高中数学人教B版（2019）必修第二册节节通关练——4.3指数函数与对数函数的关系C（含解析）

一、单选题
1．若集合，实数a满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间(单位：天)的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出=3.07，=6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(参考数据：ln2≈0.69)（ ）
A．1.5天 B．2天 C．2.5天 D．3.5天
3．如果函数的反函数是增函数，那么函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知正实数满足，，则
A． B． C． D．
6．设，，则
A． B．
C． D．
二、多选题
7．下列结论中正确的是（ ）
A．已知函数的定义域为，且在任何区间内的平均变化率均比在同一区间内的平均变化率小，则函数在上是减函数；
B．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，10，11，12，，18，20，且总体的平均数为10，则这组数的75%分位数为13；
C．方程的解集为；
D．一次函数一定存在反函数．
8．（多选）若，则
A． B． C． D．
三、填空题
9．方程的解集为________
10．已知函数（）的图像经过点，函数的图像经过点，则____.
11．若函数的反函数为，则不等式的解集是__________.
12．函数的反函数是________.
四、解答题
13．医药公司针对某种疾病开发了一种新型药物，患者单次服用制定规格的该药物后，其体内的药物浓度随时间的变化情况（如图所示）：当时，与的函数关系式为（为常数）；当时，与的函数关系式为（为常数）.服药后，患者体内的药物浓度为，这种药物在患者体内的药物浓度不低于最低有效浓度，才有疗效；而超过最低中毒浓度，患者就会有危险.
（1）首次服药后，药物有疗效的时间是多长？
（2）首次服药1小时后，可否立即再次服用同种规格的这种药物
（参考数据：，）
14．已知.
（1）时，求方程的根；
（2）时，求不等式的解集.
15．已知函数是函数的反函数，函数的图像和函数的图像关于直线成轴对称图形，记．
(1)求的解析式及定义域；
(2)在函数的图像上是否存在两个不同的点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B的坐标；若不存在，请说明理由．
16．已知函数（且），
（1）讨论的奇偶性与单调性；
（2）求的反函数；
（3）若，解关于x的不等式．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据题意得，再根据元素与集合，集合与集合关系求解即可.
【详解】解：因为，所以，解得，
因为，
所以.所以，，均为错误表述.
故选：D
2．B
【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
3．C
【分析】由题意求得，再结合对数函数的图象与性质，合理排除，即可求解.
【详解】因为函数的反函数是增函数，可得函数为增函数，所以，
所以函数为减函数，可排除B、D；
又由当时，，排除A.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及指数函数与对数的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
4．A
【分析】先求出的定义域，然后利用奇函数的性质求出的值，从而得到的定义域，然后利用反函数的定义，即可求出的值域．
【详解】因为，
所以可得或，
所以的定义域为或，
因为是奇函数，定义域关于原点对称，所以，解得，
所以的定义域为，
因为函数图象与函数图象关于直线对称，
所以与互为反函数，
故的值域即为的定义域.
故选：.
5．B
【分析】在同一坐标系内，分别作出函数的图象，结合图象，即可求解．
【详解】由题意，在同一坐标系内，分别作出函数的图象，
结合图象可得：，故选B．
【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的图象与性质的应用，其中解中熟记指数函数、对数函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．
6．B
【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．
详解：.
,即
又
即
故选B.
点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．
7．AD
【解析】A选项可利用任何区间内平均变化率的大小判断增减性；B选项根据平均数计算a,可判断75%分位数；C选项要注意真数大于0；D选项一次函数是单调函数，即可判断反函数存在.
【详解】A中，由题意知在任何区间内的平均变化率都小于0，从而函数在上是减函数正确；B中，由2，3，3，7，10，11，12，，18，20的平均数为10，可求得，根据75%分位数概念计算可知，故不正确，C中，时，无意义，显然错误；D中，一次函数具有单调性，反解可以构成函数，故存在反函数，正确.
故选：AD
【点睛】本题主要考查了平均变化率，75%分位数，对数方程，反函数的概念，属于中档题.
