；对于④，由于零向量与任何向量都共线，所以当时，不一定成立
【详解】解：＝，A、B、C、D四点可能在同一条直线上，故①不正确；
在中，，与平行且方向相同，故＝，故②正确；
，则，且与方向相同；，则，且与方向相同，则与长度相等且方向相同，故＝，故③正确；
对于④，当时，与不一定平行，故④不正确．
故答案为：②③
10．①
【分析】利用向量的基本概念逐一判断即可.
【详解】对于①，根据相反向量的概念，，故①正确；
对于②，是一个向量，而0是一个数量，故②错误；
对于③，向量不能比较大小，故③错误；
对于④，单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故④正确.
故答案为：①
11．④
【分析】根据向量的有关概念及正方形的性质即可求解.
【详解】解：根据向量的有关概念及正方形的性质，可得向量是模都相等的向量.
故答案为：④.
12．
【分析】直接由勾股定理求值即可.
【详解】由勾股定理可知，，即.
故答案为：.
13．答案见解析.
【分析】根据题意，在平面内任取一点为，按照要求进行绘制即可.
【详解】根据题意，在平面内任取一点为，按照题意要求方向，作线段，，
则向量，和如下所示：
.
14．(1)，；
(2)，，；
(3)，，，，，，；
(4)不相等；
(5)，，，.
【分析】（1）根据相等向量的概念，即可得出结果；
（2）根据共线向量的概念，即可得出结果；
（3）根据向量模的概念，即可得出结果；
（4）根据相等向量的概念，即可得出结果；
（5）根据向量垂直的概念，即可得出结果.
(1)
因为是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形，
所以，；
由题可得：，；
(2)
由题可得，与共线的向量有：，，；
(3)
由题可得，与模相等的向量有：，，，，，，；
(4)
向量与不相等，因为它们的方向不相同．
(5)
与垂直的向量有：，，，.
15．答案见解析
【分析】（1）画出图形，根据平面几何知识，结合相等向量的概念进行判定；
（2）根据平面几何知识，结合平行向量的概念进行判定；
（3）注意到向量的概念，包括方向和大小（模），模可以比较大小，方向没法比较大小，因此向量没有大小的比较可以判定.
【详解】
（1）不正确.和的模不相等，为此它们必不是相等向量；
（2）正确.由平面几何知识可知，所以和为平行向量；
（3）不正确.向量是无法比较大小的，只有向量的模可以比较大小.
16．和
【分析】根据向量垂直的定义可直接找出.
【详解】因为四边形ABCD是正方形，所以与垂直的向量有和.
答案第1页，共2页
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