2022年“国庆假期”九年级上册：22.2 二次函数与一元二次方程 同步练习（7）（含解析）

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22.2 二次函数与一元二次方程 同步练习
一．选择题
1．二次函数y＝﹣x2+（m﹣2）x+m的图象与x轴交点的情况是（　　）
A．没有交点 B．有一个交点
C．有两个交点 D．与m的值有关
2．抛物线y＝x2﹣2x+3与x轴的交点个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若抛物线y＝x2+bx+c对称轴为直线x＝2，且与x轴有交点，则c的最大值为（　　）
A．0 B．3 C．4 D．8
4．已知抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+mx＝n2+1的根可能是（　　）
A．0，4 B．1，5 C．1，﹣5 D．﹣1，5
5．二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于P，Q两点，它们的横坐标分别是p，q（其中p＜q）．对于任意的x≥0，都有y＜0，则下列说法一定正确的是（　　）
A．当x＝时，y＜0 B．当x＝时，y＜0
C．当x＝p+q时，y＝0 D．当x＝时，y＝0
6．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣2，0）与（1，0）两点，若x1，x2（x1＜x2）是关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c+m2＝0的两根，则下列结论中正确的是（　　）
A．﹣2＜x1＜x2＜1 B．x1≤﹣2＜1≤x2 C．x1＜﹣2＜1＜x2 D．﹣2≤x1＜x2≤1
7．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）中，x与y的部分对应值如表：
x … ﹣1 0 1 2 4 …
y … ﹣1 0.5 1 0.5 ﹣3.5 …
有下列结论：
①函数有最大值，且最大值为1；
②b＝1；
③若x0满足，则2＜x0＜3或﹣1＜x0＜0；
④若方程ax2+bx+c+m＝0有两个不等的实数根则m＜﹣1；
其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，0），点B（m，0），点C（0，﹣m），其中2＜m＜3，下列结论：①＞0，②2a+c＜0，③2a+b＞0，④方程ax2+bx+c+m＝0有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数为（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
9．已知二次函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为 　 　．
10．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点为（﹣2，0），则关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两根之积是 　 　．
11．已知：二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见如表：
x … ﹣3 0 1 2 3 …
y … 0 1 0 ﹣ ﹣4 …
则方程ax2+bx+c＝1的根为 　 　．
12．已知关于x的方程x2+2bx+3c＝0的两个根分别是x1＝，x2＝，若点A是二次函数y＝x2+2bx﹣3c的图象与y轴的交点，过A作AB⊥y轴交抛物线于另一交点B，则AB的长为 　 　．
13．如图，抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t+2，直线l：x＝2t与抛物线L、x轴分别相交于点Q、P．
（1）当t＝3时，点Q的坐标为 　 　；
（2）当t＝2时，在抛物线L与x轴所围成的封闭图形的边界上，我们把横坐标是整数的点称为“可点”，此时“可点”的个数为 　 　．
三．解答题
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若抛物线y＝x2﹣（2k+1）x+k2+k与x轴相交于A、B两点，当OA+OB＝5时，求k的值．
15．已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，n），B（2，n）两点．
（1）求b的值；
（2）当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围．
16．已知抛物线L：y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）把抛物线L关于y轴对称，得到抛物线L'，在抛物线L'上是否存在点P，使得S△ABP＝S△BCP？若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
17．已知抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点为M．
（1）若点M的坐标是（﹣2，﹣4），求抛物线的解析式．
（2）求证：不论k取何值，抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点M总在x轴的下方．
（3）若抛物线y＝x2+2kx+k﹣2关于直线y＝﹣k对称后得到新的抛物线的顶点为M′，若M′落在x轴上，请直接写出k的值．
