高中数学人教B版（2019）必修第二册节节通关练——4.5增长速度的比较（含解析）

一、单选题
1．如图，阴影部分的面积S是h(0≤h≤H)的函数，则该函数的图像是图中的(　　)
A． B． C． D．
2．春天，池塘中小荷尖角渐露，已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶30天可以完全覆盖池塘水面，当荷叶覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了(　　)
A．15天 B．20天
C．29天 D．30天
3．某人骑自行车沿直线匀速行驶，先前进了，休息了一段时间，又沿原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图是（ ）．
A． B． C． D．
4．函数，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率为（ ）
A．2.1 B．1.1 C．2 D．1
5．若函数，，在上的平均变化率分别记为，则下面结论正确的是
A． B．
C． D．
6．对于以下四个函数：①；②；③；④．在区间上函数的平均变化率最大的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二、多选题
7．下图是某厂实施“节能减碳”措施前后，总产量y与时间x（月）的函数图象，则该厂（ ）
A．前3个月的月产量逐月增加 B．第5月的月产量比第4个月少
C．第6月的月产量与第5个月持平 D．第3个月结束后开始减产，直至停产
8．如图所示为某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象，假设其函数关系为指数函数，现给出下列说法，其中正确的说法有（ ）
A．野生水葫芦的面积每月增长率为1
B．野生水葫芦从蔓延到历时超过1.5个月
C．设野生水葫芦蔓延到，，所需的时间分别为，，，则有
D．野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2个月到第4个月之间曼延的平均速度
三、解答题
9．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：
方案一：每年植树1万平方米；
方案二：每年树木面积比上一年增加9%.
哪个方案较好？
10．已知函数，判断与的相对大小，并求出使得成立的的取值范围.
11．求出函数在，2，3附近的平均变化率，若都为，则在哪一点均变化率最大？
12．已知函数.
（1）求在区间与上的平均变化率；
（2）记，判断直线AB与直线BC斜率的相对大小.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【详解】由题可知，是，是减函数，故A、B错；
由图形阴影面积的变化趋势来看，函数减小的趋势是变慢的，故选C．
点睛：观察函数的单调性和变化趋势来解决问题，本题观察阴影部分的变化情况，首先可知是减函数，再根据等长递减观察，可知递减的趋势是由快变慢的，故得到图象为C选项．
2．C
【分析】利用指数函数可求荷叶已生长的时间.
【详解】设第一天荷叶覆盖水面的面积为，则天后荷叶覆盖水面的面积，
故池塘水面面积为， 设t 天后荷叶覆盖水面一半，
则，故，
故当荷叶覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了29天，
故选：C.
3．C
【分析】根据图象，匀速行驶一段后，休息一段时间路程无变化，应排除A，又原路返回一段，排除D，继续前进，因为是匀速所以选C.
【详解】因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A；又按原路返回，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D；C选项虽然离出发点近了，但时间没有增长，应排除B故选C．
【点睛】本题主要考查了函数图象的识图，辨析及实际问题的意义，属于中档题.
4．A
【分析】根据函数平均变化率的求法即可得到答案.
【详解】由题意，函数的平均变化率为：.
故选：A.
5．A
【详解】函数在的平均变化率为：；
函数在的平均变化率为：；
函数在的平均变化率为：；
∴
故选A.
6．C
【分析】分析求出四个函数的平均变化率，然后比较即可.
【详解】①，②，③，④．
故选：C．
7．ACD
【分析】根据图象的性质可得正确的选项.
【详解】前三个月，图象缓慢上升，且函数值增加越来越大，故前3个月的月产量逐月增加，A正确.
从3月开始到5月，图象缓慢上升，但函数值增加的幅度变小，
且第6月的月产量与第5个月持平，故CD正确，B错误.
故选：ACD
8．ABC
【分析】根据已知条件可得指数函数为，再结合指对数的关系，以及平均速度的公式，判断各选项的正误.
【详解】由题意得，所求函数为指数函数且过点，可得函数，
A：设第个月的野生水葫芦面积为，则第个月的野生水葫芦面积为，
∴野生水葫芦的面积每月增长率，故正确，
B：设野生水葫芦从蔓延到历时超过个月，
∴，解得，故正确，
C：野生水葫芦蔓延到，，所需的时间分别为，，，
，，
，故正确，
D：野生水葫芦在第1个月到第3个月之间蔓延的平均速度为，
野生水葫芦在第2个月到第4个月之间曼延的平均速度为，故错误.
故选：ABC.
9．方案二较好.
【详解】试题分析：最优方案问题，需要将两种方案的函数模型都求解出来，再进行比较，得到最优方案．本题中，方案一的函数模型为，方案二的函数模型为，根据题意，将代入，进行比较即可．
试题解析：
方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)．
方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)，
因为15.386>15，所以方案二较好．
10．，.
【分析】分别求出，比较大小；成立，化为，成立，解不等式，即可得出结论.
【详解】因为，
所以.
所以
而，
.
使，
即成立的的取值范围为，即.
故答案为：①；②.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关比较函数值的大小以及增长速度的比较问题，关键点是求得自变量所对应的函数值，利用数值比较大小，根据大小关系构造不等式求解即可.
11．在附近的平均变化率最大
【分析】根据平均变化率的定义计算．
【详解】在附近的平均变化率；在附近的平均变化率；在附近的平均变化率．
若，则，，．
，
在附近的平均变化率最大．
【点睛】本题考查平均变化率的概念，即对函数，其在处的平均变化率为．
12．（1）；（2）.
【解析】（1）在区间上的平均变化率为，同理在区间上的平均变化率为，
（2）用斜率公式可求，并比较大小.
【详解】（1）在区间上的平均变化率为：
.
在区间上的平均变化率为：
（2）
【点睛】本题考查函数在区间上的平均变化率，以及区间两端点连线的斜率，属于基础题.
答案第1页，共2页
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