2021-2022学年八年级下册数学鲁教版（五四学制）第九章　图形的相似 单元检测卷（含答案）

单元检测卷 第九章
(时间:60分钟　满分:100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列各组中的四条线段成比例的是(　　)
(A)a=,b=3,c=2,d= (B)a=4,b=6,c=5,d=10
(C)a=2,b=,c=2,d= (D)a=2,b=3,c=4,d=1
2.已知2x=3y,则下列比例式成立的是(　　)
(A)= (B)= (C)= (D)=
3.△AOB∽△COD,∠A=∠C,下列各式中正确的是(　　)
(A)= (B)= (C)= (D)=
4.已知:在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6,下列阴影部分的三角形与原△ABC不一定相似的是(　　)
5.(2020沈阳模拟)已知△ABC∽△A′B′C′,AD和 A′D′ 是它们的对应中线,若AD=10,A′D′=6,则△ABC与△A′B′C′的面积比是(　　)
(A)5∶3 (B)25∶9 (C)3∶5 (D)9∶25
6.把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积为(　　)
第6题图
(A) (B) (C) (D)
7.如图,六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL,相似比为2∶1,则下列结论正确的是(　　)
第7题图
(A)∠E=2∠K
(B)BC=2HI
(C)六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长
(D)S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL
8.(2020遂宁期末)如图,点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),下列结论错误的是(　　)
(A)= (B)BC2=AB·AC (C)= (D)≈0.618
9.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在AB上,点F在CD上,点G,H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形,则AE的长是(　　)
第9题图
(A)2 (B)3 (C)5 (D)6
10.如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置,已知△ABC的面积为16,阴影部分三角形的面积为9.若AA′=1,则A′D等于(　　)
(A)2 (B)3 (C)4 (D)
第10题图
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.如果=,则=　　.
12.如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC=3AD,
AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件:　 　,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)
第12题图
13.(2020黔东南)如图,矩形ABCD中,AB=2,E为CD的中点,连接AE,BD交于点P,过点P作 PQ⊥BC于点Q,则PQ=　 　.
第13题图
14.在平面直角坐标系中,△ABO的三个顶点的坐标分别为A(-2,4),
B(-4,0),O(0,0).以原点O为位似中心,把这个三角形缩小为原来的,得到△CDO,则点A的对应点C的坐标是　 　.
15.如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=15,点E在边CB上,
CE=2EB,点D在边AB上,CD⊥AE,垂足为F,则AD的长为　 　.
第15题图
三、解答题(共55分)
16.(10分)如图所示,已知ED∥GH∥BC.
(1)若EC=5,HC=2,DG=4,求BG的值;
(2)若AE=4,AC=6,AD=5,求BD的值.
17.(10分)如图,正方形ABCD中,点E为BC上一点,EF⊥AE,交CD于点F,求证:AB∶CE=BE∶CF.
18.(10分)如图,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,2),B(3,1),
C(2,3),以原点O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍得到
△A′B′C′.
(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′;(不要求写画法)
(2)△A′B′C′的面积是　　　　　　.
19.(12分)如图,王刚同学所在的学习小组欲测量校园里一棵大树的高度,他们选王刚作为观测者,并在王刚与大树之间的地面上直立一根高为2 m的标杆CD,然后,王刚开始调整自己的位置,当他看到标杆的顶端C与树的顶端E重合时,就在该位置停止不动,这时其他同学通过测量,发现王刚的脚离标杆底部的距离为1 m,离大树底部的距离为9 m,王刚的眼离地面的高度AB为1.5 m,那么大树EF的高为多少
20.(13分)已知:如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,过点E作AC的垂线交边BC于点F,与AB的延长线交于点M,且AB·AM=AE·AC.求证:
(1)四边形ABCD是矩形;
(2)DE2=EF·EM.
附加题(共15分)
21.如图1～3,在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B,C重合),连接AD.
【问题引入】
(1)如图1,当点D是BC边上的中点时,S△ABD∶S△ABC=　　　　;当点D是BC边上任意一点时,S△ABD∶S△ABC=　　　　(用图中已有线段表示);
【探索研究】
(2)如图2,在△ABC中,O是线段AD上一点(不与点A,D重合),连接BO,CO,试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比,并说明理由;
【拓展应用】
(3)如图3,O是线段AD上一点(不与点A,D重合),连接BO并延长交AC于点F,连接CO并延长交AB于点E.试猜想++的值,并说明理由.
单元检测卷 第九章
(时间:60分钟　满分:100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列各组中的四条线段成比例的是(　C　)
(A)a=,b=3,c=2,d= (B)a=4,b=6,c=5,d=10
(C)a=2,b=,c=2,d= (D)a=2,b=3,c=4,d=1
2.已知2x=3y,则下列比例式成立的是(　C　)
(A)= (B)= (C)= (D)=
3.△AOB∽△COD,∠A=∠C,下列各式中正确的是(　D　)
(A)= (B)= (C)= (D)=
4.已知:在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6,下列阴影部分的三角形与原△ABC不一定相似的是(　C　)
5.(2020沈阳模拟)已知△ABC∽△A′B′C′,AD和 A′D′ 是它们的对应中线,若AD=10,A′D′=6,则△ABC与△A′B′C′的面积比是(　B　)
(A)5∶3 (B)25∶9 (C)3∶5 (D)9∶25
6.把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积为(　A　)
第6题图
(A) (B) (C) (D)
7.如图,六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL,相似比为2∶1,则下列结论正确的是(　B　)
第7题图
(A)∠E=2∠K
(B)BC=2HI
(C)六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长
(D)S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL
8.(2020遂宁期末)如图,点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),下列结论错误的是(　B　)
(A)= (B)BC2=AB·AC (C)= (D)≈0.618
9.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在AB上,点F在CD上,点G,H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形,则AE的长是(　C　)
第9题图
(A)2 (B)3 (C)5 (D)6
10.如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置,已知△ABC的面积为16,阴影部分三角形的面积为9.若AA′=1,则A′D等于(　B　)
(A)2 (B)3 (C)4 (D)
第10题图
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.如果=,则=　　.
