高中数学人教B版（2019）必修第二册节节通关练——4.2对数与对数函数C（含解析）

一、单选题
1．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（ ）附：
A．10% B．20% C．50% D．100%
4．如图，直线与函数和的图象分别交于点，，若函数的图象上存在一点，使得为等边三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．
6．已知，记，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知函数，，，有，则实数a的可能取值是（ ）
A． B．1 C． D．3
8．设a，b，c都是正数，且，那么（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．已知函数，若，则________．
10．若函数是定义在上的奇函数，且当时，,则不等式的解集为_________.
11．已知函数满足：①；②；③在区间上单调递增.写出一个满足以上条件的函数___________.
12．已知函数，，若对于任意存在，使，则实数a的取值范围是_______．
四、解答题
13．已知函数，在区间上有最大值16，最小值.设．
（1）求的解析式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；
14．已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）设，若函数在区间上的最大值为-1，求实数m的取值范围．
15．设（，且），其图象经过点，又的图象与的图象关于直线对称．
（1）若，求的值；
（2）若在区间上的值域为，且，求c的值．
16．已知函数（且）．
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)若，求函数的值域．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
2．C
【分析】与分别先和比较，再与比较即可.
【详解】因为，，所以，
又，所以，则，则．故．
故选：C
3．B
【分析】根据题意，计算出的值即可；
【详解】当时，，当时，，
因为
所以将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了20%，
故选：B.
【点睛】本题考查对数的运算，考查运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用.
4．C
【分析】由题意得，，，根据等边三角形的性质求得点的横坐标，结合，两点的纵坐标和中点坐标公式列方程，解方程即可求得的值.
【详解】由題意，，.
设，因为是等边三角形，
所以点到直线的距离为，
所以，.
根据中点坐标公式可得
，
所以，解得.
故选：C
【点睛】本题以对数函数的图象为载体，通过设置平面图形，引导考生借助平面几何的知识求解函数问题，突出对理性思维 数学探索学科素养的考查，本题考查逻辑思维能力 运算求解能力.解题的关键在于由等边三角形得的横坐标，进而代入函数方程得纵坐标关系，再化简整理即可得求解.
5．A
【解析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.
【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,
.
故选A.
【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识 信息处理能力 阅读理解能力以及指数对数运算.
6．A
【分析】根据，利用指数函数和对数函数的单调性求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
故选：A
7．CD
【分析】将问题转化为当，时，，然后分别求出两函数的最小值，从而可求出a的取值范围，进而可得答案
【详解】，有等价于当，时，．
当时，令，则，因为在上为增函数，在定义域内为增函数，
所以函数在上单调递增，所以．
的图象开口向上且对称轴为，
∴当时，，
∴，解得．
故选：CD．
8．AD
【分析】利用与对数定义求出，，，再根据对数的运算性质可得，然后进行化简变形即可得到.
【详解】由于，，都是正数，故可设，
，，，则，，.
，，即，去分母整理得，.
故选AD.
【点睛】本题考查对数的定义及运算性质，属于基础题.
9．-7
【详解】分析：首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案.
详解：根据题意有，可得，所以，故答案是.
点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.
10．
【解析】根据时，的解析式，可判断的单调性，又，根据是定义在上的奇函数，可得，根据的单调性，即可得答案.
【详解】当时，为增函数，为减函数，
所以在上为增函数，又，
所以当时，，
当时，，
又函数是定义在上的奇函数，所以，且在上单调性与上单调性相同，也为增函数，
所以时，，
当时，，
又奇函数，
所以不等式的解集为，
故答案为：
【点睛】解题的关键是熟练掌握函数的单调性、奇偶性，对于奇函数，，左右两侧单调性相同，若在处有定义，则，灵活应用，即可得答案.
11．（答案不唯一）
【分析】根据题意得函数关于直线对称，进而根据基本初等函数构造满足条件的函数即可.
【详解】解：由得函数关于直线对称，故考虑对数型复合函数，
因为，所以
因为在区间上单调递增.
所以对数函数的底数为大于的数，
故函数可以为，此时满足三个条件.
故答案为：
12．
【分析】对于任意存在，使等价于，分别求出与即可解出答案.
【详解】对于任意，存在，使等价于在上的最小值大于等于在上的最小值，
当时，函数单调递增，可得，
∵图象的对称轴为，
∴当时，，
∴，
解得．
故答案为：.
13．（1）；（2）．
【分析】（1）由二次函数的性质知在上为减函数，在上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求，即可写出解析式；
（2）由题设得在上恒成立，即k只需小于等于右边函数式的最小值即可.
【详解】（1）∵()，即在上为减函数，在上为增函数．又在上有最大值16，最小值0，
∴，，解得，
∴；
（2）∵
∴，由，则，
∴，设，，
∴在上为减函数，当时，最小值为1，
∴，即.
【点睛】关键点点睛：
（1）根据二次函数的性质，结合区间最值列方程组求参数，写出函数解析式；
（2）将问题转化为在区间内，求参数范围.
14．（1）；（2）.
【解析】（1）先求函数，根据解析式，求函数的定义域；（2）首先化简函数，利用换元，利用双钩函数求的取值范围.
【详解】（1）由题意，，
，即该函数的定义域为；
（2）由题意，，，
设，
则，结合双钩函数，
当时，，；
因为函数在区间上的最大值为-1，所以只需，
即实数m的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：本题的第二问求得函数，再利用复合函数的单调性，可知函数在定义域包含函数的最小值点.
15．（1） ；（2） ．
【解析】（1）由图象经过点可得解析式，代入再做指数运算可得答案；
（2）根据已知求出，由单调性及定义域可得值域，再利用值域相等可得答案.
【详解】（1）因为（，且）的图象经过点，
所以，所以，所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以；
（2）因为的图象与的图象关于直线对称，所以，且为增函数，
所以在区间上的值域为，
因为，所以，所以，
所以．
【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的性质，关键点是求出指数函数的解析式，考查了学生对数指数的基本运算，属于基础题.
16．(1)奇函数，证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义判断并证明作答.
（2）利用指数函数的值域，对数函数定义及性质求解作答.
（1）
函数是奇函数，
依题意，，解得或，即的定义域为，
又，
所以函数是奇函数．
（2）
当a＝2时，，，显然，
则有，即，而在上递增，因此，
所以的值域是.
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