高中数学人教B版（2019）必修第二册节节通关练——4.3指数函数与对数函数的关系A（含解析）

一、单选题
1．设函数与的图象关于直线对称，其中，且.则，满足（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数为函数的反函数，且函数的图像经过点，则函数的图像一定经过点（ ）
A． B． C． D．
3．若，且，则的值是（ ）
A．18 B．24 C．21 D．27
4．函数的反函数为，则（ ）
A．9 B．18 C．32 D．36
5．已知，均为不等于1的正数，且满足，则函数与函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．若函数的反函数的图象经过点，则__________．
8．设函数的反函数为，若，则__________.
9．函数的反函数______．
10．函数过定点，则函数的反函数是________．
三、解答题
11．已知函数与的图象关于对称，求的解析式.
12．指出函数的图象与函数的图象之间的关系.
13．已知关于x的方程有实数解，求实数a的取值范围．
14．已知函数．
（1）求函数的解析式；
（2）求的值；
（3）解方程．
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参考答案：
1．C
【分析】由题意可知函数图象上任意一点关于对称点在函数的图象上，代入利用对数的运算性质即可求解.
【详解】解：设是函数图象上任意一点，
则它关于直线对称的点在函数的图象上，
所以，即，
故选：C.
【点睛】本题考查了互为反函数的性质，考查了基本知识的掌握情况以及基本运算能力，属于基础题.
2．B
【分析】先求出函数的图像必经过点，然后即可求出函数的图像一定经过点.
【详解】解：函数的图像经过点，则函数的图像经过点，
则函数的图像一定经过点，
故选：B.
【点睛】本题主要考查互为反函数的两个函数图像之间的关系，属于基础题
3．D
【分析】根据、得到关于的两个方程，解出的值即可得到答案.
【详解】解：，有，；
又，，；
联立方程，解得，，
故选：C.
4．A
【分析】根据反函数定义求解即可．
【详解】函数的反函数为，所以
故选：A
5．B
【分析】由可得与互为反函数，利用互为反函数的图像间的关系，观察选项即可得出结果．
【详解】解：，
，即，
，
与互为反函数，图象关于对称．
故选B．
【点睛】本题考查的知识点是反函数，正确理解互为反函数的函数图象关于对称，是解答的关键．
6．D
【分析】由题得根据即得解.
【详解】解：因为函数的图象与的图象关于直线对称，
所以
因为，所以.
故选：D
7．
【分析】由反函数所过点求得图象所过点，由此求得的值.
【详解】依题意函数的反函数的图象经过点，
所以的图象经过点，
所以
故答案为：
8．
【解析】由，可得，即可求解.
【详解】函数的反函数为，，
则.
故答案为:3.
【点睛】本题考查互为反函数图像的关系，属于基础题.
9．
【分析】利用指数式和对数式的互化及反函数的求法进行求解.
【详解】令，得：，
所以函数的反函数为.
故答案为：.
10．
【分析】根据函数解析式求出定点坐标，再结合反函数的概念即可得出结果.
【详解】因为，所以，得，此时，
所以定点的坐标为，所以n=4，所以，
所以的反函数为，
故答案为：
11．
【解析】由题意得与互为反函数，根据反函数的定义即可求出答案．
【详解】∵函数与的图像关于对称，
与互为反函数，
而，
．
【点睛】本题主要考查反函数的求法，同底的指数函数和对数函数互为反函数，属于基础题．
12．关于直线对称.
【解析】从反函数角度考虑，求其中一个函数的反函数，与另一个相同，则得结论．
【详解】解：由知.
的反函数为.
∴函数的图像与函数的图像关于直线对称.
【点睛】本题考查反函数概念，掌握反函数与原函数图象关于直线对称这个性质是解题基础．
13．或．
【分析】令，转化为一元二次方程有解即可.
【详解】令，原方程等价为有解，
则，解得或．
14．（1）；（2）1；（3）或.
【分析】（1）利用方程组法求解，把函数中的换成，得到一个式子，然后和已知的函数关系式联立方程组可求出的解析式；
（2）直接代值求解；
（3）由题意可得，化简可求得结果.
【详解】解：（1）函数的定义域为，
，①
上式中把换成，得，
即．②
将②代入①，得，
∴．
（2）．
（3）∵，
∴，可得，
解得或，
∴或．
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