高中数学人教B版（2019）必修第一册节节通关练——3.2函数与方程、不等式之间的关系C（含解析）

一、单选题
1．已知函数若方程有3个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，，若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数,若实数,则函数的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知函数（）有四个不同的零点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
5．已知函数，若的最小值为，则实数的值不可以是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若方程有四个不同的实数根，，，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知函数，则（ ）
A．是奇函数 B．的图象关于点对称
C．有唯一一个零点 D．不等式的解集为
8．已知函数（）有两个零点-1和m，若存在实数，使得，则实数m的值可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．设二次函数，（且）在上至少有一个零点，则的最小值为___________.
10．已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.
11．若对任意的且，都有≥0恒成立，则的最小值为____________.
12．定义在上的函数满足：，且当时，；当时，，，则方程在区间上的所有实根之和为___________.
四、解答题
13．已知函数，记函数，，，…，，…
(1)求证：如果存在一个实数，满足，那么对一切，都成立；
(2)若实数满足，则称为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；
(3)考察区间，以任意实数，有，，且时，试问是否存在区间，对于区间B内的任意实数x，只要，都有
14．已知函数，.
（1）根据定义证明函数是减函数；
（2）若存在两不相等的实数，，使，且，求实数的取值范围.
15．设是奇函数，是偶函数，且其中.
（1）求和的表达式，并求函数的值域
（2）若关于的方程在区间内恰有两个不等实根，求常数的取值范围
16．已知集合A是满足下列条件的函数的全体：在定义域内存在实数.使得成立.
（1）判断幂函数是否属于集合A，并说明理由；
（2）设，，若，求a的取值范围；
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】当时求出直线与曲线相切时得.再分别讨论，
方程解的个数得解.
【详解】当直线与曲线相切时，
设切点为，则切线斜率，
所以，即，解得.
又当时，.所以：
（1）当时，（）有1个实数根，此时有1个实数根，不满足题意；
（2）当时，（）有2个实数根，此时有1个实数根，满足题意；
（3）当时，（）无实数根，此时最多有2个实数根，不满足题意.
综上得，
故选:D
【点睛】本题考查函数与方程,讨论根的个数求解参数范围问题，属于基础题.
2．B
【分析】根据分段函数解析式得到函数图象，结合图象讨论与无交点或有一个交点、两个交点、三个交点的情况下的范围，即可知正确选项.
【详解】由题意，可得如下函数示意图：
1、当过点时，即方程有一个实数根；
2、当与在上相切时，有一个实数根，即，，有切点为，所以，得，
3、当与平行时，有恰有两个不同的实数根，
4、当时，有一个实数根，
∴综上结合函数图象，有或或，有一个实数根；，恰有三个不同的实数根；，恰有两个不同的实数根；，无实数根；
故选：B
【点睛】本题考查了函数，将方程的解转化为函数图象的交点情况，综合了函数图象、应用导数的几何意义找到切点等知识求参数范围，属于难题.
3．D
【分析】根据分段函数做出函数的图象，运用数形结合的思想可求出函数的零点的个数，得出选项.
【详解】令，得，根据分段函数的解析式，做出函数的图象，如下图所示，因为，由图象可得出函数的零点个数为3个，
故选：D.
【点睛】本题考查函数的零点,考查学生分析解决问题的能力,关键在于做出函数的图象，运用数形结合的思想得出零点个数，属于中档题.
4．D
【详解】因为是函数的零点，则函数有四个不同的零点，等价于方程有三个不同的根，即方程有三个不同的根．记函数＝．由题意y=与有三个不同的交点，由图知，所以，故选D．
【点睛】判断方程的根的个数问题，可以转化为函数和图象交点的个数问题，通过在直角坐标系中作出两个函数图象，从而确定交点的个数，也就是方程根的个数．
5．A
【分析】根据的最小值为，可知的最小值大于等于的最小值，进而根据基本不等式与二次函数的图像和性质即可得到答案.
【详解】由题意，函数的对称轴，且在上恒成立.
