2022年“国庆假期”九年级上册：22.1 二次函数的图象和性质 同步练习（6）（含解析）

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22.1 二次函数的图象和性质 同步练习
一．选择题
1．下列函数中，是二次函数的是（　　）
A． B． C．y＝x2+2x﹣1 D．y＝x﹣2
2．已知：抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2+1，则抛物线的对称轴是直线（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝﹣2
3．将二次函数y＝2x2向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为（　　）
A．y＝2（x+5）2﹣3 B．y＝2（x+5）2+3
C．y＝2（x﹣5）2﹣3 D．y＝2（x﹣5）2+3
4．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣1，当1＜x≤5时，对应的函数值y不可能是（　　）
A．﹣5 B．﹣4 C．4 D．5
5．函数y＝ax+1与y＝ax2+ax+1（a≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．若二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知函数y＝ax2+bx+4（a＜0），2a﹣b＝0，在此函数图象上有A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1
8．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法不正确的是（　　）
A．abc＜0
B．2a﹣b＝0
C．3a+c＝0
D．若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，y1＞y2
二．填空题
9．抛物线y＝x2+2的开口向 　 　．
10．二次函数y＝x2﹣4x+5的对称轴为x＝　 　．
11．将抛物线y＝x2﹣6x﹣3沿x轴对称，得到的新的抛物线解析式为 　 　．
12．抛物线y＝x2+bx+c的图象上有两点A（1，m），B（5，m），则b的值为 　 　．
13．定义：min{a，b}＝．若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为 　 　．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x … 1 2 3 4 5 6 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 …
则当x＝0时，y的值为 　 　．
15．抛物线的图象如图所示，点A1，A2，A3，A4…，A2022在抛物线第一象限的图象上．点B1，B2，B3，B4…，B2022在y轴的正半轴上，△OA1B1，、△B1A2B2、…、△B2021A2022B2022都是等腰直角三角形，则B2021A2022＝　 　．
三．解答题
16．已知抛物线y＝﹣x2+2x+2．
（1）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当x为何值时，函数y＝﹣x2+2x+2取得最大值，请求出这个最大值．
17．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）用配方法把这个二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
（3）当﹣4≤x≤0时，结合图象直接写出y的取值范围．
18．如图，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A（1，m）和
B（﹣2，4），与y轴交于点C．
（1）求k，b，a的值；
（2）求△AOB的面积．
19．如图，抛物线与抛物线相交于点T，点T的横坐标为1．过点T作x轴的平行线交抛物线C1于点A，交抛物线C2于点B．抛物线C1与C2分别与y轴交于点C，D．
（1）求抛物线C1的对称轴和点A的横坐标；
（2）求线段AB和CD的长；
（3）点P（﹣2，p）在抛物线C1上，点Q（5，q）在抛物线C2上，请比较p与q的大小关系并说明理由．
20．已知关于x的抛物线的解析式为y＝x2﹣2ax+a2+2a+1．
（1）当a＝1时，求抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）若抛物线与直线x＝3交于点A，求点A到x轴的距离最小值；
（3）证明：不论a取何值时，抛物线的顶点都在直线y＝2x+1上；
（4）直线y＝2x+1与该抛物线相交，求抛物线在这条直线上所截线段的长度．
参考答案
一．选择题
1．【解答】解：A．y＝，不是二次函数，故A不符合题意；
B．y＝，不是二次函数，故B不符合题意；
C．y＝x2+2x﹣1，是二次函数，故C符合题意；
D．y＝x﹣2，不是二次函数，故B不符合题意；
故选：C．
2．【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+1，
∴抛物线对称轴为直线x＝2．
故选：C．
3．【解答】解：将二次函数y＝2x2向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为y＝2（x+5）2+3，
故选：B．
4．【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣5），
将x＝5代入y＝x2﹣4x﹣1得y＝4，
∴当1＜x≤5时，﹣5≤y≤4，
故选：D．
5．【解答】解：由函数y＝ax+1与抛物线y＝ax2+ax+1可知两函数图象交y轴上同一点（0，1），抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，在y轴的左侧，
A、抛物线的对称轴在y轴的右侧，故选项错误；
B、抛物线的对称轴在y轴的右侧，故选项错误；
C、由一次函数的图象可知a＞0，由二次函数的图象知道a＞0，且交于y轴上同一点，故选项正确；
D、由一次函数的图象可知a＞0，由二次函数的图象知道a＜0，故选项错误；
故选：C．
6．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），
∴3＝a+2，
∴a＝1，
∴y＝x2+2，
∵Q（m，n）在y＝x2+2上，
∴n＝m2+2，
∴n2﹣4m2﹣4n+9＝（m2+2）2﹣4m2﹣4（m2+2）+9＝m4﹣4m2+5＝（m2﹣2）2+1，
∵（m2﹣2）≥0，
