高中数学人教B版（2019）必修第二册节节通关练——5.3概率C（含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教B版（2019）必修第二册节节通关练——5.3概率C（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 689.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-27 09:53:18 | ||
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文档简介
一、单选题
1．如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（ ）
A． B．
C． D．
2．先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b，4能够构成等腰三角形的概率是( )
A． B． C． D．
3．已知一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，那么下列事件概率错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想.世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对.其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”.在不超过的素数中，任选两个不同的素数 ()，令事件为孪生素数}，为表兄弟素数}，，记事件 发生的概率分别为 ，则下列关系式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
二、多选题
7．某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（ ）
A．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是
B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是
C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是
D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是
8．在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（ ）
A．两件都是一等品的概率是
B．两件中有1件是次品的概率是
C．两件都是正品的概率是
D．两件中至少有1件是一等品的概率是
三、填空题
9．小华 小明 小李 小章去，，，四个工厂参加社会实践，要求每个工厂恰有人去实习，则小华去工厂，且小李没去工厂的概率是___________.
10．辛普森悖论(Simpson’sParadox)有人译为辛普森诡论，在统计学中亦有人称为“逆论”，甚至有人视之为“魔术”.辛普森悖论为英国统计学家E.H.辛普森(E.H.Simpson)于1951年提出的，辛普森悖论的内容大意是“在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论.”下面这个案例可以让我们感受到这个悖论：关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情况，现有如下数据：
某高校 申请人数 性别 录取率
法学院 200人 男 50%
女 70%
商学院 300人 男 60%
女 90%
对于此次招生，给出下列四个结论：
①法学院的录取率小于商学院的录取率；
②这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率；
③这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率；
④法学院的录取率不一定小于这两个学院所有学生的录取率.
其中，所有正确结论的序号是___________.
11．“田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代齐国，马匹按奔跑的速度分为上、中、下三等.一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马，每匹马都各赛一局，采取三局两胜制.已知田忌每个等次的马，比齐王同等次的马慢，但比齐王较低等次的马快.若田忌事先打探到齐王第一场比赛会派出上等马，田忌为使自己获胜的概率最大，采取了相应的策略，则其获胜的概率最大为_________.
12．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
四、解答题
13．某地举办水果观光采摘节，并推出配套旅游项目，统计了4月份100名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；
（2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加配套旅游项目，请列出所有的可能结果，并求这2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率；
（3）为吸引顾客，该地特推出两种促销方案，
方案一：每满80元可立减8元；
方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折．
若水果的价格为11元／千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案.
14．今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比实中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.
(1)求乙、丙两所学校各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三所学校中不少于2所学校回答正确这道题的概率.
15．某企业从领导干部 员工中按比例随机抽取50人组成一个评审团，对A B两个员工作为后备干部的竞聘演讲及个人技术能力展示进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分为5组：，，，，，得到A员工的频率分布直方图和B员工的频数分布表：
(1)在评审团的50人中，求对A员工的评分不低于80分的人数；
(2)从对B员工的评分在范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在范围内的概率；
(3)该企业决定：若评审团给员工评分的中位数大于82分，则推荐这名员工作为后备干部人选，请问评审团将推荐哪一位员工作为后备干部人选？
16．为迎接年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为元（不足1小时的部分按小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过小时离开的概率分别为、；小时以上且不超过小时离开的概率分别为、；两人滑雪时间都不会超过小时.
（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望，方差.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】要使系统正常工作，则A、B要都正常或者C正常，D必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.
【详解】记零件或系统能正常工作的概率为，
该系统正常工作的概率为:
,
故选：C.
2．D
【分析】利用乘法原理求出基本事件总数，然后按照分类讨论的方法求出a，b，4能够构成等腰三角形的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】由乘法原理可知，基本事件的总数是36，
结合已知条件可知，
当时，符合要求，有1种情况；
当时，符合要求，有1种情况；
当时，符合要求，有2种情况；
当时，符合要求，有6种情况；
当时，符合要求，有2种情况；
当时，符合要求，有2种情况，
所以能构成等腰三角形的共有14种情况，
故a，b，4能够构成等腰三角形的概率.