12.如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC=3AD,
AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件:　∠A=∠BDF(或∠A=
∠BFD,∠ADE=∠BFD,∠ADE=∠BDF,DF∥AC等)　,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)
第12题图
13.(2020黔东南)如图,矩形ABCD中,AB=2,E为CD的中点,连接AE,BD交于点P,过点P作 PQ⊥BC于点Q,则PQ=　　.
第13题图
14.在平面直角坐标系中,△ABO的三个顶点的坐标分别为A(-2,4),
B(-4,0),O(0,0).以原点O为位似中心,把这个三角形缩小为原来的,得到△CDO,则点A的对应点C的坐标是　(-1,2)或(1,-2)　.
15.如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=15,点E在边CB上,
CE=2EB,点D在边AB上,CD⊥AE,垂足为F,则AD的长为　9　.
第15题图
三、解答题(共55分)
16.(10分)如图所示,已知ED∥GH∥BC.
(1)若EC=5,HC=2,DG=4,求BG的值;
(2)若AE=4,AC=6,AD=5,求BD的值.
解:(1)EH=EC-HC=3.
因为ED∥GH∥BC,
所以EH∶HC=DG∶BG,
即3∶2=4∶GB,
解得BG=.
(2)因为ED∥BC,
所以∠ABC=∠EDA,∠ACB=∠DEA,
所以△ABC≌△ADE,
所以BA∶AD=CA∶AE,
即BA∶5=6∶4,
解得BA=7.5.
所以BD=7.5+5=12.5.
17.(10分)如图,正方形ABCD中,点E为BC上一点,EF⊥AE,交CD于点F,求证:AB∶CE=BE∶CF.
证明:因为四边形ABCD是正方形,∠B=∠C=90°,
因为EF⊥AE,
所以∠AEF=90°,
所以∠AEB+∠FEC=∠FEC+∠EFC=90°,
所以∠AEB=∠EFC,
所以△AEB∽△EFC,
所以=,即AB∶CE=BE∶CF.
18.(10分)如图,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,2),B(3,1),
C(2,3),以原点O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍得到
△A′B′C′.
(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′;(不要求写画法)
(2)△A′B′C′的面积是　　　　　　.
解:(1)画图如图所示:
(2)△A′B′C′的面积是6.
19.(12分)如图,王刚同学所在的学习小组欲测量校园里一棵大树的高度,他们选王刚作为观测者,并在王刚与大树之间的地面上直立一根高为2 m的标杆CD,然后,王刚开始调整自己的位置,当他看到标杆的顶端C与树的顶端E重合时,就在该位置停止不动,这时其他同学通过测量,发现王刚的脚离标杆底部的距离为1 m,离大树底部的距离为9 m,王刚的眼离地面的高度AB为1.5 m,那么大树EF的高为多少
解:如图,过点A作AH⊥EF于点H,AH交CD于点G,
则BD=1,AH=BF=9,
因为DG=HF=AB=1.5,AG=BD=1,
所以CG=CD-DG=2-1.5=0.5,
因为∠AGC=∠AHE=90°,∠CAG=∠EAH,
所以△ACG∽△AEH,
所以=,
即=,
解得EH=4.5,
所以EF=EH+FH=4.5+1.5=6(m),
所以大树EF的高为6 m.
20.(13分)已知:如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,过点E作AC的垂线交边BC于点F,与AB的延长线交于点M,且AB·AM=AE·AC.求证:
(1)四边形ABCD是矩形;
(2)DE2=EF·EM.
证明:(1)因为AB·AM=AE·AC,
所以=,
因为∠CAB=∠MAE,
所以△ACB∽△AME.
所以∠AME=∠ACB.
因为ME⊥AC,
所以∠AME+∠BAC=90°,
所以∠ACB+∠BAC=90°,
所以∠ABC=90°,
所以平行四边形ABCD是矩形.
(2)因为四边形ABCD是矩形,
所以DE=AE=EC=AC.
因为ME⊥AC,
所以∠CEF=∠AEM=90°.
因为∠AME=∠ACB,
所以△CEF∽△MEA,
所以=,
所以AE·EC=EF·EM.
因为DE=AE=EC,
所以DE2=EF·EM.
附加题(共15分)
21.如图1～3,在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B,C重合),连接AD.
【问题引入】
(1)如图1,当点D是BC边上的中点时,S△ABD∶S△ABC=　　　　;当点D是BC边上任意一点时,S△ABD∶S△ABC=　　　　(用图中已有线段表示);
【探索研究】
(2)如图2,在△ABC中,O是线段AD上一点(不与点A,D重合),连接BO,CO,试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比,并说明理由;
【拓展应用】
(3)如图3,O是线段AD上一点(不与点A,D重合),连接BO并延长交AC于点F,连接CO并延长交AB于点E.试猜想++的值,并说明理由.
解:(1)1∶2　BD∶BC.
(2)猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于OD∶AD.理由如下:
如图,分别过点O,点A作BC的垂线OM,AN,垂足分别为点M,点N.
所以OM∥AN.
所以OD∶AD=OM∶AN.
因为S△BOC=BC·OM,S△ABC=BC·AN,
所以S△BOC∶S△ABC=(BC·OM)∶(BC·AN)=OM∶AN=OD∶AD.
(3)猜想++的值是1.理由:
由(2)可知++=++
=
=
=1.