一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）1.判别式： 一元二次方程 ，根的判别式为：△=b2-4ac 作用:不解方程判断根的情况,解决与根的情况有关的问题. 主要内容: 判别式的值 根的情况 △ ＞0 有两个不相等的实根 △＝0 有两个相等的实根 △＜0 没有实数根 2.根与系数的关系（韦达定理）（1）韦达定理：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，那么特殊情况：当a=1时，x2+px+q=0 ,x1+ x2= -p,x1 x2=q（2） 以x1, x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2 –(x1+ x2)x+ x1 x2=0①定理成立的条件 ②注意公式重的负号与b的符号的区别.3. ， ，， ，， 4. 在的条件下，我们有如下结论：⑴当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根．更一般的结论是：
若，是的两根（其中），且为实数，当时，一般地：① ，② 且，③ 且，特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件．典例精讲 例1.已知关于的方程，取何值时，此方程（1）有两个实数根；（2）有实数根.练习：当为什么值时，关于的方程有实根.例2：若是方程的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ．练习：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4，求另一个根。例3：已知关于x的方程x2+2mx+m+2=0,求:(1)m为何值时,方程的两个根一个大于0,另一个小于0;(2)m为何值时,方程的两个根都是正数;(3)m为何值时,方程的两个根一个大于1,另一个小于1. 例4：已知关于x的方程 （1）求证方程必有两个相异实数根；（2）a取何值时，方程有两个正根；（3）a取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大； （4）a取何值时，方程至少有一个根为零？课堂检测 1．（★★）若是方程的两个根，则的值为( ) A． B． C． D．2．（★★★）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于( ) A． B． C． D．3．（★★★）若实数，且满足，则代数式的值为( ) A． B． C． D．4．（★★★）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．5．（★★★）若方程的两根之差为1，则的值是 _____ ．6．（★★★）设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= _____ ，= _____ ．7．（★★★）已知关于的一元二次方程．(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为，且满足，求的值．8．（★★★）已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长． (1) 取何值时，方程存在两个正实数根？(2) 当矩形的对角线长是时，求的值．9. （★★★）设一元二次方程的根满足下列条件，试求实数k的取值范围。两根均大于1；（2）一根大于1，另一根小于1。初升高衔接-专题：乘法公式与因式分解知识梳理 一、乘法公式：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；（2）完全平方公式 ．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；（2）立方差公式 ；（3）三数和平方公式 ；二、因式分解：1、提取公因式2、公式法3、十字相乘法4、分组分解法典例精讲 第一部分：乘法公式（1）计算：．（2）已知，，求的值．（3）已知，求的值．课堂检测1．不论，为何实数，的值 （ ） （A）总是正数 （B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数2．已知，求的值．第二部分：因式分解已知多项式有一个因式是，求的值。把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）．课堂检测分解因式：．．已知有因式2x－5，把它分解因式． （韦达定理）已知a、b是一元二次方程x2－2x－1=0的两个实数根，则代数式（a－b）（a+b－2）+ab的值等于 ．已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m= ，另一个根是 ．若x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，则x12+x22= ．已知一元二次方程y2﹣3y+1=0的两个实数根分别为y1、y2，则（y1﹣1）（y2﹣1）的值为 ．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2－2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为 ．若x1、x2是方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则x12+x1x2+x22= ．7.若关于x的一元二次方程x2—4x＋k—3＝0的两个实数根为x1、x2，且满足x1＝3x2，试求出方程的两个实数根及k的值．8. 关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．9. 阅读材料：如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，那么， ，．这就是著名的韦达定理．现在我们利用韦达定理解决问题：已知m与n是方程2x2﹣6x+3=0的两根（1）填空：m+n= ，m n= ；（2）计算的值．10. 已知关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值．11. 已知：x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+1的两个实数根．求：（x1+x2）2÷（）的值．附加一、单选题1．（2020·全国·九年级期中）一元二次方程x2﹣6x+1＝0配方后变形正确的是（ ）A．（x﹣3）2＝35 B．（x﹣3）2＝8 C．（x+3）2＝8 D．（x+3）2＝352．（2020·全国·九年级期中）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A． B．C． D．3．（2022·贵州毕节·一模）一元二次方程x2+mx+1＝0有实数根，不等式组有解，则m应满足的条件是（ ）A．m≥2 B．m≤﹣2C．m≤﹣2或2≤m＜3 D．2≤m＜34．（2022·安徽·合肥寿春中学三模）某汽车厂4月生产新能源电动汽车2万台，计划5，6月份共生产新能源电动汽车4.5万台，设5、6月平均每月增长率为，下列所列方程正确的是（ ）A． B．C． D．5．（2022·山东淄博·九年级期中）若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为（ ）A．2022 B．2020 C．2019 D．20216．（2022·吉林长春·模拟预测）关于x的一元二次方程没有实数根；则m的值可能是（ ）A．－2 B．0 C．3 D．57．（2022·重庆·西南大学附中八年级期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）A．0 B．2 C．4 D．68．（2022·山东·宁津县教育和体育局教育科学研究所二模）如图1，将一张长20cm，宽10cm的长方形硬纸片裁剪掉图中阴影部分之后，恰好折成如图2的有盖长方体纸盒，纸盒底面积为，则该有盖纸盒的高为（ ）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm9．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知关于x的一元二次方程的两实数根为，且满足，则的值为（ ）A．4 B．-4 C．4或-2 D．-4或210．（2022·江苏扬州·二模）已知实数a，b同时满足，则b的值是（ ）A．2或 B．2 C．或6 D．二、填空题11．（2022·湖北鄂州·二模）一元二次方程x2－2x－6＝0的两根分别为x1，x2，则x12＋x22的值为______．12．（2022·江苏·靖江市教师发展中心二模）若，是一元二次方差的两根，则______．13．（2022·江苏扬州·二模）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为______．14．（2022·上海·八年级专题练习）二元二次方程x2﹣2xy﹣8y2＝0可以化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是_____ 或_____．三、解答题15．（2020·全国·九年级期中）已知关于x的一元二次方程mx2+4x+4﹣m＝0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m的值；16．（2022·湖南永州·二模）已知关于x的一元二次方程x2 (k+1)x+2k 3=0．(1)当k=3时，求一元二次方程x2 (k+1)x+2k 3=0的解；(2)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根．17．（2022·北京门头沟·二模）已知关于x的二次方程有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)如果m为正整数，求此方程的根．18．（2022·北京西城·二模）已知关于x的一元二次方程．(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；(2)若m为整数，且此方程的两个根都是整数，写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的两个根．
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