高中数学人教B版（2019）必修第二册节节通关练——6.1平面向量及其线性运算C（含解析）

一、单选题
1．已知向量，，且对任意，恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，圆是等边三角形的外接圆，点为劣弧的中点，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知圆中，弦的长为，圆上的点满足，那么在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
4．在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知是正三角形，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知不共线的平面向量两两所成的角相等，且，则（ ）
A． B．2 C．3 D．2或3
二、多选题
7．在中，，，下述四个结论中正确的是（ ）
A．若为的重心，则
B．若为边上的一个动点，则为定值2
C．若，为边上的两个动点，且，则的最小值为
D．已知为内一点，若，且，则的最大值为2
8．是边长为的等边三角形，已知向量、满足，，则下列结论中正确的有（ ）
A．为单位向量 B． C． D．
三、填空题
9．数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线．若△ABC中，，，则下列各式中正确的序号是______．
① ② ③ ④
10．设O为△ABC内部的一点，且，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为________．
11．已知椭圆，长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且，，则椭圆的焦距为________.
12．如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点若，，则的最小值为__________．
四、解答题
13．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
14．在中，若，．
（1）若D为BC上的点，且，求证：；
（2）若P、Q是线段BC的三等分点，求证：；
（3）若P、Q、S是线段BC的四等分点，求证：；
（4）如果、、、…、是线段BC的等分点，你能得到什么结论？不必证明．（已知）
15．已知，是两个不共线的向量，若，，，求证：A，B，D三点共线；
16．若向量，满足，，求的最大值及最小值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】由已知两边平方得，可判断A；再由得，结合可判断B；由可判断C；由可判断D.
【详解】由得
，
即对任意恒成立，
所以，，
所以，
所以A错误；
由得，
由，所以B错误；
由，得，所以C正确；
由，所以D错误.
故选：C.
【点睛】本题考查了向量的模长和数量积的有关运算，解题的关键点是判断出，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.
2．A
【解析】连接，易知，，三点共线，设与的交点为，列出相应式子得出结论.
【详解】解：连接，易知，，三点共线，设与的交点为，
则.
故选：A.
【点睛】本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题.
3．D
【分析】由得O为的重心，A，B，C三点均匀分布在圆周上，为正三角形，根据向量的投影的定义可得选项.
【详解】解法一：连接BC，由得O为的重心，A，B，C三点均匀分布在圆周上，为正三角形，所以，弦AB的长为，所以在方向上的投影为，
故选：D.
解法二：由，得O为的重心，A，B，C三点均匀分布在圆周上，建立如图所示的直角坐标系，则，所以，，所以，
所以，所以在方向上的投影为，
故选：D.
【点睛】本题考查向量的投影的定义和运算，关键在于由向量间的关系得出三角形的特殊性，属于中档题.
4．B
【分析】根据平面向量的共线定理、平面向量的加法的几何意义，结合已知和等腰梯形的性质进行求解即可.
【详解】因为在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，
所以可得：．
故选：B.
5．B
【分析】根据向量加法的三角形法则及是正三角形，逐一判断即可.
【详解】解：对于A，因为，,
所以，故正确；
对于B，因为,(为中点)，故错误；
对于C，因为(为中点),
(为中点),
所以，故正确；
对于D，因为，，
所以，故正确.
故选：B.
6．D
【分析】先求出，转化，列方程即可求出.
【详解】由不共线的平面向量，，两两所成的角相等，可设为θ，则.设||=m.
因为，所以，
即，
所以
即，解得：或3.
所以||=2或3
故选：D
7．AC
【分析】A.以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，由为的重心，结合向量的数乘运算判断；B.设，把用含t的代数式表示判断；C.不妨设M靠近B，，求得M，N的坐标，得到关于x的函数，利用二次函数求值判断；D. 由结合BP=1，得到，再令，转化为，利用三角函数的性质求解判断.
【详解】如图，以A为坐标原点，分别以AB，AC所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则，因为为的重心，所以，则 ，
所以 ，所以，故A正确；
设，则，则，
，故B错误；
不妨设M靠近B，，得，
则，当时，的最小值为：故C正确；
由，且P为内一点，BP=1，则，即，
令，则，
因为，则，所以，
所以的范围是，故D错误.
故选：AC
8．ABD
【解析】求出可判断A选项的正误；利用向量的减法法则求出，利用共线向量的基本定理可判断B选项的正误；计算出，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误.综合可得出结论.
【详解】对于A选项，，，则，A选项正确；
对于B选项，，，，B选项正确；
对于C选项，，所以与不垂直，C选项错误；
对于D选项，，所以，，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.
9．①③④
【分析】根据欧拉线定理可判断①；利用向量的加、减运算可判断②；利用向量的数量积可判断③；利用向量的加法运算以及欧拉线定理可判断④．
【详解】解：对于①，由题意得，即，故①正确；
对于②，由是的重心，设为中点，可得，
所以，故②错误；
对于③，过的外心分别作，的垂线，垂足为，，如图，
易知，分别是，的中点，
则
，故③正确；
对于④，因为为的重心，
所以，
故，
所以由欧拉线定理可得，
所以，故④正确，
故答案为：①③④．
10．
【分析】令，，则为△的重心，利用重心的性质：即可求比值.
【详解】若，，
∴，即为△的重心，
令，，则，，
∴，由，
故答案为：
11．
【分析】首先根据已知条件，容易得出为等腰直角三角形，从而得到点坐标，代入椭圆标准方程，根据解出，再求和焦距即可.
【详解】如图所示：
因为，所以.
又因为，所以.
即为等腰直角三角形.
因为，所以.
又因为在椭圆上，所以.
因为，解得.
所以，焦距为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的基本计算，同时考查了平面向量减法的几何意义，属于中档题.
12．
【分析】先利用条件找到，则，利用基本不等式求最小值即可.
【详解】，，又，
∴，
∴，
又、、三点共线，
∴，
∴，
当且仅当，即时取等，
∴的最小值为．
故答案为：
13．（1）5；（2）2.
【分析】根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可.
【详解】解：由题可知，每个小方格都是单位正方形，
每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，
则，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，
则与相等的向量共有5个，如图1；
（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.
【点睛】本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查理解能力和数形结合思想.
14．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）.
【分析】（1）将转化为，再将转化为即可.
（2）以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，易得四边形AQDB是平行四边形，根据向量加法容易得到结论.
（3）以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，容易得到四边形ASDP是平行四边形，进一步根据向量加法容易得到结论.
（4）通过（2）（3）猜想出结论.
【详解】（1）如图1，
．
（2）当P、Q是线段BC的三等分点时，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，联结AD，交BC于O点，联结PD、QD，如图2，则，∵，，∴，且，∴四边形APDQ是平行四边形，∴．
（3）当P、Q、S是线段BC的四等分点时，如图3，则Q是BC的中点，
∴．
（4）结论：．
15．详见解析
【解析】计算得到，故＝2，得到证明.
【详解】∵，，∴，
又，∴＝2，∴∥，∵AB与BD有交点B，∴A，B，D三点共线．
【点睛】本题考查了利用向量证明三点共线，意在考查学生的计算能力和应用能力.
16．最大值是18，最小值是6.
【分析】根据向量的三角不等式即可求解.
【详解】因为，，
所以，当且仅当向量，方向相同时取得等号；
，当且仅当向量，方向相反时取得等号.
所以的最大值是18，最小值是6.
答案第1页，共2页
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