故选：D.
3．D
【分析】运用古典概型概率计算公式分别计算出相应事件的概率即可作出判断.
【详解】对于选项A：，所以，故A正确；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：，所以，故C正确；
对于选项D：，所以，故D错误.
故选：D.
4．D
【解析】根据素数的定义，一一列举出不超过的所有素数，共10个，根据组合运算，得出随机选取两个不同的素数、()，有(种)选法，从而可列举出事件、、的所有基本事件，最后根据古典概率分别求出和，从而可得出结果.
【详解】解：不超过的素数有、、、、、、、、、，共10个，
随机选取两个不同的素数、()，有(种)选法，
事件发生的样本点为、、、共4个，
事件发生的样本点为、、、共4个，
事件发生的样本点为、、、、、
、、、、，共个，
∴，，
故.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查与素数相关的新定义，考查古典概型的实际应用和利用列举法求古典概型，考查组合数的计算，解题的关键在于理解素数的定义，以及对题目新定义的理解，考查知识运用能力.
5．D
【分析】把汽车在三处遇两次绿灯的事件M分拆成三个互斥事件的和，再利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式计算得解.
【详解】汽车在甲、乙、丙三处遇绿灯的事件分别记为A，B，C，则，
汽车在三处遇两次绿灯的事件M，则，且，，互斥，而事件A，B，C相互独立，
则，
所以汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为.
故选：D
6．A
【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.
【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，
则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；
新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；
新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；
新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；
故选A.
点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.
7．ABC
【解析】对各项中的随机事件，计算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，再计算出相应的概率后可得正确的选项.
【详解】甲同学仅随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为，
随机事件“若能得3分”中有基本事件，故“能得3分”的概率为，故A正确.
乙同学仅随机选两个选项，共有6个基本事件，
分别为：，
随机事件“能得5分”中有基本事件，故“能得5分”的概率为，故B正确.
丙同学随机选择选项（丙至少选择一项），
由A、B中的分析可知共有基本事件种，分别为：
选择一项：；
选择两项：；
选择三项或全选：，，
随机事件“能得分”中有基本事件，
故“能得分”的概率为，故C正确.
丁同学随机至少选择两个选项，有C的分析可知：共有基本事件11个，
随机事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率为，
故D错.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）.
8．BD
【分析】由题意给产品编号，列出所有基本情况，逐项列出满足要求的情况，由古典概型概率公式逐项判断即可得解.
【详解】由题意设一等品编号为、，二等品编号为，次品编号为，
从中任取2件的基本情况有：、、、、、，共6种；
对于A，两件都是一等品的基本情况有，共1种，故两件都是一等品的概率，故A错误；
对于B，两件中有1件是次品的基本情况有、、，共3种，故两件中有1件是次品的概率，故B正确；
对于C，两件都是正品的基本情况有、、，共3种，故两件都是正品的概率，故C错误；
对于D，两件中至少有1件是一等品的基本情况有、、、、，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率，故D正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查了列举法解决古典概型概率问题，考查了运算求解能力，列出基本情况是解题关键，属于中档题.
9．
【分析】先列出所有可能的情况，再求出符合条件的情况，再用古典概型的公式求解即可
【详解】记小华 小明 小李 小章分别为：1、2、3、4，
数组对应A,B,C,D的顺序，
由题意可知总的分配情况有：
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
共种，
其中符合条件的情况有：，，，，
共种，故所求概率.
故答案为：
10．②④
【解析】根据题意，结合古典概型的概率计算公式，逐项进行判定，即可求解.
【详解】设申请法学院的男生人数为，女生人数为，则，
法学院的录取率为，
设申请商学院的男生人数为，女生人数为，则，
商学院的录取率为，
由，
该值的正负不确定，所以①错误，④正确；
这两个学院所有男生的录取率为，
这两个学院所有女生的录取率为，
因为，
所以②正确；③错误.
故答案为：②④.
【点睛】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，其中解答中正确理解题意，结合古典概型的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查数学阅读能力，属于基础题.
