2022年“国庆假期”九年级上册：第21章《一元二次方程》单元训练卷（4）（含解析）

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第21章《一元二次方程》单元训练卷
一．选择题
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
①3x2+7＝0：②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1；④3x﹣＝0．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
2．把一元二次方程x（2x﹣1）＝x﹣3化为一般形式，正确的是（　　）
A．2x2+3＝0 B．2x2﹣2x﹣3＝0 C．2x2﹣x+2＝0 D．2x2﹣2x+3＝0
3．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0，配方结果正确的是（　　）
A．（x+1）2＝1 B．（x﹣1）2＝1 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2
4．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
5．方程 （x﹣2）2＝4（x﹣2）的解为（　　）
A．4 B．﹣2 C．4或﹣6 D．6或2
6．下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2+2x﹣1＝0 B．x2﹣1＝0 C．x+x＝﹣2 D．2x＝3x2
7．已知两个不同的一元二次方程的判别式分别为Δ1，Δ2，下列判断正确的是（　　）
A．若Δ1+Δ2＞0，则一定两个方程都有解
B．若Δ1﹣Δ2＜0，则一定有一个方程无解
C．若Δ1 Δ2＜0，则有且只有一个方程有解
D．若Δ1﹣Δ2＞0，则至少有一个方程有解
8．用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（　　）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
9．一次足球比赛，采取单循环赛制（每两队之间赛一场），共安排了21场比赛，应该邀请参赛球队有（　　）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
10．如果m、n是一元二次方程x2+x＝4的两个实数根，那么多项式2n2﹣mn﹣2m的值是（　　）
A．16 B．14 C．10 D．6
二．填空题
11．若关于x的方程（k﹣1）x|k|+1+4x﹣5＝0是一元二次方程，则k＝　 　．
12．方程5（x+3）＝x（2x﹣1）的一般形式是 　 　，二次项是 　 　．
13．方程x2﹣5x﹣1＝0的根的判别式的值为 　 　．
14．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为 　 　．
15．已知：m、n是方程x2﹣x﹣2＝0的两根，则（m2﹣1）（n2﹣1）＝　 　．
16．关于x的一元二次方程3x2﹣10x﹣17＝0的两个根分别为x1和x2，则＝　 　．
三．解答题
17．解下列方程：
（1）x2﹣8x﹣1＝0；
（2）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）；
（3）（2x+3）2＝（3x+2）2
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根：
（2）若该方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝﹣2k+3．求k的值．
19．为提高应急处置能力，某社区计划搭建一个临时物资储备仓库，用来放置应急物资．如图，仓库的两边靠墙（墙足够长），另外两边用总长为58米的铁皮围成，两面墙的夹角为90°，铁皮与墙面均垂直，其中CD边上留有宽2米的通道，且边CD的长不小于30米．若仓库的面积是800平方米，则BC的长应为多少米？
20．新晋网红打卡地一一重庆规划展览馆吸引众多游客，某商家借此购进一批文创产品钥匙扣和手账本．商家用1600元购买钥匙扣，800元购买手账本，每个钥匙扣和手账本的进价之和为10元，且购进手账本的数量是钥匙扣的2倍．
（1）求商家购买每个钥匙扣的进价和每个手账本的进价；
（2）商家在销售过程中发现，当手账本的售价为每个5元，钥匙扣的售价为每个15元时，平均每天可售出40个手账本，20个钥匙扣．据统计，钥匙扣的售价每降低0.5元平均每天可多售出5个，且降价幅度不超过20%．商家在保证手账本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使钥匙扣和手账本平均每天的总获利为300元，则每个钥匙扣的售价为多少元？
