高中数学人教B版（2019）必修第二册节节通关练——6.1平面向量及其线性运算B（含解析）

一、单选题
1．在ABC中，已知D是AB边上的一点，若，则λ等于（ ）
A． B． C． D．
2．若M为△ABC的边AB上一点，且则=（ ）
A． B． C． D．
3．已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（ ）
A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
4．下列说法中正确的个数是（ ）
①单位向量都平行；②若两个单位向量共线，则这两个向量相等；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④有相同起点的两个非零向量不平行；
⑤方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知点为所在平面内一点，若动点满足，则点一定经过的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
6．设、、为非零向量，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知，如下四个结论正确的是（ ）
A．； B．四边形为平行四边形；
C．与夹角的余弦值为； D．
8．已知为非零向量,则下列命题中正确的是
A．若,则与方向相同
B．若,则与方向相反
C．若,则与有相等的模
D．若,则与方向相同
三、填空题
9．在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值是________．
10．已知向量，不共线，，，若，则______．
11．设是空间两个不共线的向量，已知，，且A，B，D三点共线，则实数k＝___．
12．已知向量，若，则_________．
四、解答题
13．已知单位向量的夹角为，向量，向量．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
14．判断下列命题是否正确，请说明理由：
（1）若向量 与 同向，且，则；
（2）若向，则 与的长度相等且方向相同或相反；
（3）对于任意向量，若 与的方向相同，则 =；
（4）由于 方向不确定，故 不与任意向量平行；
（5）向量 与平行，则向量 与方向相同或相反．
15．计算：
（1）；
（2）.
16．设，是两个不共线的向量，已知，，.
(1)求证：，，三点共线；
(2)若，且，求实数的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】利用共线向量定理求解.
【详解】因为D是AB边上的一点，
所以A，B，D三点共线，
所以，则，
因为，
所以，
因为A，B，C不共线，
所以，解得，
故选：B
2．A
【解析】先用向量，表示向量，再转化为用，表示即可得答案.
【详解】解：根据题意做出图形，如图，
所以，
所以.
故选：A.
【点睛】关键点睛：解题关键在于利用向量的线性运算进行求解，属于基础题
3．B
【分析】根据平面向量相等的概念，即可证明，且，由此即可得结论.
【详解】在四边形ABCD中， ，所以，且，
所以四边形为平行四边形．
故选：B
4．A
【分析】根据向量的定义判断．
【详解】①错误，因为单位向量的方向可以既不相同又不相反；
②错误，因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反；
③正确，因为零向量与任意向量共线，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④错误，有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量；
⑤正确，方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．
正确的有两个．
故选：A．
5．D
【分析】取的中点，由，得，从而可得与共线，得直线与直线重合，进而得结论
【详解】解：取的中点，则，
因为，
所以，
所以与共线，即直线与直线重合，
所以直线一定过的重心，
故选：D
6．C
【分析】求出的最大值和最小值，可得出结果.
【详解】解：、、分别为、、方向上的单位向量，
则，当且仅当、、方向都相同时，等号成立，
作，，，当时，如下图所示：
以、为邻边作平行四边形，则该四边形为菱形，且，
所以，为等边三角形，且，
又因为，，由图可知，，即，
综上所述，.
故选：C.
7．BD
【分析】求出向量坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断.
【详解】由，
所以，，， ,
对于A，，故A错误；
对于B，由，，则，
即与平行且相等，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选：BD
【点睛】本题考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题.
8．ABD
【解析】根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可.
【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有.
当同向时有,.
当反向时有,
故选：ABD
【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算与三角不等式,属于基础题型.
9．##0.9
【分析】根据题意画出图形，利用表示出，再设，；用分别表示出求出与，再将其代入，可得，然后利用二次函数的性质即可求的最小值．
【详解】如图所示，
中，，
∴，
又点点在线段上移动，设，，
∴，
又，∴，
∴，
∴当时，取到最小值，最小值为.
故答案为：．
10．6
【分析】根据向量共线可得答案.
【详解】因为，且，
所以存在，使得，即，
因为，不共线，所以解得，．
故答案为：6.
11．1
【分析】由列方程组，由此求得的值.
【详解】∵A，B，D三点共线，
∴向量和共线，故存在实数λ，使，
，
所以
故可得 ，解得.
故答案为：1
12．
【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，
解方程可得：.
故答案为：.
13．（1）；（2）．
【分析】（1）根据向量平行的条件求解；
（2）由向量垂直得数量积为0求得，再把向量平方，把模的运算转化为数量积的运算求解．
【详解】（1）若，则存在实数，使得，即，
因为不共线，所以，解得；
（2）单位向量的夹角为，则，
由得，
解得，
，所以．
14．（1）不正确，理由见解析 （2）不正确，理由见解析（3）正确，理由见解析 （4）不正确，理由见解析 （5） 不正确，理由见解析
【解析】（1）根据平面向量的定义判断.（2）只能判断两向量长度相等，方向不确定.（3）根据平面向量的定义判断.（4）规定：与任意向量平行（5）考虑零向量的情况.
【详解】（1）不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
（2）不正确．由|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．
（3）正确．因为|，且 与同向，由两向量相等的条件，可得 =
（4）不正确．依据规定：与任意向量平行．
（5）不正确．因为向量 与若有一个是零向量，则其方向不定．
【点睛】本题主要考查平面向量的相关概念，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
15．（1）；（2）.
【分析】（1）根据向量的运算法则，展开整理，即可得答案.
（2）根据向量的运算法则，展开整理，即可得答案.
【详解】（1）
=.
（2）
=
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意证明向量与共线，再根据二者有公共点，证明三点共线；
（2）根据与共线，设由（1）的结论及题意代入整理，结合，是两个不共线的向量，构造方程解实数的值.
（1）
由已知得,
因为，所以,
又与有公共点，所以，，三点共线；
（2）
由（1）知，若，且，
可设,
所以，即，
又，是两个不共线的向量，
所以解.
答案第1页，共2页
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