高中数学人教B版（2019）必修第二册节节通关练——4.1指数与指数函数C（含解析）

一、单选题
1．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）
A．甲同学和乙同学 B．丙同学和乙同学
C．乙同学和甲同学 D．丙同学和甲同学
3．若函数在R上是减函数，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
4．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ）小时.
A． B． C． D．
5．函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．“”是“函数在上为增函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
7．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列选项中，与“”互为充要条件的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．函数定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），则满足不等式ax≥f（a）的实数x的集合为______．
10．已知函数y＝ax－m＋2的图象过定点(2，3)，则实数m＝________．
11．写出一个同时具有下列性质①②③的函数________.
①定义域为；②值域为；③对任意且，均有.
12．已知三个数，，，则它们从小到大排列的顺序是__________．
四、解答题
13．已知函数．
（1）用定义证明函数在(-∞,+∞)上为减函数;
（2）若x∈[1,2]，求函数的值域;
14．已知函数为奇函数.
（1）求实数的值，并判断在上的单调性（不必证明）；
（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.
15．已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性并证明.
16．已知函数.
(1)若，求的值域；
(2)若在区间上的最小值为1，求m的值.
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参考答案：
1．D
【分析】根据函数的函数值与函数的单调性进行判断即可.
【详解】由题知当时，函数，排除A，C，
又由，，，排除B.
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数的图像问题，解决此类问题，基本就是排除法进行解题，往往就是函数的特殊值，奇偶性，单调性，周期性等等进行判断即可.
2．C
【分析】判断出，，的大小关系即可得出答案.
【详解】，．∵．∴．
又∵，，∴．
∴有．
又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄．
故选：C.
3．B
【分析】根据复合函数的单调性可得出函数为上的减函数，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】令，由于函数在上是减函数，
函数为上的增函数，则函数为上的减函数，
所以，，解得.
故选：B.
4．C
【分析】分析可得出，设，求出的值，由此可得出结果.
【详解】由题意可得，可得，设，
可得，解得.
因此，污染物消除至最初的还需要小时.
故选：C.
5．D
【分析】由函数的单调性得到的范围，再根据函数图像平移关系分析得到的范围.
【详解】由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，，排除AB选项；
分析可知：
函数图像是由向左平移所得，，.故D选项正确.
故选：D
6．A
【分析】由指数函数的性质可得在上为增函数的等价条件，再由充分、必要条件的定义即可得解.
【详解】若在上为增函数，则，即，
因为是的充分不必要条件，
所以“”是“函数在上为增函数”的充分不必要条件.
故选：A．
7．AB
【分析】利用指数运算结合完全平方判断AB,D利用立方和公式逐项C,判断
【详解】易知x>0
，A正确；
，B正确；
，C错误；
,D错误
故选：AB
8．BC
【分析】先求出的范围，再逐项求出对应的范围，从而可得正确的选项.
【详解】的解为，
对于A，因为为的真子集，故A不符合；
对于B，因为等价于，其范围也是，故B符合；
对于C，即为，其解为，故C符合；
对于D，即，其解为，
为的真子集，故D不符合，
故选：BC.
9．{x|x≥1}
【分析】由题意可得a＝2，，，由ax≥f（a），结合指数函数单调性可求x
【详解】解：由函数定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），可知a＝2
∴，
由ax≥f（a）可得，2x≥2
∴x≥1
故答案为：{x|x≥1}
10．2
【分析】根据指数函数的图象所过定点求解．
【详解】由，得m＝2.
故答案为：2
11．（答案不唯一）
【分析】直接按要求写出一个函数即可.
【详解】，定义域为；，，值域为；
是增函数，满足对任意且，均有.
故答案为：（答案不唯一）.
12．
【分析】利用指数函数和幂函数的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】指数函数为上的减函数，故，
幂函数在上为减函数，故.
因此，.
故答案为：.
13．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）取任意，根据函数解析式判断的符号即可证明结论.
（2）令，可得，由其单调性即可求的值域.
【详解】（1）取任意，则有，
又，
∴，即.
∴在(-∞,+∞)上为减函数.
（2），则，
∴，易知在上单调递减，
又，，故，即的值域为.
14．（1），是上的增函数；（2）.
【分析】（1）根据求出，再由奇函数的定义验证，根据指数函数的单调性即可求解.
（2）由（1）可得的解集非空，转化为在上有解，只需，解不等式即可求解.
【详解】（1）因为定义在上的奇函数，可得，都有，
令，可得，解得，
所以，此时满足，
所以函数是奇函数，所以.是上的增函数.
（2）因为为奇函数，且的解集非空，
可得的解集非空，-
又因为在上单调递增，所以的解集非空，
即在上有解，
则满足，解得，
所以实数的取值范围.
15．(1)1
(2)在上为减函数，证明见解析
【分析】（1）根据奇函数的性质可得，即可求出的值，再根据奇函数的定义检验即可；
（2）根据指数型复合函数的单调性判断，再利用定义法证明即可；
(1)
解：由为定义在上奇函数可知，解得.
经检验，此时对任意的都有
故.
(2)
解：由递增，可知在上为减函数，
证明如下：
对于任意实数，，不妨设，
则.
∵单调递增，且，
∴即，，，
∴，∴，
故在上为减函数.
16．(1)
(2)-2
【分析】（1）换元法令，，即可求解；
（2）换元法分类讨论考虑函数的最小值情况即可得解.
（1）
，，
令，，
则，
所以的值域；
（2）
令，，
则，
考虑函数，
当时，单调递增，最小值不合题意，舍去；
当时，单调递减，最小值，解得，不合题意，舍去；
当时，单调递减，单调递增，所以最小值，，
所以
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