因为，当且仅当时取“=”，
所以，又，所以.
故选：A.
6．B
【分析】先作出函数图像，若设，则由图像可知，，也可确定出的范围，最后转化为关于或的二次函数，求其最值可得结果.
【详解】作函数的图像如图，
结合图像可知，，故，
令，得，
令，得，
故且，
故，
∵，∴，
∴，
故选B.
【点睛】此题考查的是有关函数与方程的知识，利用了数形结合的思想解决，属于较难题.
7．BCD
【分析】求解的定义域，可知定义域不关于原点对称，知A错误；根据解析式验证可知，则知B正确；当时，由单调性的性质可确定在上单调递减，结合值域的求法可求得；结合对称性可知在上单调递减；利用零点存在定理可说明在有且仅有一个零点，知C正确；结合C的结论可说明时，时，；利用单调性，分别讨论和在同一单调区间内、两个不同单调区间内的情况，解不等式组可求得结果.
【详解】对于A，由得：，即定义域为，不关于原点对称，
为非奇非偶函数，A错误；
对于B，，，
，图象关于点对称，B正确；
对于C，当时，；
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，在上单调递减；
在上单调递增，在上单调递减；
在上单调递减；
由知：图象关于对称，在上单调递减；
当时，，，，在上无零点；
当时，，，
，使得，则在上有唯一零点；
综上所述：有唯一一个零点，C正确；
对于D，由C知：在和上单调递减，
又时，；时，；
①当，即时，由得：，解得：（舍）或；
②当时，不等式组无解，不合题意；
③当，即时，，，满足题意；
④当，即时，，，不合题意；
综上所述：的解集为：，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到函数奇偶性的判断、对称性的判断、函数零点个数的求解、利用函数单调性解不等式；利用单调性解不等式的关键是能够确定函数的单调性，并根据单调性将函数值大小关系的比较转化为自变量大小关系的比较问题.
8．BC
【分析】由题意可得，则，，依题意可得：，然后结合根的对称性分析得答案．
【详解】是函数的一个零点，
，
，则，，
，．
由，，得①，由，得，即②，
由①②得：．
函数的图象是开口向下的抛物线，其对称轴方程为，则．
零点到对称轴的距离，，
另一零点为，，，
因为，所以，
故，
，
综合四个选项，实数的值可能是和．
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解二次函数根的对称分布性.
9．
【分析】由可得,即变换主元,视为关于的直线方程,则表示原点到点的距离的平方,最小值即为原点到直线的距离的平方,进而利用均值不等式求得的最小值即可.
【详解】由题,当时,有解,
则可设点在直线上,
则表示原点到点的距离的平方,
的最小值为原点到直线的距离的平方,
所以,
令,
原式,
因为,当且仅当,即时等号成立,不符合题意,
所以当时,最小,此时取得最小值为,
则的最小值为,
故答案为:
【点睛】本题考查由零点分布求参数范围,考查点到直线距离公式的应用,考查利用均值定理求最值,考查转化思想和运算能力.
10．
【详解】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.
详解：分类讨论：当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
当时，方程即，
整理可得：，
很明显不是方程的实数解，则，
令，
其中，
原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，
同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，
结合观察可得，实数的取值范围是.
点睛：本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
11．
【分析】先由求出方程的根，而要使≥0对任意的恒成立，只要，从而得到，进而可求出的最小值.
【详解】解：因为且，所以有唯一正根，
而方程有唯一实根；
所以要使对任意的恒成立，
由奇穿偶回原理可知，即，
所以，
所以≥ ，
当且仅当时，取最小值为，
故答案为：
【点睛】此题考查了方程与零点的问题，不等式恒成立问题，考查了数学转化思想，考查了运算能力，属于较难题.
12．
【分析】由题意，在平面直角坐标系中画出两个函数的函数图像，根据图像的对称性可得函数图像交点关于点对称，根据函数与方程之间的关系得到方程在区间上的所有实根之和即可.
