2022年“国庆假期”九年级上册：21.2 解一元二次方程 同步练习（2）（含解析）

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21.2 解一元二次方程 同步练习
一．选择题
1．方程（x+1）2＝9的解为（　　）
A．x1＝2，x2＝﹣4 B．x1＝﹣2，x2＝4
C．x1＝4，x2＝2 D．x1＝﹣2，x2＝﹣4
2．用配方法解一元二次方程x2﹣10x+11＝0，此方程可化为（　　）
A．（x﹣5）2＝14 B．（x+5）2＝14 C．（x﹣5）2＝36 D．（x+5）2＝36
3．一元二次方程（x﹣5）（x+2）＝0的解是（　　）
A．5 B．﹣2 C．﹣5或2 D．5或﹣2
4．用公式法解方程x2+x＝2时，求根公式中的a，b，c的值分别是（　　）
A．a＝1，b＝1，c＝2 B．a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2
C．a＝1，b＝1，c＝﹣2 D．a＝1，b＝﹣1，c＝2
5．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是（　　）
A． B．
C． D．
6．当b+c＝1时，关于x的一元二次方程x2+bx﹣c＝0的根的情况为（　　）
A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
7．关于x的方程kx2﹣6x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥9 B．k＜9 C．k≤9且k≠0 D．k＜9且k≠0
8．若x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
二．填空题
9．一元二次方程x2﹣7x+10＝0的解为 　 　．
10．方程x2﹣2x＝0的判别式Δ＝　 　．
11．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k＝　 　．
12．一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，则k的值是 　 　．
13．已知实数a、b满足（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，则a2+b2＝　 　．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）＝　 　．
三．解答题
15．按照指定方法解下列方程：
（1）16x2+8x＝3（公式法）；
（2）2x2+5x﹣1＝0（配方法）；
（3）6﹣2y＝（y﹣3）2（因式分解法）．
16．解下列方程：
（1）4（1+x）2＝9（直接开平方法）；
（2）x2+4x+2＝0（配方法）；
（3）3x2+2x﹣1＝0（公式法）；
（4）（2x+1）2＝﹣3（2x+1）（因式分解法）．
17．关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根为1，求m的值．
18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1则方程x2+x＝0是“邻根方程”．
（1）（2分）通过计算，判断下面的方程是否为“邻根方程”：
①x2﹣x﹣6＝0；
②2x2﹣2x+1＝0．
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值．
19．为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2﹣1＝1，所以；
当y＝4时，x2﹣1＝4，所以．
所以原方程的根为，，，．
以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程：
（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4；
（2）x4+x2﹣12＝0．
20．阅读理解
先阅读下面的内容，再解决问题．
例题：若m2+2m+n2﹣4n+5＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2m+n2﹣4n+5＝0，
∴m2+2m+1+n2﹣4n+4＝0．
∴（m+1）2+（n﹣2）2＝0．
∴m+1＝0，n﹣2＝0．
∴m＝﹣1，n＝2
问题：
（1）若x2+2y2+2xy﹣6y+9＝0，求xy的值；
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2+c2＝ab+bc+ac，请判断△ABC的形状．
参考答案
一．选择题
1．【解答】解：（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
所以x1＝2，x2＝﹣4．
故选：A．
2．【解答】解：∵x2﹣10x+11＝0，
∴x2﹣10x＝﹣11，
则x2﹣10x+25＝﹣11+25，即（x﹣5）2＝14，
故选：A．
3．【解答】解：方程（x﹣5）（x+2）＝0，
所以x﹣5＝0或x+2＝0，
解得：x＝5或x＝﹣2．
故选：D．
4．【解答】解：将方程整理得：x2+x﹣2＝0，
这里a＝1，b＝1，c＝﹣2，
故选：C．
5．【解答】解：一元二次方程的求根公式为x＝，
故选：A．
6．【解答】解：∵b+c＝1，
∴c＝1﹣b，
∴Δ＝b2﹣4×（﹣c）＝b2+4（1﹣b）＝（b﹣2）2≥0，
∴方程有两个实数解．
故选：A．
7．【解答】解：∵关于x的方程kx2﹣6x+1＝0有两个实数根，
∴k≠0，Δ＝（﹣6）2﹣4k×1≥0，
解得：k≤9且k≠0．
故选：C．
8．【解答】解：
＝
＝
＝2．
故选：A．
二．填空题
9．【解答】解：∵x2﹣7x+10＝0，
∴（x﹣5）（x﹣2）＝0，
解得x1＝5，x2＝2．
