(共16张PPT)
第 三 章 圆
九年级数学 下 BS
6 直线和圆的位置关系
第1课时 切线的性质定理
直线与圆的位置关系量化揭密
直线和圆相交
d r;
d r;
直线和圆相切
直线和圆相离
d r;
●O
●O
相交
●O
相切
相离
r
r
r
┐d
d
┐
d
┐
<
=
>
新知导入
直线和圆有唯一公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.
如图,直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样的位置关系 说说你的理由.
猜测：直径AB垂直于直线CD.
驶向胜利的彼岸
老师期望:
圆的对称性已经在你心中落地生根.
小颖的理由是:
∵右图是轴对称图形,AB是对称轴,
∴沿直线AB对折图形时,AC与AD重合,因此,∠BAC=∠BAD=90°.
C
D
B
●O
A
探索切线性质
探索新知
探索切线性质
小亮的理由是:直径AB与直线CD要么垂直,要么不垂直.
假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M,
驶向胜利的彼岸
老师期望:
你能看明白(或掌握)用反证法说理的过程.
则OMC
D
B
●O
A
所以AB与CD垂直.
M
切线的性质定理
参考小颖和小亮的说理过程,请你说出这个命题
议一议
驶向胜利彼岸
老师提示:
切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一.
如图
∵CD是⊙O的切线，,A是切点,OA是⊙O的半径,∴CD⊥OA.
C
D
B
●O
A
定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
C
D
B
●O
A
直线CD是⊙O的切线
OA为⊙O的半径
0A与直线CD相交于切点
CD⊥OA
这里过切点的半径也可以是过切点的直径，也可以是过切点和圆心的直线.
切线的性质定理
归纳总结
切线的性质定理的应用
典例精析
切线的性质定理的应用
1.直线BC与半径为r的⊙O相交,且点O到直线BC的距离为5,求r的取值范围.
r
B
C
●O
运用新知
2.一枚直径为d的硬币沿直线滚动一圈.圆心经过的距离是多少
老师提示:硬币滚动一圈,圆心经过的路经是与直线平行的一条线段,其长度等于圆的周长.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
驶向胜利的彼岸
3.已知: 如图,P是⊙O外一点,PA,PB都是⊙O的切线,A、B是切点.请你观察猜想,PA,PB有怎样的关系 并证明你的结论.
A
B
P
●O
4.由1所得的结论及证明过程,你还能发现那些新的结论 如果有,仍请你予以证明.
老师提示:根据这个结论写出的命题称为切线长定理及其推论.
课堂小结
完成本课时的习题。
课后作业(共18张PPT)
第 三 章 圆
九年级数学 下 BS
6 直线和圆的位置关系
第2课时 切线的判定定理
下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．
1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？
2 砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向？
生活中的数学
新知导入
O
P
Q
探究：
在⊙O中，
作任一条半径OP，
过点P作PQ⊥OP
PQ是⊙O的切线
已知⊙O ，过点P你能作出它的一条切线吗？你是怎样判断这条直线是⊙O的切线的？
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.
条件：
(1)经过半径的外端；
圆的切线判定定理：
(2)垂直于过该点半径；
● O
┐
A
l
∵l⊥OA，且l 经过⊙O上 的A点
∴直线l是⊙O的切线
符号语言表达
探索新知
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第二级
第三级
第四级
第五级
×
×
×
O
r
l
A
O
r
l
A
O
r
l
A
● O
┐
A
l
精彩源于发现
请你总结一下：圆的切线的判定有几种方法？
如何判定一条直线是已知圆的切线？
(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的
切线；
(3)过半径外端点且垂直于半径的直线是
圆的切线；
(d=r)
归纳总结
请你参加
脑筋转转转
1、矩形的两边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半圆相切的线段最多有（ ）
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条
D
2、已知如图△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，AB为直径,还需添加的条件是＿＿＿＿＿ .使得EF是⊙O的切线.
F
E
C
O
B
A
②直线EF到圆心的距离等于⊙O的半径
③EF⊥AB
①直线EF与⊙O只有一个交点A
可添加：
O
B
A
C
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明＿＿＿ 即可.
证明：连结OC(如图).
∵ 在△OAB中 OA＝OB,CA＝CB,
∴ AB⊥OC.
又∵直线AB经过⊙O上的点C
∴ AB是⊙O的切线.
例1 已知：直线AB经过⊙O上的点C，且OA=OB,CA=CB，求证：直线AB是⊙O的切线.
AB⊥OC
典例精析
例2
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,
以O为圆心，OD为半径作⊙O.
求证：⊙O与AC相切.
O
A
B
C
E
D
证明：过O作OE⊥AC，垂足为E.
∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB
∴ OE＝OD,OE⊥AC
∵ OD是⊙O的半径
∴ OE是⊙O的半径
∴ AC是⊙O的切线.
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第二级
第三级
第四级
第五级
O
B
A
C
O
A
B
C
E
D
随时清点知识是我们胜
利的法宝噢
1、已知：P为⊙O外一点，以OP为直径作圆交⊙O于A、B两点，连接PA、PB.那么PA、PB是⊙O的切线吗？
A
证明：连接OA，OB
∵OP是直径 ∴∠PAO=∠PBO=90
（直径所对的圆周角是直角） ∴PA，PB是圆O的切线
（圆心到直线的距离为半径，就是切线）
●O
● P
B
运用新知
证明：连结OP.