21．根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，即：对于任何数a，a2≥0都成立，据此请回答下列问题．
应用：代数式m2﹣1有 　 　值（填“最大”或“最小”）这个值是 　 　．
探究：求代数式n2+4n+5的最小值，小明是这样做的：
n2+4n+5＝n2+4n+4+1＝（n+2）2+1∴当n＝﹣2时，代数式有最小值，最小值为1
请你按照小明的方法，求代数式4x2+12x﹣1的最小值，并求此时x的值，
拓展：求多项式x2﹣4xy+5y2﹣12y+15的最小值及此时x，y的值
22．阅读下面的材料：
解方程x4﹣7x2+12＝0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为：y2﹣7y+12＝0，解得y1＝3，y2＝4，当y＝3时，x2＝3，x＝±，当y＝4时，x2＝4，x＝±2．∴原方程有四个根是：x1＝，x2＝﹣，x3＝2，x4＝﹣2，以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
（1）解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0；
（2）已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣3（a2+b2）﹣10＝0，试求a2+b2的值．
参考答案
一．选择题
1．【解答】解：①3x2+7＝0一定是一元二次方程；
②ax2+bx+c＝0，当a＝0时不是一元二次方程；
③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1整理得，3x﹣9＝0，是一元一次方程；
④3x﹣＝0是分式方程．
故选：A．
2．【解答】解：x（2x﹣1）＝x﹣3，
去括号，得2x2﹣x＝x﹣3，
移项、合并同类项，得2x2﹣2x+3＝0．
故选：D．
3．【解答】解：x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，
（x﹣1）2＝2．
故选：D．
4．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，
∴9﹣3k﹣6＝0，
解得k＝1．
故选：B．
5．【解答】解：（x﹣2）2＝4（x﹣2），
移项，得（x﹣2）2﹣4（x﹣2）＝0，
整理，得（x﹣2）（x﹣2﹣4）＝0．
所以x﹣2＝0或x﹣6＝0．
所以x1＝2，x2＝6．
故选：D．
6．【解答】解：A、Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，故A不符合题意；
B、Δ＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，
∴方程x2﹣1＝0有两个不相等的实数根，故B不符合题意；
C、∵x2+x+2＝0，
∴Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴方程x2+x＝﹣2没有实数根，，故C符合题意；
D、∵3x2﹣2x＝0，
∴Δ＝（﹣2）2+4×3×0＝4＞0，
∴方程2x＝3x2有两个不相等的实数根，故D不符合题意；
故选：C．
7．【解答】解：A．若Δ1+Δ2＞0，则Δ1和Δ2中一定有一个大于0，所以两个方程一定有一个有解，所以A选项不符合题意；
B．若Δ1﹣Δ2＜0，则Δ1和Δ2可能都大于0，所以两个方程可能都有解，所以B选项不符合题意；
C．若Δ1 Δ2＜0，则Δ1和Δ2中有一个大于0，一个小于0，所以两个方程有且只有一个方程有解，所以C选项符合题意；
D．若Δ1﹣Δ2＞0，则Δ1和Δ2中可能都小于0，所以两个方程可能都没有实数解，所以D选项不符合题意；
故选：C．
8．【解答】解：∵a＝4，b＝﹣12，c＝﹣3，
∴Δ＝（﹣12）2﹣4×4×（﹣3）＝192＞0，
∴y＝＝＝，
故选：C．
9．【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
x（x﹣1）÷2＝21，
解得x＝7或﹣6（舍去）．
故应邀请7个球队参加比赛．
故选：A．
10．【解答】解：∵n是一元二次方程x2+x＝4的根，
∴n2+n＝4，即n2＝﹣n+4，
∵m、n是一元二次方程x2+x＝4的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣4，
∴2n2﹣mn﹣2m＝2（﹣n+4）﹣mn﹣2m＝﹣2（m+n）﹣mn+8＝2+4+8＝14．
故选：B．
