高中数学人教B版（2019）必修第二册节节通关练——6.2向量基本定理及向量坐标运算C（含解析）

一、单选题
1．设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A．，，三点共线 B．，，三点共线
C．，，三点共线 D．，，三点共线
3．在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）.
A． B． C． D．
4．如图，在△中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，则（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，中，点M是BC的中点，点N满足，AM与CN交于点D，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．在方向上的投影为
8．如图，已知点G为的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，，，记，，四边形BDEC的面积分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若，则的最大值为___________.
10．在中，，，为的垂心，且满足，则___________.
11．中，M为边上任意一点，为中点，，则的值为________
12．在三角形ABC中，点D在边BC上，若，，则______．
四、解答题
13．如图，在矩形中，点E是的中点，点F在边上.
（1）若点F是上靠近C的三等分点，试用，表示；
（2）若有向量满足，点是上靠近C的四等分点，且，求的值.
14．如图所示，中，F为BC边上一点，，若，
(1)用向量、表示；
(2)，连接DF并延长，交AC于点，若，，求和的值．
15．在等腰梯形中，已知，，，，动点和分别在线段和上（含端点），且，且（、为常数），设，.
（Ⅰ）试用、表示和；
（Ⅱ）若，求的最小值.
16．平面直角坐标系中，已知向量，且．
（1）求与之间的关系式；
（2）若，求四边形的面积．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据为单位向量，设，且，得到的坐标，再根据，得到x的范围，然后利用求解.
【详解】因为为单位向量，
不妨设，且，
所以，
又因为，
所以，
化简得，
所以，
，
，
当时，，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键是在为单位向量的条件下，设，由确定x的范围.
2．D
【分析】根据给定条件逐项计算对应三点确定的某两个向量，再判断是否共线作答.
【详解】平面向量，不共线，，，，
对于A，，与不共线，A不正确；
对于B，因，，则与不共线，B不正确；
对于C，因，，则与不共线，C不正确；
对于D，，即，
又线段与有公共点，则，，三点共线，D正确.
故选：D
3．D
【分析】根据向量共线转化为，利用三点共线求实数的取值.
【详解】，又因为，
所以，即，
所以，
因为点三点共线，所以，
解得：.
故选：D
【点睛】本题考查向量共线，平面向量基本定理，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型.
4．B
【分析】根据三点共线有，使、，由平面向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案.
【详解】，，
由，P，M共线，存在，使①，
由N，P，B共线，存在，使得②，
由①② ，故.
故选：B.
5．C
【分析】利用平面向量基本定理，向量的线性运算可得，再利用三点共线列式计算作答.
【详解】在中，点M是BC的中点，，则，
又，于是得，因点C，D，N共线，则有，解得，
所以.
故选：C
6．D
【分析】根据给定条件，以单位向量的方向分别作为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解作答.
【详解】单位向量满足，即，作，以射线OA，OB分别作为x、y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，
，设，则，由得：，
令，即，
，其中锐角满足，
因此，当时，，当时，，
所以的取值范围是.
故选：D
7．BCD
【分析】以E为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.
【详解】由题E为AB中点，则，
以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，，
设，∥，
所以，解得：，
即O是CE中点，，所以选项B正确；
，所以选项C正确；
因为，，所以选项A错误；
，，
在方向上的投影为，所以选项D正确.
故选：BCD
【点睛】此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.
8．ABC
【分析】连接AG并延长交BC于点M，由三角形重心结合向量运算探求m，n的关系，
再借助三角形面积公式及均值不等式即可逐项判断作答.
【详解】连接AG并延长交BC于点M，如图，因G为的重心，则M是BC边的中点，且，
又D，G，E三点共线，即，则有，
而，，又，于是得，
而与不共线，因此，，，A正确；
边AD上的高为，边AB上的高为，
则，B正确；
由A可知，，当且仅当时取“=”，则有，
即，而，于是得，C正确，D错误.
故选：ABC
9．
【分析】设BD与AE的交点为O，结合比例关系可求出，得出，则可代换为，结合三点共线性质得，原式代换为，再结合基本不等式即可求解
【详解】如图，
设BD与AE的交点为O，则由，得，所以，所以.由点O，F，B共线，得，所以，当且仅当时取等号，即的最大值为
故答案为：
【点睛】本题考查平面向量三点共线性质的应用，基本不等式求最值，属于中档题
10．
【分析】根据题意作出图形，然后根据，设设，则，进而根据平面几何性质表示出相关边的数量关系，然后根据平面向量的运算法则即可得出.
【详解】如图所示，为的中点，不妨设，则.因为，则，则，，由此可得.
故答案为：.
11．
【分析】根据即可得，进而得答案.
【详解】因为，
所以
，
所以，所以
故答案为：
【点睛】本题考查基底表示向量，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于借助得，进而求解.
12．
【分析】由平面向量基本定理得到，，从而求出答案.
【详解】由已知，得，
所以，
因为，所以，，
所以．
故答案为：
13．（1）；（2）.
【分析】（1）以向量作为基底向量，结合向量的加法运算，得出；
（2）建立直角坐标系，利用坐标运算，得出的值.
【详解】（1）
（2）以点为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系
设
则
，
，解得
【点睛】本题主要考查了用基底表示向量以及已知向量共线求参数，属于中档题.
14．(1)
(2)，
【分析】（1）由得，进而得答案；
（2）由题知，，进而得，再结合（1）得以，解得，．
(1)
解：因为，
所以，即，
所以
(2)
解：若，，则，
所以
由于，
所以，，解得，．
所以，．
15．（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）过点作，交于点，证明出，从而得出，然后利用向量加法的三角形法则可将和用、表示；
（Ⅱ）计算出、和的值，由得出，且有，然后利用向量数量积的运算律将表示为以为自变量的二次函数，利用二次函数的基本性质可求出的最小值.
【详解】（Ⅰ）如下图所示，过点作，交于点，
由于为等腰梯形，则，且，
，即，又，所以，四边形为平行四边形，
则，所以，为等边三角形，且，
，，
，
；
（Ⅱ），，，
由题意可知，，由得出，
所以，，
，
令，则函数在区间上单调递减，
所以，，因此，的最小值为.
【点睛】本题考查利用基底表示向量，同时也考查了平面向量数量积最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.
16．（1）；（2）16.
【解析】（1）由题知，再根据即可得；
（2）由题知，，进而根据得，结合（1）联立方程得或，再结合分类讨论即可得答案.
【详解】解：（1）由题意得，
因为，，
所以，即，
所以与之间的关系式为： ①
（2）由题意得，，
因为，
所以，即，②
由①②得或
当时，，，
则
当时，，，
则
所以，四边形的面积为16.
【点睛】本题解题的关键在于由得，故只需解决即可求解，考查向量的坐标运算，是中档题.
答案第1页，共2页
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