2022年“国庆假期”九年级上册：第21章《一元二次方程》单元培优训练卷（5）（含解析）

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第21章《一元二次方程》单元培优训练卷
一．选择题
1．实数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则（　　）
A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤0
2．若x为任意实数，且M＝（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x2），则M的最大值为（　　）
A．10 B．84 C．100 D．121
3．已知等腰△ABC中的三边长a，b，c满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，则△ABC的周长是（　　）
A．6 B．9 C．6或9 D．无法确定
4．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．1 C．3 D．9
5．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
6．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
7．对于实数m，n，先定义一种新运算“ ”如下：m n＝，若x （﹣2）＝10，则实数x等于（　　）
A．3 B．﹣4 C．8 D．3或8
8．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
其中正确的（　　）
A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③
二．填空题
9．德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有144人感染了德尔塔病毒，如果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有 　人感染德尔塔病毒．
10．五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是　 　cm2．
11．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是　 　．
12．若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为　 　．
13．已知方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，则x12﹣x22+4x2的值为 　 　．
14．已知实数a、b满足（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，则a2+b2＝　 　．
15．已知：m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝　 　．
16．已知m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，则式子的值是 　 　．
三．解答题
17．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，求k的值．
18．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2k）+k（k﹣1）＝0．
（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个根x1，x2是一个矩形的一边长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试求k的值．
19．已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少？
20．小明以20元/个的单价新进一批玩具在网上销售，经统计发现，在一段时间内，销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的函数关系如图所示．
（1）AB的表达式为 　 　．
（2）若某段时间内该商品的销售单价为50元/个，则销售利润为 　 　元．
（3）要使销售利润达到800元，则销售单价应定为多少元/个？
21．为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，所以；
当y＝4时，x2﹣1＝4，所以．
所以原方程的根为，，，．
以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：
（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；
（2）x4+x2﹣12＝0．
22．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0经过适当变形，可以写成（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式．现列表探究x2﹣6x﹣7＝0的变形：
变形 m n p
（x+1）（x﹣7）＝0 ﹣1 7 0
x（x﹣6）＝7 0 6 7
（x﹣1）（x﹣t）＝12 1 t 12
（x﹣3）2＝16 3 3 16
回答下列问题：
（1）表格中t的值为 　 　；
（2）观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为 　 　；
（3）记x2+bx+c＝0的两个变形为（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1和（x﹣m2）（x﹣n2）＝p2（p1≠p2），求的值．
参考答案
一．选择题
1．【解答】解：设一元二次方程为ax2+bx+c＝0
当x＝﹣1时，原方程化为a﹣b+c＝0
所以一元二次方程为ax2+bx+c＝0有实数根，
所以b2﹣4ac≥0．
故选：C．
2．【解答】解：M＝（7﹣x）（3﹣x）（2+x）（2﹣x）
＝[（7﹣x）（2+x）] [（3﹣x）（2﹣x）]
＝（﹣x2+5x+14）（x2﹣5x+6）
＝﹣（x2﹣5x）2+8（x2﹣5x）+84
＝﹣[（x2﹣5x）﹣4]2+100，
∵﹣1＜0，
∴M的最大值为100．
故选：C．
3．【解答】解∵2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0，
∴a﹣1＝0，b﹣4＝0，
解得a＝1，b＝4，
∵3＜c＜5，
∵△ABC是等腰三角形，
∴c＝4．
故△ABC的周长为：1+4+4＝9．
故选：B．
4．【解答】解：∵x2﹣2mx+m2﹣4＝0，
∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，
∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0，
∵x1＞x2，
∴x1＝m+2，x2＝m﹣2，
∵x1＝2x2+3，
∴m+2＝2（m﹣2）+3，
解得m＝3．
故选：C．
5．【解答】解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2即a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，
设t＝x﹣1，
所以at2+bt+2＝0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，
所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021，
则x﹣1＝2021，
解得x＝2022，
所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为x＝2022．
故选：D．
6．【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．
故选：D．
7．【解答】解：当x≥﹣2时，x2+x﹣2＝10，
解得：x1＝3，x2＝﹣4（不合题意，舍去）；
当x＜﹣2时，（﹣2）2+x﹣2＝10，
解得：x＝8（不合题意，舍去）；