11．##
【分析】设齐王有上、中、下三等的三匹马、、，田忌有上、中、下三等的三匹马、、，列举出所有比赛的情况，以及齐王第一场比赛会派出上等马的比赛情况和田忌使自己获胜时比赛的情况，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】设齐王有上、中、下三等的三匹马、、，田忌有上、中、下三等的三匹马、、，
所有比赛的方式有：、、；、、；、、；、、；、、；、、，一共种.
若齐王第一场比赛派上等马，则第一场比赛田忌必输，此时他应先派下等马参加.
就会出现两种比赛方式：、、和、、，其中田忌能获胜的为、、，
故此时田忌获胜的概率最大为.
故答案为：.
12．
【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.
【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.
故答案为：；.
【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.
13．（1）2人；（2）；（3）选择方案二更优惠
【解析】（1）根据频率分布直方图可知水果达人共25人，抽取5人，抽样比为，根据频率分布直方图消费金额不低于100元的人数为10人，即可计算抽取人数（2）抽取的5人中消费金额低于100元的有3人，记为，消费金额不低于100元的有2人，记为，根据古典概型求解即可（3）分别计算两个方案，比较大小即可求解.
【详解】（1）样本中“水果达人”的频率为，所以样本中“水果达人”人数为．
由图可知，消费金额在与的人数比为3:2，所以消费金额不低于100元的人数为，所以，抽取的这5人中消费金额不低于100元的人数为2人.
（2）抽取的5人中消费金额低于100元的有3人，记为，消费金额不低于100元的有2人，记为，所有可能结果有，，，共10个样本点，其中满足题意的有7个样本点，所以所求概率为．
（3）方案一：需支付元．
方案二：需支付元．
所以选择方案二更优惠.
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，分层抽样，古典概型，属于中档题.
14．(1)
(2)
【分析】（1）根据独立事件的概率公式计算；
（2）结合互斥事件、独立事件的概率公式计算．
(1)
设事件“甲学校回答正确这道题”，事件“乙学校回答正确这道题”，事件“丙学校回答正确这道题” ，
则，，，
∵各学校回答这道题是否正确是互不影响的.
∴事件A，B，C相互独立.
∴，
∴ ；
(2)
设事件“甲、乙、丙三所学校中不少于2所学校回答正确这道题”且两两互斥，
；
由于事件A，B，C相互独立.
所以
，
，
，
15．(1)27人；
(2)；
(3)B员工.
【分析】（1）根据频率分布直方图求出a即可列式计算作答.
（2）由频率分布表得评分在、内的人数，再利用列举法结合古典概率公式计算作答.
（3）根据频率分布直方图及频率分布表求出二位员工评分的中位数即可判断作答.
(1)
由A员工评分的频率分布直方图得：，
所以对A员工的评分不低于80分的人数为：（人）.
(2)
对B员工的评分在内有5人，将评分在内的2人记为C，D，评分在内的3人记为E，F，G，
从5 人中任选2人的情况有：CD，CE，CF，CG，DE，DF，DG，EF，EG，FG，共10种，它们等可能，
2人评分均在范围内的有：EF，EG，FG，共3种，
所以2人评分均在范围内的概率.
(3)
由A员工评分的频率分布直方图得：，，
则A员工评分的中位数，有，解得，
由B员工的频数分布表得：，，
则B员工评分的中位数，有，解得，
所以评审团将推荐B员工作为后备干部人选.
16．（1）；（2）分布列见解析，，.
【解析】（1）甲、乙两人所付费用相同即为、、，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（2）确定随机变量的可能取值，求出相应的概率，即可得出随机变量的分布列，然后利用数学期望公式和方差公式求出和.
【详解】（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为、、元，
两人都付元的概率为，两人都付元的概率为，
两人都付元的概率为.
则两人所付费用相同的概率为；
（2）设甲、乙所付费用之和为，可能取值为、、、、，
则，，
，，
.
所以，随机变量的分布列为
.
.