故答案为：x1＝5，x2＝2．
10．【解答】解：根据题意，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4．
故答案为：4．
11．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
即4﹣4k＝0，
解得k＝1，
故答案为：1．
12．【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，
∴x2﹣4x＝﹣3，
∴x2﹣4x+4＝﹣3+4，
∴（x﹣2）2＝1，
∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0配方为（x﹣2）2＝k，
∴k＝1，
故答案为：1．
13．【解答】解：（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，
设a2+b2＝x，则原方程化为x2﹣x﹣2＝0，
解得：x＝2或﹣1，
当x＝2时，a2+b2＝2，
当x＝﹣1时，a2+b2＝﹣1，
∵不论a、b为何值，a2+b2都不能为负数，
∴此时不符合题意，舍去，
即a2+b2＝2，
故答案为：2．
14．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根分别为α、β，
∴α+β＝2，αβ＝﹣3，
∴（α+3）（β+3）＝αβ+3（α+β）+9＝﹣3+3×2+9＝12，
故答案为：12．
三．解答题
15．【解答】解：（1）方程整理得：16x2+8x﹣3＝0，
这里a＝16，b＝8，c＝﹣3，
∵Δ＝64﹣4×16×（﹣3）＝256，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝﹣；
（2）方程整理得：x2+x＝，
配方得：x2+x+＝+，即（x+）2＝，
开方得：x+＝±，
解得：x1＝﹣+，x2＝﹣﹣；
（3）方程整理得：（y﹣3）2+2（y﹣3）＝0，
分解因式得：（y﹣3）（y﹣3+2）＝0，
所以y﹣3＝0或y﹣1＝0，
解得：y1＝3，y2＝1．
16．【解答】解：（1）4（1+x）2＝9，
（1+x）2＝，
1+x＝±，
x1＝﹣，x2＝﹣．
（2）x2+4x+2＝0，
x2+4x+4＝2，
（x+2）2＝2，
x+2＝±，
x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．
（3）3x2+2x﹣1＝0，
a＝3，b＝2，c＝﹣1，
Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣1）
＝4+12
＝16，
x＝，
x1＝﹣1，x2＝．
（4）（2x+1）2＝﹣3（2x+1），
（2x+1）2+3（2x+1）＝0，
（2x+1）（2x+1+3）＝0，
x1＝﹣，x2＝﹣2．
17．【解答】（1）证明：∵Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，
∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0恒有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意，得
12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0，
解得，m＝2．
18．【解答】解：（1）①x2﹣x﹣6＝0，
即（x﹣3）（x+2）＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣2，
∵3﹣（﹣2）＝5≠1，
∴一元二次方程x2﹣x﹣6＝0不是“邻根方程”；
②方程2x2﹣2x+1＝0的两个根是x1＝，x2＝，
即x1＝，x2＝，
∵﹣＝1，
∴一元二次方程2x2﹣2x+1＝0是“邻根方程”；
（2）x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0，
即（x+1）（x﹣m）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝m．
∵关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，
∴﹣1﹣m＝1或m﹣（﹣1）＝1，
∴m＝﹣2或m＝0，
∴m的值为﹣2或0．
19．【解答】解：（1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4，
设x2﹣x＝a，则原方程可化为a2﹣4a+4＝0，
解此方程得：a1＝a2＝2，
当a＝2时，x2﹣x＝2，即x2﹣x﹣2＝0，
因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1，
所以原方程的解是x1＝2，x2＝﹣1；
（2）x4+x2﹣12＝0，
设x2＝y，则原方程化为y2+y﹣12＝0，
因式分解，得（y﹣3）（y+4）＝0，
解得：y1＝3，y2＝﹣4，
当y＝3时，x2＝3，解得：x＝；
当y＝﹣4时，x2＝﹣4，无实数根，
所以原方程的解是x1＝，x2＝﹣．
20．【解答】解：（1）∵x2+2y2+2xy﹣6y+9＝0，
∴（x2+2xy+y2）+（y2﹣6y+9）＝0，
∴（x+y）2+（y﹣3）2＝0，
∵（x+y）2≥0，（y﹣3）2≥0，
∴x+y＝0，y﹣3＝0，
解得：y＝3，x＝﹣3，
则xy＝（﹣3）3＝﹣27；
（2）∵a2+b2+c2＝ab+bc+ac，
∴2a2+2b2+2c2＝2ab+2bc+2ac，
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，（a﹣c）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
则△ABC是等边三角形，