高中数学人教B版（2019）必修第二册节节通关练——6.3平面向量线性运算的应用C（含解析）

一、单选题
1．已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（ ）
A．16 B．12 C．5 D．4
2．已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知为内任意一点，若满足，则称为的一个“优美点”．则下列结论中正确的有（ ）
①若，则点为的重心；
②若，，，则；
③若，则点为的垂心；
④若，，且为边中点，则．
A．个 B．个 C．个 D．个
4．在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为2，均是边长为2的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是内部（不含边界）一点，若，，则（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
7．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心 垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设中，点O H G分别是外心 垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是( )
A． B．
C． D．
8．已知O，N，P，I在△ABC所在的平面内，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则O是△ABC的外心
B．若，则P是△ABC的垂心
C．若，则N是△ABC的重心
D．若，则I是△ABC的垂心
三、填空题
9．为等边三角形，且边长为，则与的夹角大小为，若，，则的最小值为___________.
10．正方形的边长为，是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点，为平面内一点，且满足，则的最小值为__________.
11．已知向量、、，且，，，，则的最小值为______．
12．在中，，点M为三边上的动点，PQ是外接圆的直径，则的取值范围是_______________________
四、解答题
13．如图，在中，，，AD与BC相交于点M，设，.
(1)试用，表示向量；
(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得EF过点M，设，，求的最小值.
14．已知正方形,E F分别是 的中点, 交于点P,连接.用向量法证明:
(1);
(2).
15．如图，重为的匀质球，半径为，放在墙与均匀的木板之间，端固定在墙上，端用水平绳索拉住，板长，木板与墙夹角为，如果不计木板重，当为时，求绳的拉力大小.
16．如图，在中，点C分为，点D为中点，与交于P点，延长交于E，求证：.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】延长到D，使得，可得点P在直线上，化简可得，求出最小值即可.
【详解】如图，延长到D，使得．
因为，所以点P在直线上．
取线段的中点O，连接，
则．
显然当时，取得最小值，
因为，则，所以，
所以的最小值为．
故选：C.
2．A
【分析】设，根据与的夹角为120°，得到，再根据，得到的终点在直线AB上求解.
【详解】设，如图所示：
则，
因为与的夹角为120°，
所以，
因为，且的起点相同，
所以其终点共线，即在直线AB上，
所以当时，最小，最小值为，无最大值，
所以的取值范围为，
故选；A
3．D
【分析】设中点为，由已知等式可得，由重心性质可知①正确；取中点，中点，由已知等式可得，则可得与到直线距离之比，由此可知②正确；由可得，即，同理得，，由垂心定义知③正确；由已知等式可得，由此知④正确.
【详解】对于①，当时，；
设中点为，则，即，
为的重心，①正确；
对于②，当，，时，，，
取中点，中点，
，，，即，
到直线距离与到直线距离之比为：，即；
又为中点，点到直线距离，，
，即，②正确；
对于③，由得：，
，同理可得：，，
为的垂心，③正确；
对于④，当，，时，，，
又为边中点，，
又，，，④正确.
故选：D.
4．B
【分析】利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等。
【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心.
故选：B
5．D
【分析】以为坐标原点，所在直线为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设，利用数量的坐标运算求出，再利用三角函数的性质求最值.
【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
圆的方程为，可设，
所以，
故．
所以当，即时，的最大值为，
故选：D．
6．A
【分析】根据向量共线可得,,化简可得，
转化为，根据，再利用三角形的面积表示出来即可得解.
【详解】如图，连接AD并延长交BC与点M,
设点B到直线AD的距离为,点C到直线AD的距离为,
因为，
所以设，
因为AM与向量AD共线，
设,,
所以，
即，
,
所以
故选：A
7．ABC
【分析】根据向量相等的定义可直接判断D；
根据题意可判断A；
根据重心的性质可判断B；
利用向量数乘和加减法法则可判断C.