【点睛】本题考查概率的计算，考查离散型随机变量分布列和数学期望以及方差的计算，考查运算求解能力，属于中等题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
1．如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（ ）
A． B．
C． D．
2．先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b，4能够构成等腰三角形的概率是( )
A． B． C． D．
3．已知一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，那么下列事件概率错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想.世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对.其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”.在不超过的素数中，任选两个不同的素数 ()，令事件为孪生素数}，为表兄弟素数}，，记事件 发生的概率分别为 ，则下列关系式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
二、多选题
7．某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（ ）
A．甲同学仅随机选一个选项，能得3分的概率是
B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是
C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是
D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是
8．在4件产品中，有一等品2件，二等品1件（一等品与二等品都是正品），次品1件，现从中任取2件，则下列说法正确的是（ ）
A．两件都是一等品的概率是
B．两件中有1件是次品的概率是
C．两件都是正品的概率是
D．两件中至少有1件是一等品的概率是
三、填空题
9．小华 小明 小李 小章去，，，四个工厂参加社会实践，要求每个工厂恰有人去实习，则小华去工厂，且小李没去工厂的概率是___________.
10．辛普森悖论(Simpson’sParadox)有人译为辛普森诡论，在统计学中亦有人称为“逆论”，甚至有人视之为“魔术”.辛普森悖论为英国统计学家E.H.辛普森(E.H.Simpson)于1951年提出的，辛普森悖论的内容大意是“在某个条件下的两组数据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论.”下面这个案例可以让我们感受到这个悖论：关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情况，现有如下数据：
某高校 申请人数 性别 录取率
法学院 200人 男 50%
女 70%
商学院 300人 男 60%
女 90%
对于此次招生，给出下列四个结论：
①法学院的录取率小于商学院的录取率；
②这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率；
③这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率；
④法学院的录取率不一定小于这两个学院所有学生的录取率.
其中，所有正确结论的序号是___________.
11．“田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代齐国，马匹按奔跑的速度分为上、中、下三等.一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马，每匹马都各赛一局，采取三局两胜制.已知田忌每个等次的马，比齐王同等次的马慢，但比齐王较低等次的马快.若田忌事先打探到齐王第一场比赛会派出上等马，田忌为使自己获胜的概率最大，采取了相应的策略，则其获胜的概率最大为_________.
12．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
四、解答题
13．某地举办水果观光采摘节，并推出配套旅游项目，统计了4月份100名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）若将消费金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；
（2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加配套旅游项目，请列出所有的可能结果，并求这2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率；
（3）为吸引顾客，该地特推出两种促销方案，
方案一：每满80元可立减8元；
方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折．
若水果的价格为11元／千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案.
14．今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比实中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.
(1)求乙、丙两所学校各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三所学校中不少于2所学校回答正确这道题的概率.
15．某企业从领导干部 员工中按比例随机抽取50人组成一个评审团，对A B两个员工作为后备干部的竞聘演讲及个人技术能力展示进行评分，满分均为100分，整理评分数据，将分数以10为组距分为5组：，，，，，得到A员工的频率分布直方图和B员工的频数分布表：
(1)在评审团的50人中，求对A员工的评分不低于80分的人数；
(2)从对B员工的评分在范围内的人中随机选出2人，求2人评分均在范围内的概率；
(3)该企业决定：若评审团给员工评分的中位数大于82分，则推荐这名员工作为后备干部人选，请问评审团将推荐哪一位员工作为后备干部人选？
16．为迎接年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为元（不足1小时的部分按小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过小时离开的概率分别为、；小时以上且不超过小时离开的概率分别为、；两人滑雪时间都不会超过小时.
（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望，方差.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】要使系统正常工作，则A、B要都正常或者C正常，D必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.
【详解】记零件或系统能正常工作的概率为，
该系统正常工作的概率为:
,
故选：C.
2．D
【分析】利用乘法原理求出基本事件总数，然后按照分类讨论的方法求出a，b，4能够构成等腰三角形的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】由乘法原理可知，基本事件的总数是36，
结合已知条件可知，
当时，符合要求，有1种情况；
当时，符合要求，有1种情况；
当时，符合要求，有2种情况；
当时，符合要求，有6种情况；
当时，符合要求，有2种情况；
当时，符合要求，有2种情况，
所以能构成等腰三角形的共有14种情况，
故a，b，4能够构成等腰三角形的概率.
故选：D.