8．AD
【分析】根据对数函数的性质和指数函数的性质分析．
【详解】因为在上递增，且，所以，故A正确；因为在上递增，且，所以，故B错；取，，知，故C错；由指数函数的性质可知D正确．故选AD．
【点睛】本题考查对数函数和指数函数的单调性，掌握这两个函数的单调性是解题基础．
9．##
【分析】利用对数运算法则以及指数运算法则求解即可.
【详解】由题意知，，即，
所以，有，
即，解得或，
当时，有，得或(舍去)，
解得；
当时，有，即，得或(舍去)
解得，
所以方程的解集为：
故答案为：##
10．，．
【分析】函数的图象经过点，则．的图象经过点，试求函数．根据两个方程，求出参数、．再根据求反函数的方法，求出反函数即可．
【详解】解：函数的图象经过点，
，．
又函数的图象经过点，
．
，
即．
．
故．
再求其反函数即得，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查反函数的一个重要性质，若则，要灵活使用该性质．在求出反函数后，必须标明反函数的定义域，属于中档题．
11．
【分析】先由反函数的定义求出，再解不等式求出解集即可.
【详解】令，由可得，则，则，
则解得，故解集为.
故答案为：.
12．，
【分析】由为指数类函数,故两边取对数进行化简.
【详解】对两边取以10为的对数有,故,又故,又所以,故,.
故答案为，.
【点睛】求的反函数,反解得出,再根据定义域与值域写出即可.
13．（1）小时；（2）见解析
【分析】（1）当时，，函数图像过点，求出，进而求出t=1时，所以当时，，函数图像过点，求出m,解指数不等式求出t的范围即可；（2）设再次服用同等规格的药物小时后的药物浓度为，当时，，根据单调性，解得x=1即得解.
【详解】（1）当时，，函数图像过点，
所以，得
所以当时，
当时，，函数图像过点
所以，所以
由，得，所以
则药物有疗效时间为小时.
（2）设再次服用同等规格的药物小时后的药物浓度为
当时，
因为函数在内单调递增，
所以当时，
当时，
因为，所以首次服药后1小时，可以立即再次服用同等规格的药物.
【点睛】本题考查了函数在实际生活中的应用，给出函数模型进行求解，中间涉及指数方程和指数不等式解法，利用函数单调性是关键，属于中档题.
14．（1）；（2）.
【分析】（1）把作为一个整体（相当于一个未知数）解方程可得；
（2）整理不等式，结合指数函数性质得出结论.
【详解】（1）方程为，即，又，所以，；
（2）由题意不等式为，化简得，
，而，所以，，.
所以，原不等式解集为．
15．(1)，
(2)不存在，因为是单调递减函数
【分析】（1）利用求反函数的方法求出即得解；
（2）判断函数的单调性即得解.
(1)
解：由得，
因为函数是定义域上的减函数，所以，
所以，，
因为，所以
所以，,
所以，.
(2)
解：,.
所以函数是定义域上的减函数.
又是定义域上的减函数，
所以是定义域上的单调递减函数（减+减=减），
所以满足条件的点A、B不存在.
16．(1)奇函数，当时，单调递增，当时，单调递减；(2)；(3)见解析.
【分析】(1)根据函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性；再根据函数单调性的定义并对底数分类讨论，可判断出在上的单调性；
(2)根据反函数的求法直接求解即可；
(3)根据可求出的值，进而可求出的值域，然后对分类讨论即可求出不等式的解集.
【详解】(1)由，解得，所以函数的定义域为，关于原点对称.
因为，
所以函数是奇函数.
对任意的，且，则
，
因为，
所以，所以，
①当时，，所以，即，
此时函数是上的单调减函数；
②当时，，所以所以，即，
此时函数是上的单调增函数.
(2)令，
所以，
所以，所以.
(3)因为，即，解得，
所以，所以，
所以当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定，反函数的求法，同时考查含参不等式的解法，属于中档题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页