高中数学人教B版（2019）必修第二册节节通关练——6.2向量基本定理及向量坐标运算B（含解析）

一、单选题
1．若，，三点共线，则实数的值为
A．2 B． C． D．
2．已知向量，，且，那么等于（ ）
A．(4，0) B．(0，4) C．(3，－6) D．(－3，6)
3．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
4．已知向量，，若，共线，则实数x的值为（ ）
A．-1 B．2 C．1或-2 D．-1或2
5．如图，在梯形中，且，点为线段的靠近点的一个四等分点，点为线段的中点，与交于点，且，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
6．在中，内角所对的边分别为，若则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
二、多选题
7．已知非零平面向量，,,则（ ）
A．存在唯一的实数对，使 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．若平面向量和互相平行，其中，则（ ）
A． B．0 C． D．2
三、填空题
9．如图，在中，为的中点，，若，则______.
10．已知平面向量，若与反向共线，则实数的值为 ____
11．半径为1的扇形的圆心角为，点在弧上，，若，则______.
12．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______．
四、解答题
13．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，.
(1)用表示；
(2)求证：B，E，F三点共线．
14．设已知向量，向量.
（1）求向量的坐标；
（2）当为何值时，向量与向量垂直.
15．已知是平面内两个不共线的非零向量，，且三点共线.
(1)求实数的值；
(2)若，求的坐标；
(3)已知点，在（2）的条件下，若四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点的坐标.
16．在RtABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=6，D为AC边上的中点，E为BC边上一点，且(0<λ<1).
（1）当时，若xy，求x，y的值；
（2）当AE⊥BD时，求λ的值.
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参考答案：
1．C
【分析】由三点共线可得出向量共线，再根据向量共线的知识即可解题.
【详解】因为，，三点共线，
所以方向向量与共线，
所以，解得.
故选：C
【点睛】本题主要考查点共线和向量共线问题，属于常规题型.
2．C
【分析】根据共线向量的性质，结合平面向量减法的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】解析　∵，∴
则得
∴，
∴＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6).
故选：C
3．B
【分析】根据向量的加法减法运算即可求解.
【详解】依题意，，
故选：B
4．D
【分析】根据，共线，由求解.
【详解】因为向量，，且，共线，
所以，
解得或，
故选：D
5．C
【分析】由向量的线性运算法则化简得到和，结合三点共线和三点共线，得出和，联立方程组，即可求解.
【详解】根据向量的线性运算法则，可得
，
因为三点共线，可得，即；
又由，
因为三点共线，可得，即，
联立方程组，解得，所以.
故选：C.
6．B
【分析】利用向量的减法及平面向量基本定理即得.
【详解】因为，
所以
所以，
所以
故为等边三角形.
故选：B.
7．BD
【分析】假设与共线，与，都不共线，即可判断A错；根据向量垂直的数量积表示，可判断B正确；向量共线可以是反向共线，故C错；根据向量数量积法则，可判断D正确.
【详解】A选项，若与共线，与，都不共线，则与不可能共线，故A错；
B选项，因为，,是非零平面向量,若，则，，所以，即B正确；
C选项，因为向量共线可以是反向共线，所以由不能推出；如与同向，与反向，且，则，故C错；
D选项，若，则，
，所以，即D正确.
故选：BD.
【点睛】本题主要考查共线向量的有关判定，以及向量数量积的相关计算，属于基础题型.
8．AD
【分析】根据平行向量的坐标表示求出x的值，进而求出的坐标，得出的坐标，结合向量的求模公式即可得出结果.
【详解】因为平面向量和互相平行，
所以或，
即，或，，
所以或，
所以或，
故选：AD
9．
【分析】先用表示，再用表示，即可得到答案.
【详解】
，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查向量的分解、线性运算.
10．
【分析】根据题意得到存在实数，使得，列出方程组，即可求解.
【详解】由题意，向量与反向共线，所以存在实数，使得，
即，可得，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
11．
【分析】建立直角坐标系，由，，可得．由，可得，又，，利用向量相等可得出，，进而得解．
【详解】建立直角坐标系，如图所示，
，，
，即
，
，即
，
，解得．
．
故答案为：
12．且
【分析】利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等式求解作答.
【详解】因向量，，且与的夹角为锐角，于是得，且与不共线，
因此，且，解得且，
所以实数的取值范围是且.
故答案为：且
13．(1)，，，，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据平面向量的线性运算结合图像计算即可得解；
（2）利用平面向量共线定理证明，即可得证.
（1）
解：在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，
则，
故，
，
，
；
（2）
证明：因为，，
所以，
所以，
又因有公共点，
所以B，E，F三点共线．
14．（1）；（2）.
【分析】（1）进行向量坐标的减法和数乘运算即可得出；
（2）可求出，然后根据与垂直即可得出，解出即可．
【详解】（1）∵，，
∴.
（2）∵，且与垂直，
∴，解得.
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出，共线可得；
（2）由向量加法的坐标表示计算．
（3）由向量相等的坐标表示计算．
(1)
由已知，又，
三点共线，则共线，
所以存在实数使得，即，
不共线，所以，解得；
(2)
，
；
(3)
由题意，所以，
，得
所以点坐标为．
16．（1）；（2）.
【分析】（1）建立平面直角坐标系，表示出向量 和，利用平面向量的坐标表示，由xy求解.
（2）设点E(x，y)，利用AE⊥BD得到0，再结合与共线求解.
【详解】（1）建立平面直角坐标系，如图所示；
则A(0，0)，B(0，2)，C(6，0)，D(3，0)，
当时，，E是BC的中点，
所以E(3，1)，(3，﹣2)，(6，0)，(3，1)；
又，
所以(3，1)=x(3，﹣2)+y(6，0)=(3x+6y，﹣2x)，
即，
解得x，y；
（2）设点E(x，y)，则(x，y)；
当AE⊥BD时，0
即3x﹣2y=0①；
又(x，y﹣2)，
(6，﹣2)，且与共线，
所以﹣2x﹣6(y﹣2)=0②；
由①②组成方程组，解得x，y；
所以()，
所以，
即λ的值为.
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