3．D
【分析】运用古典概型概率计算公式分别计算出相应事件的概率即可作出判断.
【详解】对于选项A：，所以，故A正确；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：，所以，故C正确；
对于选项D：，所以，故D错误.
故选：D.
4．D
【解析】根据素数的定义，一一列举出不超过的所有素数，共10个，根据组合运算，得出随机选取两个不同的素数、()，有(种)选法，从而可列举出事件、、的所有基本事件，最后根据古典概率分别求出和，从而可得出结果.
【详解】解：不超过的素数有、、、、、、、、、，共10个，
随机选取两个不同的素数、()，有(种)选法，
事件发生的样本点为、、、共4个，
事件发生的样本点为、、、共4个，
事件发生的样本点为、、、、、
、、、、，共个，
∴，，
故.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查与素数相关的新定义，考查古典概型的实际应用和利用列举法求古典概型，考查组合数的计算，解题的关键在于理解素数的定义，以及对题目新定义的理解，考查知识运用能力.
5．D
【分析】把汽车在三处遇两次绿灯的事件M分拆成三个互斥事件的和，再利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式计算得解.
【详解】汽车在甲、乙、丙三处遇绿灯的事件分别记为A，B，C，则，
汽车在三处遇两次绿灯的事件M，则，且，，互斥，而事件A，B，C相互独立，
则，
所以汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为.
故选：D
6．A
【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.
【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，
则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；
新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；
新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；
新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；
故选A.
点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.
7．ABC
【解析】对各项中的随机事件，计算出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，再计算出相应的概率后可得正确的选项.
【详解】甲同学仅随机选一个选项，共有4个基本事件，分别为，
随机事件“若能得3分”中有基本事件，故“能得3分”的概率为，故A正确.
乙同学仅随机选两个选项，共有6个基本事件，
分别为：，
随机事件“能得5分”中有基本事件，故“能得5分”的概率为，故B正确.
丙同学随机选择选项（丙至少选择一项），
由A、B中的分析可知共有基本事件种，分别为：
选择一项：；
选择两项：；
选择三项或全选：，，
随机事件“能得分”中有基本事件，
故“能得分”的概率为，故C正确.
丁同学随机至少选择两个选项，有C的分析可知：共有基本事件11个，
随机事件“能得分”中有基本事件，故“能得分”的概率为，
故D错.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）.
8．BD
【分析】由题意给产品编号，列出所有基本情况，逐项列出满足要求的情况，由古典概型概率公式逐项判断即可得解.
【详解】由题意设一等品编号为、，二等品编号为，次品编号为，
从中任取2件的基本情况有：、、、、、，共6种；
对于A，两件都是一等品的基本情况有，共1种，故两件都是一等品的概率，故A错误；
对于B，两件中有1件是次品的基本情况有、、，共3种，故两件中有1件是次品的概率，故B正确；
对于C，两件都是正品的基本情况有、、，共3种，故两件都是正品的概率，故C错误；
对于D，两件中至少有1件是一等品的基本情况有、、、、，共5种，故两件中至少有1件是一等品的概率，故D正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查了列举法解决古典概型概率问题，考查了运算求解能力，列出基本情况是解题关键，属于中档题.
9．
【分析】先列出所有可能的情况，再求出符合条件的情况，再用古典概型的公式求解即可
【详解】记小华 小明 小李 小章分别为：1、2、3、4，
数组对应A,B,C,D的顺序，
由题意可知总的分配情况有：
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
共种，
其中符合条件的情况有：，，，，
共种，故所求概率.
故答案为：
10．②④
【解析】根据题意，结合古典概型的概率计算公式，逐项进行判定，即可求解.
【详解】设申请法学院的男生人数为，女生人数为，则，
法学院的录取率为，
设申请商学院的男生人数为，女生人数为，则，
商学院的录取率为，
由，
该值的正负不确定，所以①错误，④正确；
这两个学院所有男生的录取率为，
这两个学院所有女生的录取率为，
因为，
所以②正确；③错误.
故答案为：②④.
【点睛】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，其中解答中正确理解题意，结合古典概型的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查数学阅读能力，属于基础题.
