高中数学人教B版（2019）必修第二册节节通关练——4.4幂函数C（含解析）

一、单选题
1．下列命题中正确的是（ ）
A．当时，函数的图像是一条直线；
B．幂函数的图像都经过和点；
C．幂函数的定义域为；
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限．
2．已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为( )
A． B．
C． D．
4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．，且
5．设，，则
A． B．
C． D．
6．已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．若幂函数过点，则
B．，
C．，
D．命题“，”的否定是“，”
8．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．幂函数为奇函数
C．的单调减区间为
D．函数的图象与y轴的交点至多有1个
三、填空题
9．已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是__________．
10．已知为幂函数，且满足，若，则实数的取值范围是_________.
11．幂函数为偶函数，且在上是减函数，则____．
12．给出下列四个结论：
①所有的幂函数都经过定点与；
②已知函数（且）在上是减函数，则的取值范围是；
③在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称；
④在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称.
其中正确结论的序号是______.
四、解答题
13．已知幂函数在上为减函数.
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出其单调区间.
14．已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值并写出的解析式；
（2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
15．已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
（3）若实数，（，）满足，求的最小值．
16．已知幂函数为奇函数．
(1)求的值；
(2)若，求代数式的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据幂函数的性质依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：对于A，时，函数的图像是一条直线除去点，故错误；
对于B，幂函数的图像都经过点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故B错误；
对于C，函数，故定义域为，故错误；
对于D，由幂函数的性质，幂函数的图像一定过第一象限，不可能出现在第四象限，故正确.
故选：D.
2．A
【分析】构造函数，容易判断为奇函数，且在R上单调递增，进而将原不等式转化为，最后根据单调性求得答案.
【详解】设，，则，即为奇函数，容易判断在R上单调递增（增+增），又可化为，，所以a >1－2a，∴ a >．
故选：A.
3．C
【分析】首先根据已知条件求出的解析式，再根据的单调性和奇偶性求解即可.
【详解】由题意可知，，解得，，
故，易知，为偶函数且在上单调递减，
又因为，
所以，解得，或.
故的取值范围为.
故选：C.
4．B
【分析】根据指对幂函数的单调性与奇偶性依次讨论个选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，，为偶函数，故错误；
对于B选项，，为奇函数，且函数均为减函数，故为减函数，故正确；
对于C选项，指数函数没有奇偶性，故错误；
对于D选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.
故选：B
5．B
【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．
详解：.
,即
又
即
故选B.
点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．
6．D
【分析】根据条件判断函数的单调性，然后利用单调性进行比较即可．
【详解】解：对任意，，均有成立，
此时函数在区间为减函数，
是偶函数，
当时，为增函数，
，，，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
即.
故选：D．
7．BD
【解析】根据幂函数的定义判断，结合图象判断，根据特称命题的否定为全称命题可判断.
【详解】解：对于：若幂函数过点，则解得，故错误；
对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示
由图可知，，故正确；
对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示
由图可知，当时，，当时，，当时，，故错误；
对于：根据特称命题的否定为全称命题可知，命题“，”的否定是“，”，故正确；
故选：
【点睛】本题考查指数函数对数函数的性质，幂函数的概念，含有一个量词的命题的否定，属于基础题.
8．ABD
【分析】由存在量词命题的否定的定义判断A；利用幂函数的定义及奇函数的概念判断B；由判断C；由函数的定义判断D.
【详解】对于A项，由存在量词命题的否定的定义可知，命题“，”的否定是“，”，A正确；
对于B项，由幂函数的概念有，则或，当时，为奇函数，当时，为奇函数，所以选项B正确；
对于C项，由可知，C错误；
对于D项，由函数的定义可知，若在定义域内，则有且只有一个与之对应，即函数的图象与轴的交点只有一个，若不在定义域内，则函数的图象与轴无交点，所以函数的图象与轴的交点至多有1个，D正确.
故选：ABD.
9．
【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据单调性、奇偶性可得，解一元二次不等式，求得的范围．
【详解】幂函数过点，，
，
幂函数，显然是奇函数，且在上单调递增．
若，则不等式即，
，，
故答案为：．
10．
【分析】由幂函数定义及，即可求出幂函数的解析式，进而由函数在定义域上单调递增且，即可求的范围
【详解】设，则有，解得
∴，且函数在上单调递增
∵
∴，解得
故答案为：
【点睛】本题考查了幂函数，由幂函数的定义及已知条件求出幂指数，进而得到解析式，再根据所得幂函数的单调性及已知不等关系求参数范围
11．3
【解析】由幂函数为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，可得m2-2m-3＜0，且m2-2m-3为偶数，m∈Z，且．解出即可．
【详解】∵幂函数为偶函数，且在上是减函数，
∴，且为偶数，，且.
解得，，1，2，
且,
只有时满足为偶数.
∴.
故答案为：3.
【点睛】本题考查幂函数的性质，根据幂函数性质求参数值，可根据幂函数性质列不等式和等式，求解即可，属于基础题.
12．③④
【分析】由幂函数的性质判断①，根据对数复合函数的区间单调性可得求参数范围判断②，由指对幂函数的对称性判断③、④.
【详解】①所有的幂函数都经过定点，但不一定过，错误；
②函数（且）在上是减函数，则，解得的取值范围是，错误；
③在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称，正确；
④在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称，正确.
故答案为：③④
13．(1)
(2)奇函数，其单调减区间为，
【分析】（1）根据幂函数的定义，令，求解即可；
（2）根据幂函数的性质判断函数的单调性，继而可得其单调区间.
（1）
由题意得，，解得或，
经检验当时，函数在区间上无意义，
所以，则.
（2）
，要使函数有意义，则，
即定义域为，其关于原点对称.
，
该幂函数为奇函数.
当时，根据幂函数的性质可知在上为减函数，
函数是奇函数，在上也为减函数，
故其单调减区间为，.
14．（1），；（2）存在，.
【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性，令幂的系数为1及指数为负，列出方程求出的值，将的值代入即可；
（2）求出的解析式，按照与的大小关系进行分类讨论，利用的单调性列出方程组，求解即可.
【详解】（1）（1）因为幂函数在上单调递减，
所以解得：或(舍去)，
所以；
（2）由（1）可得，，所以，
假设存在，使得在上的值域为，
①当时，，此时在上单调递减，不符合题意；
②当时，，显然不成立；
③当时，，在和上单调递增，
故，解得.
综上所述，存在使得在上的值域为.
15．（1）；（2）；（3）2．
【分析】（1）根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式；
（2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性去掉函数符号“”，然后求解；
（3）由基本不等式求得最小值．
【详解】解析：（1）．，
，
（）
即或
在上单调递增，为偶函数
即
（2）
，，，
∴
（3）由题可知，
，
当且仅当，即，时等号成立．
所以的最小值是2．
16．(1)
(2)5
【分析】（1）根据幂函数定义知，结合奇函数性质，求得m的值，从而求得函数值.
（2）根据函数单调性，等价于，求得a的范围，将代数式化为，利用基本不等关系求得最小值.
（1）
由题知，，解得或，
又函数为奇函数，则，，
（2）
由（1）知，函数单增，等价于，解得，
，当且仅当时，等号成立.
因此，代数式的最小值为5.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页