【详解】因为函数满足，
所以函数的周期为2，
又因为当时，；当时，，
，
画出函数图像如下：
由图像可知函数的图像关于点对称，
又函数的图像也关于点对称，
所以函数与函数的图像交点也关于点对称，
所以方程在区间上的所有实根也关于点对称，
设方程在区间上的所有实根从小到大依次为 ，
所以
由图知函数与函数图像在区间上没有交点，
所以方程在区间上的所有实根之和为：，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查函数与方程的问题，通过数形结合进行解题，在求解过程中，需要熟悉基本初等函数的函数图像及函数的性质，结合两个函数图像性质给出两个函数交点的横坐标之间的关系，进而获得方程实根之间的关系.
13．(1)证明见解析
(2)稳定不动点为0和
(3)存在区间或
【分析】（1）用数学归纳法可证明.
（2）由题意稳定不动点只需满足从而可得答案.
（3）要使对一切，都有，必须有或由或，从而得出答案.
(1)
当时，是已知条件，结论成立．
假设当时，结论成立，即，
则，
所以对一切，若，则
(2)
由（1）知，稳定不动点只需满足
而，即
解得或，所以稳定不动点为0和
(3)
由，即，即 或
所以，
或，
要使对一切，都有，
必须有或
而或，
，即，解得
故存在区间或，对于B内的任意实数x，只要，都有
14．（1）见解析；（2）.
【解析】（1）利用减函数的定义证明即可.
（2）先根据得到且，从而在上有解，利用换元法及参变分离可得在有解，最后利用基本不等式可求的取值范围.
【详解】（1）由题设可得，故，故的定义域为.
设，则，
因为，故，
而，故，所以，
故即在上为减函数.
（2）因为，，
所以即.
又，故，同理.
等价于在上有解，
又可整理为①，
令，则且①可化为，
所以在有解，故在有解，
令，则且，，
因为，故，故 .
【点睛】思路点睛：（1）函数单调性的证明，需结合定义来展开.
（2）复杂方程的解的讨论，一般利用换元法将复杂方程转化为含参数的一元二次方程，后者可利用参变分离来求参数的取值范围，换元时注意范围的传递性.
15．（1）值域为（2）
【分析】（1）由函数的奇偶性可得，再结合条件列方程组求解，进而可得，利用函数单调性可求得值域；
（2）由题意得方程在区间内恰有两个不等实根，令，则可将方程转化为在区间内有唯一实根，利用函数单调性求得函数的值域，进而可得常数的取值范围.
【详解】（1）由已知①，
以代，得，
因为是奇函数，是偶函数，
所以②，
联立①②可得，
，
又，，，于是，
函数的值域为；
（2）题意即方程在区间内恰有两个不等实根.
显然不是该方程的根，所以令
由得，则原方程可变形为
易知函数为偶函数，且在区间内单调递增，所以
且题意转化为方程在区间内有唯一实根(因为每一个在区间内恰有两个值与之对应).
易知在区间内单调递减，
又时，，
所以（此时每一个，在区间内有且仅有一个值与之对应).
综上所述，所求常数的取值范围是.
【点睛】本题考查函数奇偶性求函数解析式，考查方程根的分布问题，关键时将问题转化为在区间内有唯一实根，考查学生的转化能力和分析能力，是一道难度较大的题目.
16．（1）,理由见解析；（2）
【解析】（1）令，得出方程，解出判断即可；
（2）先根据复合函数的单调性判断出的单调性，再根据得到，以及，化简得到，
令，根据的范围，求出的范围，原式等价于有一个根 ，求解即可.
【详解】解：（1）,理由如下：
令，
，
即，
化简得：，
解得：或，
即在定义域内存在实数，使得成立；
故；
（2），
在上单调递增，
在上单调递增，
在上单调递增，
又，
在定义域内存在实数.使得成立，
即，
即，
又，
即 ，
即，
令，
又，
，
即，
化简得：，
即，
解得：，，
从而，原问题等价于，或，
解得：，
又，在上恒成立，
故，
综上所述：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用元素满足的恒等式进行求解，根据对数和指数元素的性质进行化简.
答案第1页，共2页
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