一元二次不等式的解法知识梳理 一元二次不等式的解法：探究：我们来考察它与其所对的二次函数及二次方程的关系1.当或时，，即在轴上方；2.当或时，，即在轴上；3.当时，，即在轴下方. 其中，是二次函数与轴的交点，是二次方程的两根.探究得出：结合图像知不等式的解集是 思考：那么对于一般的不等式 或又怎样去寻求解集呢？请同学们思考下列问题：如果相应的一元二次方程分别有两实根、惟一实根，无实根的话，其对应的二次函数的图像与x轴的位置关系如何？小结：现在请同学们观察表中的二次函数图，并写出相应一元二次不等式的解集。二次函数的图像的根的解集的解集总结：1．解一元二次不等式的步骤：（1） 把二次项的系数变为正的．（如果，那么在不等式两边都乘以，把系数变为正）（2） 解对应的一元二次方程．（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）（3） 求解一元二次不等式．（根据一元二次方程的根及不等式的方向）2．当且时，定一元二次不等式的解集的口诀：“小于号取中间，大于号取两边” ．同步题型分析：例1.（1）求不等式的解集（2）解不等式.试一试：解下列不等式（1） （2）例2. 解不等式.例3. 解不等式.试一试：解下列不等式（1） （2）例4.已知函数，在R上恒成立，求的取值范围.例5. 为何值时，关于的一元二次不等式的解集为一切实数？例6. 已知不等式的解是求不等式的解．解：由不等式的解为，可知，且方程的两根分别为2和3，∴，即 ．由于，所以不等式可变为 ，即 －整理，得 所以，不等式的解是 x＜－1，或x＞．练习：关于x的不等式的解为求关于x的不等式的解．答案：（）课堂检测1. 不等式的解集是( D )A． B．C． D．2 解下列不等式： （1） (2)(3) (4)3、若不等式对一切成立，则的范围是 (-2,2) 课后作业1. 若代数式的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是 。2. 解下列不等式：（1） （2）（3） （4）（5） （6）3、为何值时，关于的一元二次不等式的解集为？4、为何值时，关于的不等式的解集为？题型一：双二次方程例1：解方程【答案】解：设． 则原方程变形为 ． 解方程得，． 由，得, 解得 ． 由，得, 解得 所以，原方程的解是,,,.练习：解方程：【答案】解：设 则原方程变形为 解方程得，． 由，得, 解得,． 由，得, 解得. 所以，原方程的解是,,.题型二：因式分解法解高次方程:例2：解方程：．【答案】解：方程可变形为 ．得或或． 解得, 或或． 所以,方程的根是,,.练习：解方程：．【答案】解：原方程整理,得． 方程左边分解因式,得 解方程,得课堂练习： 1.； 2. 3. 4. 5. 答案:1. ;2. ;;4. ;5. 题型三：高次不等式解法：（穿根法）高次不等式：数轴标根法（奇穿偶回）左边因式最高次数化为正数，因式分解求出根，在数轴上由小到大标示出这些根，符号必相反，通过判断区间里的符号，求出区间范围如：若，则不等式或的解法如下图（即“数轴标根法”）：例1：解不等式： 练习：课后练习题型一：运用图象法解一元二次不等式1．（2022·湖南邵阳·三模）如图，抛物线的对称轴是，与轴的一个交点为，则不等式的解集为___________．【答案】﹣3＜x＜5解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），根据抛物线的对称性知，抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x＝1对称，即抛物线y＝ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（﹣3，0）关于直线x＝1对称，∴另一个交点的坐标为（5，0），∵不等式ax2+bx+c＞0，即y＝ax2+bx+c＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+c的图形在x轴上方，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣3＜x＜5．故答案为﹣3＜x＜5．2．（2021·湖北孝感·九年级阶段练习）如图，抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是________．【答案】 解：∵不等式ax2﹣kx＋c＜b可变形为，∴图象上抛物线在直线下方时对应x的范围即为不等式的解集，观察函数图象可知：当时，抛物线在直线的下方，∴不等式ax2﹣kx＋c＜b的解集为，故答案为：．3．（2022·江西·新余四中九年级期末）如图，一次函数的图像与二次函数的图像相交于点，则解集是_______．【答案】 解：根据，当时，直线在抛物线下方，故关于的不等式的解集是：，故答案为：．4．（2021·江苏·淮阴中学新城校区一模）抛物线的部分图像如图所示，则不等式的解集为______． 【答案】x＜-3或x＞1解：∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，该抛物线与x轴的一个交点为（1，0），∴该抛物线与x轴的另一个交点为（-3，0）又∵抛物线开口向上∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜-3或x＞1．故答案为：x＜-3或x＞1．5．（2021·甘肃·金昌市第五中学八年级期末）已知二次函数．(1)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图像；(2)根据图像，写出当y时，的取值范围．【答案】(1)见解析；(2)．【解析】（1）列表：x……-10123…………-3010-3……先描点，然后再连线画出函数图像如图所示：(2)根据图像可知，当y＞0时，x的取值范围：．6．（2022·湖南长沙·九年级期末）已知二次函数．(1)求出该函数图象的顶点坐标；(2)试画出该函数的草图，并说明二次函数的图象是由的图象先向______平移______个单位，再向______平移______个单位得到；(3)结合图象直接写出当时，自变量的取值范围．