【详解】如图：
根据欧拉线定理可知，点O H G共线，且.
对于A，∵，∴，故A正确；
对于B，G是重心，则延长AG与BC的交点为BC中点，且AG＝2GD，则，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，显然不正确.
故选：ABC.
8．ABCD
【分析】根据三角形外心、垂心、重心和内心的定义，结合平面向量的运算即可求得答案.
【详解】对A，根据外心的定义，易知A正确；
对B，，同理可得：，所以P是垂心，故B正确；
对C，记AB、BC、CA的中点为D、E、F，由题意，则，同理可得：，则N是重心，故C正确；
对D，由题意，，则I是垂心，故D正确
故选：ABCD.
9．
【分析】以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算以及余弦函数的有界性可求得的最小值.
【详解】因为是边长为的等边三角形，且，则为的中点，故，
以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、、，设点，
，，
所以，，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
10．
【解析】建立坐标系，根据求出点的坐标，设出的坐标分别为，，将，转化为关于的函数，即可得其最小值.
【详解】
以为坐标原点，以过且平行于的直线为轴，以过且垂直于的直线为轴，建立坐标系，则，，
所以，
所以，即点坐标为，
设，则，，
所以，，
所以，
当且时，有最小值为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是以为坐标原点，以过且平行于的直线为轴建立坐标系，则，，利用求出点的坐标，设出的坐标分别为，，，利用二次函数的性质可求最小值.
11．##
【分析】根据题意，建立直角坐标系，写出、、坐标，求出终点轨迹，数形结合即可求解.
【详解】不妨设，，，
，则起点在原点，终点轨迹为单位圆，
∴当与同向时，最小，为.
故答案为：.
12．
【解析】根据向量关系可得，即判断的取值范围即可，由图可知的最大值为，最小值为.
【详解】设外接圆的圆心为，半径为，
可得
，
M为三边上的动点，可知的最大值为到三角形顶点的距离，即为半径，
且的最小值为到边的距离，过作，垂足为，
则，
的最大值为，最小值为，
故的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查数量积的取值范围，解题的关键是利用向量关系整理出，从而转化为的取值范围.
13．(1)
(2)
【分析】（1）利用三点共线求得.
（2）先求得的等量关系式，利用基本不等式求得的最小值.
(1)
设，
，
由于三点共线，所以.
所以.
(2)
依题意，，
由于过点，而，，所以，
由（1）得，
所以,
由于三点共线，所以，
，
当且仅当，时等号成立.
14．(1)见解析;(2)见解析
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设，求出的坐标，
(1)求出的坐标，求数量积即可得结果；
(2) 设，则，，由得，再由得，联立方程组，可得点坐标，计算可得，即可得结果.
【详解】证明：如图，建立平面直角坐标系，其中A为原点，不妨设，
则.
(1)∵，，
∴，
∴，
即；
(2)设，则，，
由(1)知，，
∵，
∴，即.
同理，由，得.
∴，解得，即，
∴，
∴，即.
【点睛】本题考查向量坐标运算的应用，考查向量平行垂直的坐标表示，考查运算能力，是中档题.
15．
【分析】设球的重力为，球对板的压力为，绳对板的拉力为，根据力矩平衡可得出，再由，可求得的值，即可得解.
【详解】设球的重力为，球对板的压力为，绳对板的拉力为，
由已知得，由处于平衡状态，以为杠杆支点，有.
又，，，
所以绳的拉力为.
16．证明见解析.
【分析】以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，，，依题意可求出点的坐标，再根据点A，P，D共线可得，由点B，P，C共线，可得，由点O，P，E共线，可得，即可解出，从而证出．
【详解】以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.
设，，，，则.
因为点C分为，所以
因为点D为的中点，所以.
因为点A，P，D共线，所以.
又，，所以.
同理由点B，P，C共线，可得，
由点O，P，E共线，可得.解得.所以.
答案第1页，共2页
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