18．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，如：y＝x2+1是y＝x+1的点雅抛物线．
（1）若y＝x2﹣4是y＝﹣2x+p的点雅抛物线，求p的值；
（2）若二次函数y＝﹣x2+4x+7是经过点（﹣1，2）的一次函数y＝kx+t（k≠0）的点雅抛物线，求直线y＝kx+t（k≠0）与两坐标轴围成的三角形的面积；
（3）若函数y＝mx﹣3（m≠0）的点雅抛物线y＝x2+2x+n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．
参考答案
一．选择题
1．【解答】解：令y＝0，则﹣x2+（m﹣2）x+m＝0，
∴Δ＝（m﹣2）2+4m＝m2+4＞0，
∴函数图象与x轴有两个交点，
故选：C．
2．【解答】解：∵b2﹣4ac
＝4﹣4×3
＝﹣8＜0，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3与x轴的交点个数是0，
故选：A．
3．【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c对称轴为直线x＝2，
∴x＝﹣＝2．
∴b＝﹣4，
∴抛物线的表达式可写成y＝x2﹣4x+c．
∵抛物线与x轴有交点，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4c≥0，
解得：c≤4，
∴c的最大值为4．
故选：C．
4．【解答】解：∵抛物线y＝x2+mx的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
解得：m＝﹣4，
则方程为：x2﹣4x﹣（n2+1）＝0，
设方程两根为x1、x2，
则x1+x2＝4，x1x2＝﹣（n2+1），
∵n2+1＞0，
∴﹣（n2+1）＜0，
∴方程x2+mx＝n2+1的根可能是﹣1，5，
故选：D．
5．【解答】解：由对于任意的x≥0，都有y＜0可得：
根据二次函数性质：a＜0，p和q都＜0，
由与x轴交于P，Q两点，它们的横坐标分别是p，q可得：
对称轴为x＝，
∴当p＜x＜q，即点的横坐标位于P，Q点之间时，y＞0，
当x＞q或x＜p，即点的横坐标位于P点左边，或Q点右边时，y＜0，
A．当x＝时，＞p，
∴x＝位于P和Q之间，
即y＞0，
故该选项错误；
B．当x＝时，＞q，
∴x＝位于Q点右边，
即y＜0，
故该选项正确；
C．当x＝p+q时，p+q＜p，
∴x＝p+q位于P点左边，
即y＜0，
故该选项错误；
D．当x＝时，p+q＜0，
对称轴不能与y轴重合，y≠0
故该选项错误．
故选：B．
6．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（﹣2，0）与（1，0）两点，
∵x1，x2（x1＜x2）是关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c+m2＝0的两根，
∴x1，x2（x1＜x2）是二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与直线y＝﹣m2的交点的横坐标，
如图所示：
由图象可得，x1≤﹣2＜1≤x2，
故选：B．
7．【解答】解：①由表格给出的数据可知x＝1时，函数有最大值，且最大值为1，故此结论正确；
②把x＝0，y＝0.5；x＝1，y＝1；x＝2，y＝0.5代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得：，
故此结论正确；
③由②知，抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+x+0.5，
令y＝0，则﹣0.5x2+x+0.5＝0，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣，
∵2＜1+＜3，﹣1＜1﹣＜0，
∴若x0满足y＝ax02+bx+c，则2＜x0＜3或﹣1＜x0＜0，故本结论正确；
④∵方程﹣0.5x2+x+0.5+m＝0两个不等的实数根，
∴Δ＝1﹣4×（﹣0.5）×（0.5+m）＝2+2m＞0，
解得：m＞﹣1，
故此结论错误．
故选：C．
8．【解答】解：①∵二次函数开口向上，与y轴交点在负半轴上，∴a＞0，c＜0，
∵二次函数的对称轴是直线：x＝，2＜m＜3，
∴1＜﹣1+m＜2，
∴＜＜1，
∴
∴二次函数的对称轴在y轴右边，
∴b＜0，
∴＞0，
∴①正确；
②∵二次函数的图象经过点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵﹣，
∴﹣b＞a，
∴a+b＜0，
∴2a+c
＝a+a+c
＝a+b＜0，
∴2a+c＜0，
∴②正确；
③∵﹣＜1，
∴2a+b＞0，
∴③正确；
④∵ax2+bx+c+m＝0，
∴ax2+bx+c＝﹣m，
∵y＝﹣m与y＝ax2+bx+c有两个交点，
∴方程ax2+bx+c+m＝0有两个不相等的实数根，
∴④正确；
故选：D．
二．填空题
9．【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣7）2﹣4k×（﹣7）＜0，
解得k＜﹣，
所以k的取值范围为k＜﹣．
故答案为：k＜﹣．
10．【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c的对称轴为直线x＝﹣＝1，
二次函数的图象与x轴的一个交点为（﹣2，0），
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为（4，0），
∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝4，