∴n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为1．
故选：A．
7．【解答】解：∵2a﹣b＝0，
∴2a＝b，
∵y＝ax2+bx+4（a＜0），
∴对称轴为x＝﹣＝﹣＝﹣1，
∴C（，y3）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2﹣，y3），
∵a＜0，
∴图象开口向下，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∵﹣2﹣＜﹣＜﹣，
∴y3＜y1＜y2，
故选：C．
8．【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∴2a﹣b＝0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），
∴图象与x轴的另一个交点为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵b＝2a，
∴3a+c＝0，所以③正确；
∵点（﹣5，y1）离对称轴的距离与点（3，y2）离对称轴的距离相等，
∴y1＝y2，所以④不正确．
故选：D．
二．填空题
9．【解答】解：∵y＝x2+2，
∴a＝1＞0，
∴抛物线开口向上．
故答案为：上，
10．【解答】解：∵y＝x2﹣4x+5，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
故答案为：2．
11．【解答】解：∵y＝x2﹣6x﹣3＝（x﹣3）2﹣12，
∴抛物线y＝x2﹣6x﹣3的顶点坐标为（3，﹣12），
∵点（3，﹣12）关于x轴对称的点的坐标为（3，12），
∴将抛物线y＝x2﹣6x﹣3沿x轴对称，得到的新的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2+12，
故答案为：y＝﹣（x﹣3）2+12．
12．【解答】解：∵抛物线经过A（1，m），B（5，m），
∴抛物线对称轴为直线x＝3，
∴﹣＝3，
解得b＝﹣6，
故答案为：﹣6．
13．【解答】解：设直线y＝x+1，抛物线y＝﹣x2+2x+3，
联立直线与抛物线方程得，
解得或，
∴直线与抛物线交点坐标为（﹣1，0），（2，3），
如图，
∴x≤﹣1时，y＝﹣x2+2x+3，函数最大值为y＝0，
﹣1＜x≤2时，y＝x+1，函数最大值为y＝3，
当x＞2时，y＝﹣x2+2x+3，y＜3，
∴x＝2时，函数取最大值为3，
故答案为：3．
14．【解答】解：依据表格可知抛物线的对称轴为x＝3，
∴当x＝0时与x＝6时函数值相同，
∴当x＝0时，y＝5．
故答案为：5．
15．【解答】解：设A1B1＝x，
∵△OA1B1 是等腰直角三角形，
∴OB1＝x，
则A1的坐标为（x，x），代入二次函数，
得x＝x2+x，
解得x＝1或x＝0（舍），
设A2B2＝m，
∵△B1A2B2是等腰直角三角形，
∴B1B2＝m，
∴A2的坐标为（m，1+m），
代入二次函数y＝x2+x，得m2+m＝1+m，
解得m＝2或m＝﹣1（舍），
同理可求出A3B3＝3，
A4B4＝4，
∴B2022A2022＝2022，根据勾股定理，得B2021A2022＝2022，
故答案为：2022．
三．解答题
16．【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
所以抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，3）；
（2）由（1）可知，当x＝1时，函数y＝﹣x2+2x+2取得最大值，最大值是3．
17．【解答】解：（1）y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣4，
即y＝（x+1）2﹣4；
（2）∵y＝（x+1）2﹣4，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣4），
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
二次函数的图象如图所示：
（3）观察图象得，当x＝﹣1时，y取最小值﹣4，
当x＝﹣4时，y取最大值，代入函数得，y＝（﹣4）2+2×（﹣4）﹣3＝16﹣8﹣3＝5．
∴当﹣4≤x≤0时，﹣4≤y≤5．
18．【解答】解：（1）将（﹣2，4）代入y＝ax2得4＝4a，
解得a＝1，
∴y＝x2，
将（1，m）代入y＝x2得m＝1，
∴点A坐标为（1，1），
将（﹣2，4），（1，1）代入y＝kx+b得，
解得．
（2）由（1）得y＝﹣x+2，
将x＝0代入y＝﹣x+2得y＝2，
∴点C坐标为（0，2），OC＝2，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝OC |xB|+OC |xA|＝+＝3．
19．【解答】解：（1）抛物线C1的对称轴为x＝﹣＝﹣1，
∵AB∥x轴，
∵点A与点T关于对称轴x＝﹣1对称，
∴点A的横坐标为﹣3；
（2）∵抛物线C2的对称轴为x＝﹣＝2，
∵AB∥x轴，
∴点B与点T关于对称轴x＝2对称，
∴点B的横坐标为3，
∴AB＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6；
∵点T是抛物线C1与抛物线C2的交点，
∴1+2+c＝1﹣4+d，
∴c＝d﹣6，
令x＝0，则C（0，c），D（0，d），
∴CD＝d﹣c＝d﹣（d﹣6）＝d﹣d+6＝6；
（3）根据A，T，B的横坐标以及函数图象可知，点P在AB下方，点Q在AB上方，
∴p＜q．
20．【解答】（1）解：将a＝1代入y＝x2﹣2ax+a2+2a+1得：
y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，3）；
（2）解：将x＝3代入y＝x2﹣2ax+a2+2a+1得，
y＝9﹣6a+a2+2a+1＝a2﹣4a+10＝（a﹣2）2+6，
∴点A的坐标为（3，（a﹣2）2+6），
∴点A的纵坐标为（a﹣2）2+6，
∴当a＝2时，点A的纵坐标的最小值是6，
∴点A到x轴的距离最小值为6；
（3）证明：抛物线y＝x2﹣2ax+a2+2a+1＝（x﹣a）2+（2a+1），
∴顶点坐标C是（a，2a+1），
将顶点坐标（a，2a+1）代入y＝2x+1，
左边＝2a+1，右边＝2a+1，
故可得：左边＝右边，
所以不论a取何值时，抛物线的顶点都在直线y＝2x+1上；
（4）解：联立直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣2ax+a2+2a+1得，
2x+1＝x2﹣2ax+a2+2a+1，解得x＝a或a+2，
∴直线y＝2x+1与抛物线的交点坐标为（a，2a+1），（a+2，2a+5），
∴抛物线在这条直线上所截线段的长度为＝＝2．