高中数学苏教版（2019）必修第二册节节通关练——9.3向量基本定理及坐标表示C（含解析）

一、单选题
1．已知，是不共线的向量，，，，若三点共线，则实数λ， 满足（ ）
A． B． C． D．
2．在△ABC中， AB＝4，AC＝2点E，F分别是AB，AC的中点，则（ ）
A．－6 B．6 C．－12 D．12
3．正方形ABCD的边长为2，以AB为直径的圆M，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．与的夹角为，与的夹角为，若，则（ ）
A． B． C． D．2
5．在平行四边形中，，M是中点．若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知△ABC中，，AB=4，AC=6，且，，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
二、多选题
7．已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．在方向上的投影为
8．已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P．已知平面内点，点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点，逆时针旋转，后分别得到点，则（ ）
A． B．
C． D．点的坐标为
三、填空题
9．已知在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则取最小值时，向量的模为__________.
10．已知是边长为的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为___________．
11．如图所示，已知，点是点关于点的对称点，，和交于点，若，则实数的值为_______．
12．中，M为边上任意一点，为中点，，则的值为________
四、解答题
13．如图，在平面内将两块直角三角板接在一起，已知，记.
（1）试用表示向量;
（2）若，求.
14．如图所示，中，，，为的中点，为上的一点，且，的延长线与的交点为.
(1)用向量，表示；
(2)用向量，表示，并求出和的值.
15．已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．
(1)若∥，求 的值；
(2)若⊥（＋2），求实数k的值；
(3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
16．如图，以边长为2的正方形的边为直径作半圆，P为半圆上的动点，满足．
（1）设，用分别表示和；
（2）求的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】根据向量的线性运算方法，分别求得，；
再由，得到，即可求解.
【详解】由，，，
可得，；
若三点共线，则，可得，化简得.
故选：B.
2．B
【分析】利用向量的线性运算化简所求向量表达式，结合向量数量积运算律求其值.
【详解】∵ ，
，
∴
∴,
又，
∴
故选：B.
3．B
【分析】以为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，写出坐标，设，用数量积的坐标表示计算数量积后由正弦函数性质得范围．
【详解】以为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图，则，，
圆方程为，在圆上，设，
，，
，
，所以．
故选：B．
4．D
【分析】将沿与方向进行分解，易得，再在中，，代入相关值即可得到答案.
【详解】将沿与方向进行分解，延长、至、，以、为邻边、为对角线画出平行四边形，如图，
由平行四边形法则有，且，所以，
，又，，在中，，
即.
故选：D
【点睛】本题考查平面向量的基本定理的应用，关键点是数形结合得到，考查了学生的计算能力.
5．B
【分析】直接利用为基底，把转化为的计算，利用夹角公式求出.
【详解】．
∴，∵∴．
故选：B
【点睛】在几何图形中进行向量运算:
(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；
(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.
6．B
【分析】以，为基底表示，再与求数量积即可．
【详解】解：，
且
所以：．
故选：B.
7．BCD
【分析】以E为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.
【详解】由题E为AB中点，则，
以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，，
设，∥，
所以，解得：，
即O是CE中点，，所以选项B正确；
，所以选项C正确；
因为，，所以选项A错误；
，，
在方向上的投影为，所以选项D正确.
故选：BCD
【点睛】此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.
8．ABD
【分析】利用题目中的新定义和向量的坐标运算可得到各个点的坐标，以及各个向量的坐标，然后对各个选项进行计算检验即可.
【详解】点，点，,把点B绕点A沿顺时针方向旋转(即按逆时针方向旋转 ) 后得到点，,可得，故D正确；
把点B绕点A沿逆时针旋转后得到点,
,可得
，故A正确；
把点B绕点A沿逆时针旋转后得到点,
,
即，故B正确；
C. ,
，即，故C错误；
故选：ABD
9．
【分析】由题可得，利用基本不等式可得式子取最小值时的m和n的值，然后利用向量的模长公式可得．
【详解】∵，，
∴m4n，
又∵为上一点，
所以，
∴，
当且仅当即且时，取等号，
∴向量的模为.
故答案为：．
10．
【分析】取中点，以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量坐标运算可表示出点坐标，进而得到，利用二次函数最值的求法可求得结果.
【详解】取中点，
为等边三角形，，则以为坐标原点可建立如图所示平面直角坐标系，
则，，，设，
，，，
，则，
，，，
，
则当时，取得最小值.
故答案为：.
11．
【分析】设，可得，，又因为，即可求解．
【详解】如图所示：
设，由于，所以，
由于点是点关于点的对称点，则为中点，
所以，得
所以
由于 ，又因为
得 ．
故答案为：
【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
12．
【分析】根据即可得，进而得答案.
【详解】因为，
所以
，
所以，所以
故答案为：
【点睛】本题考查基底表示向量，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于借助得，进而求解.
13．（1），；（2）.
【分析】（1）由题易知，再结合即可得，进而即可得答案；
（2）由题知，，进而根据向量数量积运算求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
由题意可知， ，
所以，则，
（2）因为，所以， ，
所以
14．(1)
(2)，7，6
【分析】（1）由已知得，，为的中点，可得答案；
（2）设，得 ，设，可得，即，由，不共线和平面向量基本定理求得、，可得答案.
（1）
根据题意因为：，所以，
所以，
为的中点，，，所以，.
（2）
因为，，三点共线，设，所以，
即，
，，三点共线，设，
由（1）可知，即，
，不共线，由平面向量基本定理，所以，
所以，，
所以，，
则的值为7，的值为6.
15．(1)3；
(2)k＝；
(3)k＜且k≠－6.
【分析】（1）解方程1×k－2×＝0即得解；
（2）解方程1×＋2×＝0即得解；
（3）解不等式1×＋2×k＜0且k≠－6，即得解.
(1)
解：因为向量＝（1，2），＝（－3，k），且∥，
所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，
所以＝＝3．
(2)
解：因为＋2＝，且⊥，
所以1×＋2×＝0，解得k＝．
(3)
解：因为与的夹角是钝角，则＜0且与不共线．
即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6．
16．（1）；（2）.
【分析】（1）根据已知条件分别将表示为和的线性组合，利用方程组思想求解出结果；
（2）以中点为坐标原点建立合适平面直角坐标系，利用坐标表示出，然后根据坐标形式下向量的数量积计算公式以及三角函数的取值范围求解出的取值范围.
【详解】（1）如下图，因为，
所以，，
所以，所以解得；
（2）以中点为坐标原点，的方向为轴正向建立平面直角坐标系如下图所示，
因为正方形边长为，所以半圆是单位圆位于轴上方的部分，
设，，
所以，
所以，
又因为，所以，所以，
所以，，
所以.
【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于坐标法的使用，利用坐标法将原本需要利用数量积定义去计算的问题转化为利用坐标运算去求解，一定程度上降低了运算的难度；本例除了可以采用坐标法计算数量积的范围，还可以通过取中点，将转化为，然后结合线段长度去求解结果.
答案第1页，共2页
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