高中数学人教B版（2019）必修第二册节节通关练——4.3指数函数与对数函数的关系B（含解析）

一、单选题
1．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xlnx＝1的解，则x1x2等于（ ）
A．1 B．－1
C．e D．
2．若函数是函数（，且）的反函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．若是方程的解，是方程的解，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．若方程有解，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
5．已知函数的反函数是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．方程的根的情况是（ ）
A．仅有一个正根 B．有两个正根 C．有两个负根 D．有一个正根和一个负根
二、多选题
7．下列说法正确的是（ ）
A．是函数为奇函数的充要条件
B．设函数的反函数为，则
C．若函数是奇函数，当时，则当时
D．若函数是偶函数，且在上单调递增，则
8．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．函数在上为增函数 D．函数有两个零点
三、填空题
9．若函数，则___________．
10．已知函数的反函数就是本身，则a的值为___________.
11．设函数（其中为常数）的反函数为，若函数的图像经过点，则方程的解为____．
12．若函数的图像经过点，则函数的反函数的图像必经过点___________.
四、解答题
13．判断下列各对函数是否互为反函数,若是,则求出它们的定义域和值域:
(1);
(2).
14．已知函数是函数的反函数．
(1)求函数的表达式，写出定义域D；
(2)判断函数的单调性，并加以证明．
15．设函数为常数且.
（1）若求的解析式.
（2）在（1）的条件下，解方程：
16．已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围.
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案：
1．A
【分析】先转化为：x1，x2是函数y＝ex、函数y＝lnx与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，再根据函数y＝ex、函数y＝lnx关于y＝x对称，确定x1x2的值.
【详解】考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝lnx与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，
因为函数y＝ex、函数y＝lnx关于y＝x对称，
所以A，B两点关于y＝x对称，
因此，即x1x2＝1.
故选：A
【点睛】本题考查对数函数与指数函数图象关系、考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属基础题.
2．B
【分析】化指数式为对数式，求出函数的反函数，然后由求出的值，则的解析式可求．
【详解】解：由，得：，
函数的反函数是，
由，得：，即．
所以．
故选：．
3．A
【分析】先由题意，分别得到是函数与交点的横坐标；是函数与交点的横坐标；根据反函数的对称性，以及函数的对称性，可得，两点关于直线对称，进而可得出结果.
【详解】因为是方程的解，所以是函数与交点的横坐标；
又是方程的解，所以是函数与交点的横坐标；
因为函数与互为反函数，所以函数与图像关于直线对称，
又的图像关于直线对称，
因此，，两点关于直线对称，所以有，
因此.
故选：A
【点睛】本题主要考查反函数的应用，熟记反函数的性质即可，属于常考题型.
4．B
【分析】由方程有解，得有解，由基本不等式可知，从而可求出的最小值
【详解】若方程有解，则有解，
即有解．
∵，
当且仅当，
即时，等号成立，
∴的最小值为1，
故选：B．
【点睛】此题考查对数方程，考查基本不等式，考查对数与指数的互化，考查转化思想，属于中档题
5．D
【分析】由已知函数解析式求得，再把与互换可得原函数的反函数，取得答案．
【详解】解：由，得，
原函数的反函数为，
则．
故选：D．
6．D
【分析】将方程的根的情况转化为函数，图像交点的问题，画出两函数的图像可得答案
【详解】解：方程的根的情况等价于函数，图像交点的问题，
函数，图像如图所示
由图可知两函数图像有2个交点，其中一个交点的横坐标为负，一个交点的横坐标为正，所以方程的根的情况是有一个正根和一个负根，
故选：D
7．BD
【分析】利用特殊值排除AC，根据反函数确定B选项的正确性，根据函数的奇偶性和单调性确定D选项的正确性.
【详解】A，满足，但不是奇函数，所以A选项错误.
B，函数的反函数为，，所以B选项正确.
C，，所以C选项错误.
D，函数是偶函数，且在上单调递增，所以在上递减，所以，D选项正确.
故选：BD
8．AD
【分析】结合基本初等函数图像即可
【详解】做出函数简图如下
对于A选项：根据函数解析式可知，A选项显然正确
对于B选项：结合图像易知，当时，，故B选项错误
对于C选项：由图像易知，C选项显然错误
对于D选项：因为，，所以D选项正确.
故选：AD
9．
【分析】根据，由反函数的定义，令求解.
【详解】因为，
令，
所以，
解得.
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查反函数求值问题，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.
10．3
【分析】利用反函数的求法，直接求出原函数的反函数，对照相等，求出即可．
【详解】解：因为，所以，即
所以，因为，即，所以
故答案为：．
11．
【分析】求出原函数的反函数，代入已知点的坐标求得a，则方程f﹣1（x）＝2的解可求．
【详解】解：由y＝f（x），得x﹣a＝y2（y≥0），
∴函数f（x）的反函数f﹣1（x）＝x2+a（x≥0）．
把点（0，1）代入，可得a＝1．
∴f﹣1（x）＝x2+1（x≥0）．
由f﹣1（x）＝2，得x2+1＝2，即x＝1．
故答案为x＝1．
【点睛】本题考查函数的反函数的求法，关键是明确反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．
12．
【分析】利用平移得到函数经过，再根据反函数的性质得到图象经过点，得到答案.
【详解】函数的图象经过点，则函数经过
函数的反函数的图象必经过点
故答案为：
13．(1)互为反函数. 的定义域为,值域为R.的定义域为R,值域为.
(2)互为反函数.的定义域为,值域为R.的定义域为R,值域为.
【解析】根据反函数的求解方法判断分析即可.
【详解】(1)求的反函数有.故,且互为反函数.
的定义域为,值域为R.的定义域为R,值域为.
(2)求的反函数有.故互为反函数.
的定义域为,值域为R.的定义域为R,值域为.
【点睛】本题主要考查了指对数的反函数的求解与定义域值域的判定,属于基础题.
14．(1)；.
(2)单调递增；证明见解析；
【分析】（1）根据条件可得，即可得到答案；
（2）易得：在单调递增，利用函数单调性的定义，即可得到答案；
(1)
，
，，
，定义域为.
(2)
易得：在单调递增；
任取，且，
，
，，
在单调递增.
15．（1）；（2）
【分析】（1）根据题意代入方程，求出的值，从而求出解析式.
（2）先求出函数的反函数，然后解对数方程注意定义域优先原则，从而求出所求.
【详解】（1）由题设可得，
所以.
（2）由（1）可得
，
于是方程
，
解得（舍去），
所以方程的根为
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、反函数的求法、对数的运算，属于基础题.
16．（1）；（2）.
【分析】（1）根据对数的单调性可得，解不等式即可.
（2）将方程转化为有一个解，讨论值求解即可.
【详解】（1）由，得，解得或，
所以不等式的解集为.
（2），，
当时，，经检验，满足题意.
当时，，经检验，满足题意.
当且时，，，.
是原方程的解当且仅当，即；
是原方程的解当且仅当，即.
于是满足题意的.
综上，的取值范围为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页