∴x＝3．
故选：A．
8．【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：
x0＝或x0＝
∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣
∴
故④正确．
故选：B．
二．填空题
9．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得：
1+x+x（1+x）＝144，
整理得：x2+2x﹣143＝0，
解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）．
144+11×144＝1728（人）．
答：经过三轮传染后，一共有1728人感染德尔塔病毒．
故答案为：1728．
10．【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为xcm，
根据题意得：（x+2×x） x＝135，
解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），
则x＝3．
所以3×3＝9（cm 2）．
故答案为：9．
11．【解答】解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，
当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3＝6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6＝14，
故答案为：14．
12．【解答】解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣a＝1．
∴原式＝﹣（a3﹣2a）+2020
＝﹣（a3﹣a2+a2﹣a﹣a）+2020
＝﹣[a（a2﹣a）+1﹣a]+2020
＝﹣（a+1﹣a）+2020
＝﹣1+2020
＝2019．
故答案为：2019．
13．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣2＝0的两根分别为x1，x2，
∴x12＝2x1+2，x22＝2x2+2，x1+x2＝2．
∴x12﹣x22+4x2
＝（2x1+2）﹣（2x2+2）+4x2
＝2（x1+x2）
＝2×2
＝4．
故答案是：4．
14．【解答】解：（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，
设a2+b2＝x，则原方程化为x2﹣x﹣2＝0，
解得：x＝2或﹣1，
当x＝2时，a2+b2＝2，
当x＝﹣1时，a2+b2＝﹣1，
∵不论a、b为何值，a2+b2都不能为负数，
∴此时不符合题意，舍去，
即a2+b2＝2，
故答案为：2．
15．【解答】解：∵m、n是方程x2+2x﹣1＝0的两根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0，
∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）
＝（m2+2m﹣1+m+4）（n2+2n﹣1+n+4）
＝（m+4）（n+4）
＝mn+4（m+n）+16
＝﹣1+4×（﹣2）+16
＝7，
故答案为：7．
16．【解答】解：∵m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，
∴m2＝3m+2，n2﹣2＝3n，m+n＝3，
∴m3﹣10m+n＝m（3m+2）﹣10m+n＝3m2﹣8m+n＝3（3m+2）﹣8m+n＝m+n+6＝3+6＝9，
n﹣＝＝＝3，
原式＝9×3＝27．
故答案为：27．
三．解答题
17．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k+9＞0，
解得：k＞﹣，
即k的取值范围是k＞﹣；
（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k+1），x1 x2＝k2﹣2，
∵方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2＝11，
[﹣（2k+1）]2﹣2（k2﹣2）＝11，
解得：k＝﹣3或1，
∵关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个不相等的实数根，
必须k＞﹣，
∴k＝﹣3舍去，
所以k＝1．
18．【解答】解：（1）（x﹣1）（x﹣2k）+k（k﹣1）＝0，
整理得：x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，
∵a＝1，b＝﹣（2k+1），c＝k2+k，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（2k+1）2﹣4×1×（k2+k）
＝1＞0；
∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0
∴x1＝k，x2＝k+1，
①当x＝k为对角线时，k2＝（k+1）2+32，
解得：k＝﹣5（不符合题意，舍去），
②当x＝k+1为对角线时，（k+1）2＝k2+32，
解得：k＝4，
综上所述，k的值为4．
19．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
又∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根，
∴Δ＝（﹣m）2﹣4×（﹣）＝（m﹣1）2＝0，
∴m＝1，
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
当m＝1时，原方程为x2﹣x+＝0，即（x﹣）2＝0，
解得：x1＝x2＝，
∴菱形ABCD的边长是．
（2）把x＝2代入原方程，得：4﹣2m+﹣＝0，
解得：m＝．
将m＝代入原方程，得：x2﹣x+1＝0，
∴方程的另一根AD＝1÷2＝，
∴ ABCD的周长是2×（2+）＝5．
20．【解答】解：（1）当20≤x≤80时，设直线AB的表达式为y＝kx+b（k≠0），
把（20，60），（80，0）代入，可得，
解得，
故直线AB的表达式为y＝﹣x+80．
故答案是：y＝﹣x+80（20≤x≤80）；
（2）把x＝50代入y＝﹣x+80，得y＝﹣50+80＝30，
故销售利润位为：（50﹣20）×30＝900（元）；
故答案是：900；
（3）若销售利润达到800元，
若20≤x≤80，则（x﹣20）（﹣x+80）＝800，
解得x1＝40，x2＝60，
若0＜x＜20，则（x﹣20）×60＝800，
解得x＝（不合题意），
所以要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克40元或60元．
21．【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4，
设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2﹣4a+4＝0，
解此方程得：a1＝a2＝2，
当a＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，
因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1，
所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1；
（2）x4+x2﹣12＝0，
设x2＝y，则原方程化为y2+y﹣12＝0，
因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0，
解得：y1＝3，y2＝﹣4，
当y＝3时，x2＝3，解得：x＝；
当y＝﹣4时，x2＝﹣4，无实数根，
所以原方程的解是x1＝，x2＝﹣．
22．【解答】解：（1）x2﹣6x﹣7+12＝12，
x2﹣6x+5＝12，
（x﹣1）（x﹣5）＝12，
所以t＝5；
故答案为5；
（2）﹣1+7＝6，
0+6＝6，
1+5＝6，
3+3＝6，
所以m+n为一次项系数的相反数，
即m+n＝6；
故答案为m+n＝6；
（3）由（2）的结论得到m1+n1＝﹣b，m2+n2＝﹣b，
所以m1+n1＝m2+n2，
即n1﹣n2＝﹣（m1﹣m2），
∴＝﹣1．