高中数学人教B版（2019）必修第二册节节通关练——6.3平面向量线性运算的应用B（含解析）

一、单选题
1．，，则最大值为（ ）
A．8 B．9 C． D．
2．已知是等腰直角三角形，，，是平面内一点，则的最小值为（ ）
A． B．4 C．6 D．
3．以，，，为顶点的四边形的形状是（ ）
A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形
4．在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
5．已知点P是边长为2的菱形内的一点(包含边界)，且，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．中，，，，点为的外心，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形不可能为（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
8．一物体受到3个力的作用，其中重力的大小为4N，水平拉力的大小为3N，另一力未知，则（ ）
A．当该物体处于平衡状态时，
B．当与方向相反，且时，物体所受合力大小为
C．当物体所受合力为时，
D．当时，
三、填空题
9．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为___________m/s
10．在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，若点，则的最大值为_________．
11．一条两岸平行的河流，水速为，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝____________的方向行驶.
12．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为，，，则的形状为______.
四、解答题
13．已知菱形ABCD的三个顶点，，，求：
(1)第四个顶点D的坐标；
(2)菱形ABCD的面积．
14．在边长为的正三角形中，已知，，点是线段的中点，点在线段上，.
（1）以为基底表示；
（2）求.
15．用向量方法证明两角差的余弦公式．
16．如图，四边形是正方形，，的延长线交的延长线于点．求证：．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】设点坐标，代入，可求出点的轨迹为圆，则的最大值为圆上的点到原点距离的最大，用圆心到原点的距离加半径即可.
【详解】设，，则，，，即点的轨迹为以圆心，5为半径的圆．故的最大值为．
故选：D.
2．A
【分析】建立直角坐标系，数形结合，利用平面向量数量积运算即可求出最小值.
【详解】如图建立坐标系，则，设
,
最小值为-4，
故选：A.
3．D
【分析】利用向量的坐标表示可得，再结合向量垂直及模长相等即得.
【详解】∵，，，，
∴，
∴，即四边形为平行四边形，又，
∴，即AB⊥BC，
则四边形为矩形，又
则四边形为正方形.
故选：D.
4．A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
5．A
【解析】如图建系，可求得A,B,C,D的坐标，设，则可得的表达式，根据x的范围，即可求得答案.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，则.
设，则，故，
即的取值范围是.
故选：A
6．A
【分析】在中，利用余弦定理求出，再在两边同时乘以向量和，利用投影的定义计算出和的值，代入方程中计算，解出和，可得出答案．
【详解】中，，，，
则，
，，
又，同理可得：，代入上式，
，解得：，
故选：A.
7．BCD
【分析】根据题意，求出向量、的坐标，由此可得且，由向量平行的意义分析可得答案.
【详解】根据题意，A，B，C，D四点坐标分别是（1，0），（4，3），（2，4），（0，2），
则，，故且，
又A，B，C，D四点不共线，故此四边形为梯形，即不可能为菱形、矩形、正方形，
故选：BCD．
8．ACD
【分析】根据向量的加法法则作图可判断AB；根据题意分析与的合力大小可判断C；由与共线时合力取得最值可判断D.
【详解】A选项：由题知，的大小等于重力与水平拉力的合力大小，由图知，故A正确；
B选项：如图，物体所受合力应等于向量与的和向量的大小，显然B错误；
C选项；当物体所受合力为时，说明与的合力为，所以，C正确；
D选项：由上知，重力与水平拉力的合力为，N，易知当与同向时合力最大，最大值为7N，反向时合力最小，最小值为3N，
即，故D正确.
故选：ACD
9．10
【分析】“垂直于河岸方向m/s的速度”是实际的速度，在数学中相当于是和向量．“河水的流速为2m/s”是其中一个分向量，静水速度是另一个分向量．即是和向量，是对角线，另外两个分向量是平行四边形的边长为2的边与对角线垂直，求另一边就是本题的静水速度．
【详解】为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即：静水速度斜向上游方向，
河水速度 =2m/s平行于河岸；
静水速度与河水速度的合速度=m/s指向对岸．
∴静水速度m/s．
故答案为：．
【点睛】本题考查小船的静水速度的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的加法法则的合理运用．属于基础题
10．
【分析】根据题意求出点A、B的坐标，由平面向量的坐标表示和向量的几何意义写出的表达式，利用三角函数的值域即可求出的最大值.
【详解】由题意知，
直线分别与x轴、y轴交于点A、B，
则，又，
所以，
有，
则
，其中，
当时，取得最大值，
且最大值为.
故答案为：
11．与水速成角
【解析】使小船所走路程最短，应与岸垂直，结合图形和解三角形的知识，即可求解.
【详解】如图所示，为使小船所走路程最短，应与岸垂直，
又，，，
所以.所以小船应朝与水速成角的方向行驶.
故答案为：与水速成角.
【点睛】本题主要考查了向量在物理中的应用，其中解答中理解向量的在实际中的应用，熟练应用向量的加法法则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
12．等腰直角三角形
【分析】求出向量，计算数量积，计算它们的模后可判断三角形形状．
【详解】由已知，得，，
∴，
∴，，
又，
∴是等腰直角三角形.
故答案为：等腰直角三角形.
13．(1)
(2)2
【分析】（1）利用向量相等即求；
（2）利用菱形的面积公式即求.
(1)
设，由，
得，解得，，
所以点的坐标为.
(2)
∵，，，，
∴，
∴菱形的面积.
14．（1）；；（2）
【解析】（1）根据平面向量的基本定理进而转化即可；
（2）利用平面向量的数量积，计算即可.
【详解】（1）由题意，；
.
（2）由题意得，.
15．证明见解析
【解析】在单位圆中利用向量的数量积公式证明即可.
【详解】证明：如图,在平面直角坐标系内作单位圆O,以x轴的非负半轴为始边作角,,它们的终边与单位圆O的交点分别为A,B．则
,．
由向量数量积的坐标表示,有
．
设与的夹角为,则
．
所以．
另一方面,易得．所以
．
于是．
【点睛】本题主要考查了利用向量证明两角差的余弦公式,属于中等题型.
16．证明见解析
【解析】以点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设，根据求得，根据得到，两式联立，求出；再设，根据和共线，求出，再由向量模的坐标表示，求出，即可得出结果．
【详解】证明：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则，．
设，则，．
又∵，∴，∴．
又∵，∴．
由得或（舍去），
∴．
设，则由和共线得，得，∴，∴，，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用，灵活运用建系的方法求解，熟记向量的坐标表示，以及向量共线的坐标表示，向量模的坐标表示即可，属于常考题型．
答案第1页，共2页
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