∴关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+c＝0的两根之积为﹣8．
故答案为：﹣8．
11．【解答】解：由表格可得抛物线经过（﹣3，0），（1，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线经过（0，1），
∴抛物线经过（﹣2，1），
∴ax2+bx+c＝1的根为x1＝0，x2＝1．
故答案为：x1＝0，x2＝1．
12．【解答】解：∵x1＝，x2＝，
∴对称轴为x＝＝，
∵点A的横坐标为0，
∴根据对称性，点B的横坐标为3，
∴AB＝3．
故答案为：3．
13．【解答】解：（1）当t＝3时，抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5，直线l的解析式为x＝6，
当x＝6时，y＝﹣（x﹣3）2+5＝﹣（6﹣3）2+5＝﹣4，
∴点Q的坐标为（6，﹣4），
故答案为（6，﹣4）；
（2）当t＝2时，抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+4，
当y＝0时，﹣（x﹣2）2+4＝0，
解得x1＝0，x2＝4，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），
∴“可点”坐标为：（0，0），（1，0），（1，3），（2，0），（2，4），（3，0），（3，3），（4，0），
即“可点”的个数为8个．
故答案为：8个．
三．解答题
14．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，
解得：x1＝k，x2＝k+1，
∴A（k，0），B（k+1，0），
∵OA+OB＝5，
∴|k|+|k+1|＝5，
①当k＜﹣1时，|k|+|k+1|＝5变为﹣k﹣（k+1）＝5，
解得：k＝﹣3；
②当﹣1≤k＜0时，|k|+|k+1|＝5变为﹣k+k+1＝5，
此方程无解；
③当k≥0时，|k|+|k+1|＝5变为k+k+1＝5，
解得：k＝2．
综上所述，k的值为﹣3或k＝2．
15．【解答】解：（1）∵A（﹣3，n），B（2，n）关于对称轴对称，
∴﹣＝，
解得b＝1．
（2）∵b＝1，
∴y＝x2+x+c＝（x+）2+c﹣，
∴抛物线顶点为（﹣，c﹣），开口向上，
当c﹣＝0时，c＝，
将x＝﹣1代入y＝x2+x+c得y＝c，
将x＝1代入y＝x2+x+c得y＝2+c，
∴，
解得﹣2＜c≤0．
综上所述，c＝或﹣2＜c≤0．
16．【解答】解：（1）令y＝0，得﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
令x＝0，得y＝3，
∴A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）；
（2）答：存在；
∵抛物线L关于y轴对称，得到抛物线L'，
∴抛物线L'解析式：y＝﹣x2+2x+3，
∵S△ABP＝S△BCP，
∴BP∥AC，
设直线AC的解析式：y＝kx+b，
把A（﹣3，0）、C（0，3）代入y＝kx+b，
得b＝3，﹣3k+3＝0，
解得k＝1，
∴直线AC的解析式：y＝x+3，
∵BP∥AC，
∴设直线BP的解析式：y＝x+c，
把B（1，0）代入y＝x+c，
得1+c＝0，
解得c＝﹣1，
∴直线BP的解析式：y＝x﹣1，
把y＝x﹣1代入y＝﹣x2+2x+3，
得x﹣1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝，
∴在抛物线L'上存在点P，使得S△ABP＝S△BCP；点P的横坐标为或．
17．【解答】（1）解：∵抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点为M的坐标为（﹣2，﹣4），
∴抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣4；
（2）证明：设顶点M的纵坐标为m，
∵m＝＝﹣k2+k﹣2＝﹣（k﹣）2﹣＜0，
∴不论k取何值，抛物线y＝x2+2kx+k﹣2的顶点M总在x轴的下方；
（3）∵y＝x2+2kx+k﹣2＝（x+k）2﹣k2+k﹣2，
∴M（﹣k，﹣k2+k﹣2），
∵M点关于直线y＝﹣k的对称点M′落在x轴上，
而M点在x轴下方，
即直线y＝﹣k垂直平分MM′，
∴﹣（﹣k2+k﹣2）＝2×k，
整理得k2﹣3k+2＝0，
解得k1＝1，k2＝2，
即k的值为1或2．
18．【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），
把（0，﹣4）代入y＝﹣2x+p得﹣2×0+p＝﹣4，
解得p＝﹣4；
（2）∵y＝﹣x2+4x+7＝﹣（x﹣2）2+11，
∴抛物线的顶点坐标为（2，11），
把（2，11），（﹣1，2）分别代入y＝kx+t得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝3x+5，
当x＝0时，y＝5，直线y＝3x+5与y轴的交点坐标为（0，5），
当y＝0时，3x+5＝0，解得x＝﹣，直线y＝3x+5与x轴的交点坐标为（﹣，0），
∴直线y＝3x+5与两坐标轴围成的三角形的面积＝×5×＝；
（3）当y＝0时，x2+2x+n＝0，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，
∵﹣1+﹣（﹣1﹣）＝4，
∴n＝﹣3，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
把（1，﹣4）代入y＝mx﹣3得m﹣3＝﹣4，
解得m＝﹣1，
∴m、n的值分别为﹣1，﹣3．