高中数学人教B版（2019）必修第二册节节通关练——4.4幂函数B（含解析）

一、单选题
1．有四个幂函数：①；②；③；④，某向学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：（1）为偶函数；（2）的值域为；（3）在上是增函数.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．幂函数在上单调递增，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
3．已知幂函数与的部分图像如图所示，直线，与，的图像分别交于A，B，C，D四点，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．有下列四个幂函数，某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：（1）是偶函数；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}；（3）在(－∞，0)上单调递增．如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则该同学研究的函数是（ ）
A． B． C． D．
5．下列函数中定义域为的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示是函数(且互质)的图象，则（ ）
A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，且
二、多选题
7．若，，则下列表达正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．对于函数的定义域中的任意，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．写出一个同时具有下列性质的函数___________.
①是奇函数；
②在上为单调递减函数；
③.
10．已知点在幂函数的图象上，则=_______．
11．已知幂函数的图象关于y轴对称，则___________．
12．已知幂函数的图象过点，则___________.
四、解答题
13．已知，，，试比较，，的大小．
14．已知幂函数为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）求函数的值域．
15．若点在幂函数的图像上，二次函数的最小值为1且满足，.
(1)求和的解析式；
(2)定义，求函数的定义域、值域和单调区间.
16．研究下列函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，并作出其大致图像．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】分析四个幂函数的奇偶性、值域以及在上的单调性，结合题意可得出合适的选项.
【详解】对于①，函数为偶函数，且，该函数的值域为，
函数在上为减函数，该函数在上为增函数，①满足条件；
对于②，函数为奇函数，且，该函数的值域为，
函数在上为减函数，②不满足条件；
对于③，函数的定义域为，且，该函数为奇函数，
当时，；当时，，则函数的值域为，
函数在上为增函数，该函数在上也为增函数，③不满足条件；
对于④，函数为奇函数，且函数的值域为，该函数在上为增函数，④不满足条件.
故选：A.
2．A
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，求得的值．
【详解】解：幂函数在上单调递增，
，且，解得或，
当时符合题意；
当时不符合题意；
故选：．
3．B
【分析】表示出，由幂函数的图象可得，从而得，，再由，代入化简计算，即可求解出答案.
【详解】由题意，，，根据图象可知，当时，，，因为，所以，因为，可得.
故选：B
4．B
【分析】函数性质，需要对选项分析满足两个性质，一个不满足.
【详解】对于A，是奇函数，值域是{y|y∈R，且y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，三个性质中有两个不正确；对于B，是偶函数，值域是{y|y∈R，且y>0}，在(－∞，0)上单调递增，三个性质中有两个正确，符合条件；判断C选项，奇函数，值域为R,在定义域下单调递增，不符合条件；D中的函数为奇函数，值域为R在定义域下单调递增，不符合条件．
故选：B.
5．D
【详解】对于A：函数，定义域为，不满足条件；
对于B：函数的定义域为，不满足条件；
对于C：，定义域为，不满足条件；
对于D：函数的定义域为R，满足条件；
故选：D
6．C
【分析】根据幂函数的性质及图象判断即可；
【详解】解：函数的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数，
在第一象限内，函数是凸函数，故，
故选：C.
7．AB
【分析】由对数函数和指数函数、幂函数的性质判断．
【详解】解：∵，∴函数在上单调递减，
又∵，
∴，
∴，
即，所以选项A正确，选项B正确，
∵幂函数在上单调递增，且，
∴，所以选项C错误，
∵指数函数在R上单调递减，且，
∴，所以选项D错误，
故选：AB．
8．BCD
【分析】利用反例可知A错误；根据根式的运算性质知B正确；由幂函数的单调性可知C正确；利用作差法可判断出D正确.
【详解】对于A，当，时，，，
此时，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，是定义域内的增函数，，C正确；
对于D，，，
，
，又，，
，D正确.
故选：BCD.
9．（答案不唯一，符合条件即可）
【分析】根据三个性质结合图象可写出一个符合条件的函数解析式．
【详解】是奇函数，指数函数与对数函数不具有奇偶性，幂函数具有奇偶性，
又在上为单调递减函数，同时，
故可选，且为奇数，
故答案为：
10．16
【分析】根据点在幂函数的图象上，求得函数的解析式即可.
【详解】解：因为点在幂函数的图象上，
所以，解得，
所以，则，
故答案为：16
11．4
【分析】根据幂函数的知识求得的可能取值，根据图象关于轴对称求得的值，进而即得.
【详解】由于是幂函数，所以，解得或.
当时，，图象关于轴对称，符合题意.
当时，，图象关于原点对称，不符合题意.
所以的值为，
∴. ，.
故答案为：4.
12．
【分析】由幂函数的解析式的形式可求出和的值，再将点 代入可求的值，即可求解.
【详解】因为是幂函数，
所以，，又的图象过点，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
13．
【分析】先分别将化为，，，函数的单调性可得答案.
【详解】，，
设函数，由函数在上单调递增.
又，所以
14．（1）；（2）．
【分析】（1）根据幂函数的定义可得，即可解得或5，根据为奇函数，即可确定m的值.
（2）由（1）可得，，令，，利用换元法，即可求得的值域，即可得答案.
【详解】（1）∵函数为幂函数，
，解得或5，
当时，，为奇函数，
当时，，为偶函数，
函数为奇函数，；
（2）由（1）可知，，则，，
令，则，，
则，，
函数为开口向下，对称轴为的抛物线，
当时，函数，
当，函数取得最大值为1，
的值域为，故函数的值域为．
【点睛】解题的关键是熟练掌握幂函数的定义，换元法求值域等知识，易错点为换元后，需写出t的范围，再根据t的范围，进行求值计算，属基础题.
15．(1)，
(2)；；，
【分析】（1）设函数，，由待定系数法求得，，，，从而可求出函数解析式，
（2）由（1）结合题意可得，画出函数的图象可求得函数值域和单调区间
(1)
设函数，，
因为点在幂函数的图像上，所以，解得，
因为二次函数的最小值为1且满足，，
所以，解得，，，
所以，；
(2)
因为，
所以，
函数的定义域为 ；
作出函数的图象，如图：
由图象可得单调递减区间为，；
由图象可得函数的值域为.
16．（1）定义域：；值域：；偶函数；在上单调递增，在上单调递减；图像见解析；（2）定义域：；值域：；奇函数：在和上单调递减；图像见解析；（3）定义域；R；值域：R；奇函数；在上单调递增；图像见解析；（4）定义域：值域：；非奇非偶函数；在上单调递增；图像见解析
【分析】将幂函数化为根式的形式，分析其定义域和值域，由奇偶性的定义判断其奇偶性，由指数的正负结合幂函数的性质先判断出函数在第一象限内的单调性，再根据奇偶性得出单调区间，作出其大致图像.
【详解】（1），设，的定义域为，
因为，所以值域为：
显然，为偶函数，
在中，，为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减.
（2），设，定义域：，
由，所以值域：，
由，所以奇函数，
在中，，为奇函数，所以在上单调递减，在上单调递减.
（3），设，所以定义域；R；值域：R；
由，所以奇函数，
在中，，在上单调递增.
（4），设，由得定义域：值域：
因为定义域：，所以非奇非偶函数；
在中，，定义域为，所以在上单调递增；
【点睛】本题考查了函数的图象的画法和识别，以及函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，属于基础题．
答案第1页，共2页
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