高中数学人教B版（2019）必修第一册节节通关练——3.2函数与方程、不等式之间的关系B（含解析）

一、单选题
1．已知函数，如果不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数有且仅有一个零点，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的定义域为，满足对任意，恒有，若函数的零点个数为有限的个，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．函数在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，并且，是方程的两个根，则的大小关系可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，有下列四个结论：
①对任意，恒成立；
②对任意，方程有两个不相等的实数根；
③存在函数使得的图象与的图象关于直线对称；
④对任意，函数在上有三个零点.
则上述结论中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
7．函数的函数值表示不超过x的最大整数例如，，设函数则下列说法正确的是（ ）
A．函数的值域为
B．若，则
C．方程有无数个实数根
D．若方程有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是
8．已知分别是函数和的零点，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知，若存在三个不同实数、、使得，则的取值范围是________
10．已知定义在上的函数满足，且当时，.则函数在上的最大值是________.
11．已知函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是___________.
12．若函数的零点的和为，则_____
四、解答题
13．若，是关于的方程的两个实数根，且，都大于.
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求的值.
14．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的范围；
(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
15．求证：函数的零点有且只有一个，且该零点位于区间．
16．已知函数.其中实数.
(1)若对任意都有值成立，求实数a的取值范围；
(2)当的值域为时，函数在区间上有三个零点，求m的取值范围.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．A
【分析】本题先根据已知条件求出，再求，最后求解不等式,即可解题.
【详解】由的解集是，则
故有，，解得：，，
∴
∴
∵即
解得：或
∴不等式的解集，
故选：A
【点睛】本题考查求一元二次不等式的解集和根据一元二次不等式的解集求参数，是基础题.
2．D
【解析】推导出函数的图象关于直线对称，由题意得出，进而可求得实数的值，并对的值进行检验，即可得出结果.
【详解】，
则，
，
，所以，函数的图象关于直线对称.
若函数的零点不为，则该函数的零点必成对出现，不合题意.
所以，，即，解得或.
①当时，令，得，作出函数与函数的图象如下图所示：
此时，函数与函数的图象有三个交点，不合乎题意；
②当时，，，当且仅当时，等号成立，则函数有且只有一个零点.
综上所述，.
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
3．B
【分析】若的零点为，结合题设得，结合，即可知的最大值.
【详解】令，则有，
故，
∴，若，则开口向上，对称轴为且，，
∴在上有两个零点，即函数的零点个数最多有2个.
故选：B
4．C
【分析】先讨论a的取值，当时，为一次函数，满足条件．当时，为二次函数，利用函数的单调性和对称轴之间的关系，确定区间和对称轴的位置，从而建立不等式关系，进行求解即可．
【详解】当时，，在定义域R上单调递减，满足在区间上是减函数，故成立．
当时，二次函数的对称轴为，
∴要使在区间上是减函数，则必有且对称轴，即，解得，
综上，，即a的取值范围是．
故选：C．
5．C
【分析】根据题意画出函数图象，根据函数图象即可得答案.
【详解】由题意得，，而，借助图像可知，
的大小关系可能是，
故选：C.
【点睛】本题考查二次函数与二次方程的关系，考查数形结合思想，是中档题.
6．C
【分析】①根据解析式计算；②画出函数的图象，由图象的交点个数判断实数根的个数；③假设存在函数满足条件，再根据函数的定义，判断选项；④根据，求方程的实数根的个数，再判断定义域上的零点个数.
【详解】①函数的定义域是，，故①正确；
②，函数的图象如图所示：
与函数图象有2个交点，故②正确；
③设函数上的任一点为关于的对称点为在函数上，
则，当时，，当时，，当时，或，存在一个对着两个的值，所以不存在函数使得的图象与的图象关于直线对称，故③不正确；
④，
当时，满足方程，所以方程的一个实数根是，
当时， ，，当时，， ，
所以满足方程的有三个实数根据0，，所以函数有3个零点，故④正确.
故正确的个数有3个.
故选：C
【点睛】本题考查函数的图象和性质，零点，重点考查数形结合分析问题的能力，推理能力，属于中档题型.
7．BD
【分析】由题意可知，当时，，所以，作出函数和的图象，由图象即可判断A，B，C是否正确；在同一直角坐标系中作出函数和函数的图象，由图象即可判断D是否正确.
【详解】当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
……
当时，，所以；
作出函数的图形，如下图所示：
由图像可知，函数的值域为，故A错误；
由图像可知，若，则，所以，故B正确；
由图像可知，函数与没有交点，所以方程无实数根，故C错误；
在同一直角坐标系中作出函数和函数的图象，如下图所示：
由图像可知，若方程有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是，故D正确.
故选：BD.
8．ABD
【分析】把函数的零点转化两个函数图像交点的横坐标，再结合反函数图像的特点得到点和关于点对称，根据可判断A、B选项；结合基本不等式可以判断C选项；利用特殊值的思路得到的范围即可判断D选项.