11．##
【分析】设齐王有上、中、下三等的三匹马、、，田忌有上、中、下三等的三匹马、、，列举出所有比赛的情况，以及齐王第一场比赛会派出上等马的比赛情况和田忌使自己获胜时比赛的情况，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】设齐王有上、中、下三等的三匹马、、，田忌有上、中、下三等的三匹马、、，
所有比赛的方式有：、、；、、；、、；、、；、、；、、，一共种.
若齐王第一场比赛派上等马，则第一场比赛田忌必输，此时他应先派下等马参加.
就会出现两种比赛方式：、、和、、，其中田忌能获胜的为、、，
故此时田忌获胜的概率最大为.
故答案为：.
12．
【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.
【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，
且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.
故答案为：；.
【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.
13．（1）2人；（2）；（3）选择方案二更优惠
【解析】（1）根据频率分布直方图可知水果达人共25人，抽取5人，抽样比为，根据频率分布直方图消费金额不低于100元的人数为10人，即可计算抽取人数（2）抽取的5人中消费金额低于100元的有3人，记为，消费金额不低于100元的有2人，记为，根据古典概型求解即可（3）分别计算两个方案，比较大小即可求解.
【详解】（1）样本中“水果达人”的频率为，所以样本中“水果达人”人数为．
由图可知，消费金额在与的人数比为3:2，所以消费金额不低于100元的人数为，所以，抽取的这5人中消费金额不低于100元的人数为2人.
（2）抽取的5人中消费金额低于100元的有3人，记为，消费金额不低于100元的有2人，记为，所有可能结果有，，，共10个样本点，其中满足题意的有7个样本点，所以所求概率为．
（3）方案一：需支付元．
方案二：需支付元．
所以选择方案二更优惠.
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，分层抽样，古典概型，属于中档题.
14．(1)
(2)
【分析】（1）根据独立事件的概率公式计算；
（2）结合互斥事件、独立事件的概率公式计算．
(1)
设事件“甲学校回答正确这道题”，事件“乙学校回答正确这道题”，事件“丙学校回答正确这道题” ，
则，，，
∵各学校回答这道题是否正确是互不影响的.
∴事件A，B，C相互独立.
∴，
∴ ；
(2)
设事件“甲、乙、丙三所学校中不少于2所学校回答正确这道题”且两两互斥，
；
由于事件A，B，C相互独立.
所以
，
，
，
15．(1)27人；
(2)；
(3)B员工.
【分析】（1）根据频率分布直方图求出a即可列式计算作答.
（2）由频率分布表得评分在、内的人数，再利用列举法结合古典概率公式计算作答.
（3）根据频率分布直方图及频率分布表求出二位员工评分的中位数即可判断作答.
(1)
由A员工评分的频率分布直方图得：，
所以对A员工的评分不低于80分的人数为：（人）.
(2)
对B员工的评分在内有5人，将评分在内的2人记为C，D，评分在内的3人记为E，F，G，
从5 人中任选2人的情况有：CD，CE，CF，CG，DE，DF，DG，EF，EG，FG，共10种，它们等可能，
2人评分均在范围内的有：EF，EG，FG，共3种，
所以2人评分均在范围内的概率.
(3)
由A员工评分的频率分布直方图得：，，
则A员工评分的中位数，有，解得，
由B员工的频数分布表得：，，
则B员工评分的中位数，有，解得，
所以评审团将推荐B员工作为后备干部人选.
16．（1）；（2）分布列见解析，，.
【解析】（1）甲、乙两人所付费用相同即为、、，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（2）确定随机变量的可能取值，求出相应的概率，即可得出随机变量的分布列，然后利用数学期望公式和方差公式求出和.
【详解】（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为、、元，
两人都付元的概率为，两人都付元的概率为，
两人都付元的概率为.
则两人所付费用相同的概率为；
（2）设甲、乙所付费用之和为，可能取值为、、、、，
则，，
，，
.
所以，随机变量的分布列为
.
.
【点睛】本题考查概率的计算，考查离散型随机变量分布列和数学期望以及方差的计算，考查运算求解能力，属于中等题.
答案第1页，共2页
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