∵ AB为直径
∴ OB=OA，BP=PC，
∴OP∥AC.
又∵ PE⊥AC，
∴PE⊥OP.
∴PE为⊙0的切线.
2、如图,△ABC中，以AB为直径的⊙O交边BC于P， BP=PC, PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.
O
A
B
C
E
P
1. 判定切线的方法有哪些？
直线l
与圆有唯一公共点
与圆心的距离等于圆的半径
经过半径外端且垂直这条半径
l是圆的切线
2. 证明圆的切线常用辅助线作法：
⑴连半径，证垂直
⑵作垂直，证半径
l是圆的切线
l是圆的切线
课堂小结
完成本课时的习题.
课后作业(共18张PPT)
第 三 章 圆
九年级数学 下 BS
6 直线和圆的位置关系
第3课时 三角形的内切圆
1、确定圆的条件是什么？
(1)圆心与半径
2、叙述角平分线的性质定理与判定定理。
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
(2)不在同一直线上的三点
(1)△ABC是圆O的内接三角形；
(2)圆O是△ABC的外接圆
(3)圆心O点叫△ABC的外心
A
C
B
O
3、下图中△ABC与圆O有怎样的关系？
新知导入
探索与思考
如图是一张三角形的铁皮，工人师傅要从中截下一块圆形的用料，怎样才能使截下的圆的面积尽可能大呢？
探索新知
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
请你猜测
第一种情况
第二种情况
第三种情况
第四种情况
A
B
C
问题:在这块三角形铁皮上还能截下更大的圆吗
思考下列问题：
1．如图1，如果⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？
圆心0在∠ABC的平分线上。
2．如图2，如果⊙O与△ABC的内角∠ABC的两边相切，且与内角∠ACB的两边也相切，那么⊙O的圆心在什么位置？
圆心0在∠ABC与∠ACB两个角的角平分线的交点上。
O
M
A
B
C
N
O
图2
A
B
C
探究：三角形内切圆的作法
图1
3．如何确定一个与三角形的三边都相切的圆的圆心的位置与半径的长？
4．你能作出几个与一个三角形的三边都相切的圆？
作出三个内角的平分线，三条内角平分线相交于一点，这个点就是符合条件的圆心，过圆心作一边的垂线，垂线段的长是符合条件的半径。
只能作一个，因为三角形的三条内角平分线相交只有一个交点。
I
F
C
A
B
E
D
探究：三角形内切圆的作法
探究：三角形内切圆的作法
M
N
D
作法：
1、作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2、过点O作OD⊥BC，垂足为D.
3、以O为圆心，OD为半径作⊙O.
⊙O就是所求的圆.
和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆
三角形叫圆的外切三角形
1、作三角形的内切圆的步骤:
作角平分线→定内心→定半径→作圆
2、定义：
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心叫做三角形的内心，
这个三角形叫做圆的外切三角形。
获取新知
3、三角形内心的性质
①三角形的内心是三角形角平分线的交点
②三角形的内心到三边的距离相等
③三角形的内心一定在三角形的内部
④内心与顶点连线平分内角。
我能行
判断题：
1. 三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等.
( )
2. 三角形的外心到三角形各边的距离相等.( )
3. 等边三角形的内心和外心重合. ( )
4. 三角形的内心一定在三角形的内部. ( )
×
×
√
√
图形 圆心的确定方法 圆心名称 性质
三角形三边垂
直平分线的
交点
1.OA=OB=OC
2.外心不一定在三角形的内部．
三角形三个
内角平分
线的交点
1.内心到三角形三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.内心一定在三角形内部．
三角形的外接圆与内切圆比较
外心：三角
形外接圆
的圆心
内心：三角
形内切圆
的圆心
如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB＝75°，
点O是内心，求∠BOC的度数。
∠BOC=
∠1 + ∠3=
O为△ABC的内心
BO是∠ABC的角平分线
CO是∠ACB的角平分线
分析：
O
A
2
4
3
B
C
1
运用新知
解 ：∵点O为△ABC的内心
∴∠1＝∠2＝
∴∠BOC =1800 - (∠1+∠3)
=1800 - (250+37.50)
=117.50
∴ ∠BOC=117.50
三角形内心性质的应用
O
A
2
4
3
B
C
1
变式1：在△ABC中，点O是内心，
∠BAC=50°，求∠BOC的度数。
变式2：在△ABC中，点O是内心，
∠BOC=120°，求∠BAC的度数。
试探讨∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？
请说明理由．
1
∠BOC =90°
∠A
2
+
精彩源于发现
O
A
2
4
3
B
C
1
三角形内切圆的做法.
三角形内心，圆的外切三角形的概念.
三角形内心到三角形三边距离相等.
学会了用代数方法解决几何问题.
思想方法：类比的思想方法；利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运用；在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。
课堂小结
完成本课时的习题.
课后作业