【详解】因为，分别是函数，的零点，所以，，那么，可以看做函数和与函数图像交点的横坐标，
如图所示，点，，分别为函数，，的图像与函数图像的交点，所以，因为函数和互为反函数，所以函数图像关于的图像对称，的图像也关于的图像对称，所以点和关于点对称，，，故AB正确；
因为，，所以，而，故C错；
当时，函数对应的函数值为，函数对应的函数值为，因为
，所以，
所以的范围为，那么，而，所以，故D正确.
故选：ABD.
9．
【解析】作出函数的图象，由图象可知，可设，利用对数运算可求得，结合图象可得，由此可得出的取值范围.
【详解】作出函数的图象如下图所示：
设，由图象可知，
则，解得，
由可得，即，可得.
.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数零点积的取值范围，考查数形结合思想以及对数运算性质的应用，属于中等题.
10．2
【解析】由题意可先算出定义在中的函数表达式，再分别求在和的最大值，即知在上的最大值.
【详解】由题意，设时，则，
又，有，
当时，为减函数，故当时，；
当时，为增函数，故当时，.
故函数在的最大值为2.
故答案为：2
【点睛】方法点睛：本题主要考查求函数解析式，求函数解析式常用的方法：
（1）已知函数类型，用待定系数法求解析式．
（2）已知求，或已知求，用代入法、换元法或配凑法．
（3）若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．
（4）根据不同区间上的函数之间的关系求不同区间上的函数表达式，将所求的区间上的定义域凑到满足区间条件的定义域中去，从而利用已知的函数表达式求所求区间的函数表达式.
11．
【分析】画出函数的图象和直线的图象，考察有四个交点的条件，根据对称性求得的值，根据图象，结合二次方程，韦达定理计算，判定的取值范围，从而得到的取值范围.
【详解】如图所示，画出函数的图象和直线的图象，有四个交点，从左到右四个交点的横坐标分别是，由对称性可知.
当时，是方程,即的两个实数根，
,
.取得最大值，当时，直线与函数在y轴右侧的对勾函数图象相切，切点为(1,2),此时，所以函数的图象和直线的图象有4个交点时，是，
故答案为：.
12．
【分析】将函数的零点转化为两函数图象交点的横坐标，利用偶函数的性质可得两零点的和，从而可求出的值.
【详解】令，则，令，则，
令，两函数均为偶函数，
如图两函数图象交于两点，且两个点关于轴对称，设两交点的横坐标分别为，则，
所以的两个零点的大小分别为，则，
所以，
故答案为：
【点睛】此题考查了函数与方程，函数的零点，考查了转化思想，利用了数形结合的思想，属于中档题.
13．（1）且；（2）7.
【分析】（1）利用根分布可求实数的取值范围.
（2）利用可以得到，利用韦达定理可构建关于的方程，解方程后结合（1）的结论可求实数的值.
【详解】（1）令，则有两个大于的零点，
所以，故且.
（2）因为，故即，
所以，故，故或，
由（1）知，且，故.
【点睛】（1）知道两个根的关系，可以此关系构造两根之和、两个之积，再用韦达定理构造关于参数的方程即可.
（2）一元二次方程的根分布问题，一般遵循“由图列式，动态检验，多退少补”的基本原则.
①由图列式指根据一元二次方程的解的状况画出对应的二次函数图象的草图，从二次函数的开口方向、判别式的正负、对称轴的位置和区间端点函数的正负四个角度分析，列出相应的不等式组；
②动态检验指让图象上下平移，看判别式的条件是否多余或者缺失，左右移动看对称轴的位置是否有限制；
③结合（2）把多余的条件去掉或补上缺失的条件.
14．(1)；
(2).
【分析】（1）分类讨论函数的类型，当时，根据函数零点的定义求出零点；当时，根据判别式列式可求出结果；
（2）转化为(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1有两个不同的实根，利用判别式和韦达定理列式可求出结果.
(1)
当时，函数化为，
令，得，此时函数有零点，符合题意；
当时，由函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1有零点，可得，即且，
综上所述：的取值范围是：.
(2)
因为函数有两个不同零点，所以(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1有两个不同的实根，
所以，解得且，
设(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1的两个不同的实根分别为和，
则，，
因为，所以，
所以，解得，符合题意.
综上所述：.
15．证明见解析.
【分析】利用函数单调性的定义证明出函数在上为增函数，结合零点存在定理可证得结论.
【详解】任取、，且，
则，
，，，，
则函数在上为增函数，
又，，
由零点存在定理可知，函数的零点有且只有一个，且该零点位于区间.
【点睛】本题考查函数零点存在性的证明，解答的关键就是利用定义证明出函数的单调性，考查推理能力，属于中等题.
16．(1)
(2)
【分析】（1）整理原式可得在上恒成立，利用基本不等式求的最小值即可；
（2）根据函数的值域求得，作出，的图像，令，求出的零点，根据图像可得
要函数在区间上有三个零点，则一个要在中对应2个交点，一个要对应一个交点，列不等式求解即可.
(1)
即，
整理得在上恒成立
又，
当且仅当，即时等号成立
故；
(2)
因为函数的值域为
则，得（负值舍去）
故，
作出，的图像如下：
令，
则，
，
要函数在区间上有三个零点，
则或
解得.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页