二．填空题
11．【解答】解：∵关于x的方程（k﹣1）x|k|+1+4x﹣5＝0是一元二次方程，
∴k﹣1≠0且|k|+1＝2，
解得：k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．【解答】解：原方程可化为5x+15＝2x2﹣x，
移项、合并同类项得2x2﹣6x﹣15＝0，
故二次项系数是2x2．
故答案是：2x2﹣6x﹣15＝0；2x2．
13．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29．
故答案为：29．
14．【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
根据题意得：100（1﹣x）2＝64，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分率是20%．
故答案为：20%．
15．【解答】解：根据题意得m+n＝1，mn＝﹣2，
所以（m2﹣1）（n2﹣1）
＝m2n2﹣m2﹣n2+1
＝m2n2﹣（m+n）2+2mn+1
＝（﹣2）2﹣12+2×（﹣2）+1
＝4﹣1﹣4+1
＝0．
故答案为：0．
16．【解答】解：∵一元二次方程3x2﹣10x﹣17＝0的两根是x1，x2，
∴，，
∴．
故答案是：．
三．解答题
17．【解答】解：（1）x2﹣8x﹣1＝0；
x2﹣8x+16＝17，
（x﹣4）2＝17，
x﹣4＝±，
x1＝4+，x2＝4﹣．
（2）3x（x﹣1）＝2（x﹣1），
3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，，
（x﹣1）（3x﹣2）＝0，，
x﹣1＝0或3x﹣2＝0，
x1＝1，x2＝．
（3）（2x+3）2＝（3x+2）2，
（2x+3）2﹣（3x+2）2＝0，
（2x+3﹣3x﹣2）（2x+3+3x+2）＝0，
（﹣x+1）（5x+5）＝0，
﹣x+1＝0或5x+5＝0，
x1＝1，x2＝﹣1．
18．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k﹣2）
＝4k2+4k+1﹣4k+8
＝4k2+9＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k﹣2，
∵x1﹣x2＝﹣2k+3，
∴（x1﹣x2）2＝4k2﹣12k+9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4k2﹣12k+9，
∴（2k+1）2﹣4（k﹣2）＝4k2﹣12k+9，
解得k＝0．
19．【解答】解：设CD＝x米，则BC＝（58+2﹣x）米，
依题意得：x（58+2﹣x）＝800，
整理得：x2﹣60x+800＝0，
解得：x1＝20（不符合题意，舍去），x2＝40，
∴58+2﹣x＝58+2﹣40＝20．
答：BC的长应为20米．
20．【解答】解：（1）设商家购买每个钥匙扣的进价是x元，则每个手账本的进价是（10﹣x）元，
根据题意得：×2＝，
解得x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，也符合题意，
∴10﹣x＝10﹣8＝2，
答：商家购买每个钥匙扣的进价是8元，每个手账本的进价是2元；
（2）设每个钥匙扣的售价为m元，
根据题意得：（m﹣8）×（20+×5）+40×（5﹣2）＝300，
整理得：m2﹣25m+154＝0，
解得m1＝11，m2＝14，
∵降价幅度不超过20%，
∴≤20%，
∴m≥12，
∴m＝14，
答：每个钥匙扣的售价为14元．
21．【解答】解：应用：
代数式m2﹣1有最小值，这个值是﹣1，此时m＝0；
故答案为：最小，﹣1；
探究：
∵4x2+12x﹣1＝（2x+3）2﹣10，
∴当2x+3＝0，即x＝﹣时，代数式4x2+12x﹣1的最小值为﹣10；
拓展：
∵x2﹣4xy+5y2﹣12y+15
＝x2﹣4xy+4y2+y2﹣12y+15
＝（x﹣2y）2+（y﹣6）2﹣21，
∴当x﹣2y＝0，y﹣6＝0时，即x＝12，y＝6，多项式x2﹣4xy+5y2﹣12y+15的最小值是﹣21．
22．【解答】解：（1）设y＝x2+x，则y2﹣5y+4＝0，
整理，得
（y﹣1）（y﹣4）＝0，
解得y1＝1，y2＝4，
当x2+x＝1即x2+x﹣1＝0时，解得：x＝；
当当x2+x＝4即x2+x﹣4＝0时，解得：x＝；
综上所述，原方程的解为x1，2＝，x3，4＝；
（2）设x＝a2+b2，则x2﹣3x﹣10＝0，
整理，得
（x﹣5）（x+2）＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣2（舍去），
故a2+b2＝5．