【答案】(1)（-1，-1）(2)图见解析，左、1、下、1(3)自变量x的取值范围为全体实数【解析】(1)解：∵y＝﹣x2﹣2x﹣2＝﹣（x+1）2﹣1，∴该函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣1）；(2)解：画出该函数的草图如下：二次函数y＝﹣x2﹣2x﹣2的图象是由y＝﹣x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到；故答案为：左，1；下，1；(3)解：观察图象可知：当y＜0时，自变量x的取值范围为全体实数．7．（2022·江西上饶·九年级期末）抛物线的图象与轴交于，两点，利用图象解答下列问题：(1)点，的坐标分别是______，_____；(2)若函数值，则的取值范围是______；(3)函数值的最小值是______；【答案】(1)(﹣2，0)，(2，0)(2)或(3)﹣4【解析】(1)由图象可得，A点坐标为(﹣2，0)，∵抛物线的对称轴为y轴，∴点A和点B关于y轴对称，∴点B的坐标为(2，0)，故答案为：(﹣2，0)，(2，0)．(2)由图象可得，当函数值y＞0时，表示的是x轴上方的图象，∵A点坐标为(﹣2，0)，点B的坐标为(2，0)，∴x的取值范围是或．故答案为：或．(3)由图象可得，抛物线的最低点坐标为(0，﹣4)，∴函数值y的最小值是﹣4．8．（2022·河南新乡·一模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点．(1)求抛物线的解析式；(2)结合图象直接写出不等式的解集；(3)若点，都在抛物线上，当时，求的取值范围．【答案】(1)(2)或(3)或(1)令，则 令，则将A、B分别代入得 解得 抛物线的解析式为；(2)直线与抛物线交于A、B两点或时，；(3)将代入抛物线解析式，得 ，，将代入抛物线解析式，得 解得 。。根据图象，当时，或．题型二：运用因式分解法解一元二次不等式1．（2022·湖南·高一课时练习）解不等式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)或；(2)；(3)，，；(4)，，．【解析】(1)不等式可化为，即，解得或，∴原不等式的解集为或；(2)不等式可化为，解得，∴不等式的解集为；(3)不等式化为，即，解得，即或，∴原不等式的解集为，，；(4)不等式可化为，即，解得，即或，∴原不等式的解集为，，．2．（2022·湖南·高一课时练习）解下列一元二次不等式：(1)； (2)； (3)； (4)；(5)； (6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)或【解析】(1)二次方程有二重根，则不等式的解集为(2)二次方程有二根，则不等式的解集为(3)不等式可化为由可知，二次方程无根， 则不等式的解集为故不等式的解集为(4)不等式可化为二次方程有二根，则不等式的解集为故不等式的解集为(5)不等式可化为二次方程有二根，则不等式的解集为故不等式的解集为(6)不等式可化为二次方程有二根，则不等式的解集为或故不等式的解集为或3．（2022·湖南·高一课时练习）解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)或(6)或【解析】(1)由题意，令，故解得：不等式解集为(2)由题意，对应的二次函数开口向上，且故恒成立，解集为(3)由题意，对应的二次函数开口向上，故恒成立，故不等式的解集为(4)由题意，故故不等式的解集为(5)由题意，令，故故不等式的解为或即不等式的解集为或(6)由题意，令解得或故不等式的解集为或题型三：最高项系数含参从0开始讨论1．解关于的不等式解：关于x的不等式可化为（1）当时，，解得．（2）当，所以所以方程的两根为-1和， 当，即时，不等式的解集为或}，当，即时，不等式的解集为．当，即时，不等式的解集为或}，．（3）当时，因为方程的两根为—1和，又因为，所以．即不等式的解集是，综上所述：当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为或当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为或}，2．解关于的不等式().∵f(x)
0时，ax2+(1-a)x-1<0 (ax+1)(x-1)<0，此时方程(ax+1)(x-1)=0的解分别为-，1，∵-<1，∴不等式的解集为{ x1，此时不等式的解集为{ x或x<1}；③当a<-1时，-<1，此时不等式的解集为{ x或x<}3．解关于的不等式当时，，不等式的解集为；当时，由可得；方程的根为，2，当时，，不等式的解集为}；当时,当时，即，不等式的解集为；当时，即，不等式的解集为或}；当时，即，不等式的解集为或.题型四：两根大小不确定，从两根相等开始讨论1．求关于的不等式的解集，其中是常数；【答案】当时，不等式的解集为；当或者时，不等式的解集为 ；当或者时，不等式的解集为．解：因为，所对应的方程有两个根、；若，即，解得或，当时原不等式即为，解得；当时原不等式即为，解得；若，即，解得，此时不等式，解得，即不等式的解集为；若，即，解得或，此时不等式，解得，即不等式的解集为；综上可得：当或时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为；2．解关于的不等式：． ∵ 方程的两根为 ① 当时，有； ② 当时，； ③ 当时，有. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为．3．解关于的不等式.由，∴当时，解集为；当时，无解；当时，解集为；4．若，解关于的不等式．【答案】原不等式等价于，因，则，即，于是解得：，所以原不等式的解集为.5．解关于的不等式．解析：，则当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.
8一元二次不等式的解法知识梳理 一元二次不等式的解法：探究：我们来考察它与其所对的二次函数及二次方程的关系1.当或时，，即在轴上方；2.当或时，，即在轴上；3.当时，，即在轴下方. 其中，是二次函数与轴的交点，是二次方程的两根.探究得出：结合图像知不等式的解集是 思考：那么对于一般的不等式 或又怎样去寻求解集呢？请同学们思考下列问题：如果相应的一元二次方程分别有两实根、惟一实根，无实根的话，其对应的二次函数的图像与x轴的位置关系如何？小结：现在请同学们观察表中的二次函数图，并写出相应一元二次不等式的解集。二次函数的图像的根的解集的解集总结：1．解一元二次不等式的步骤：（1） 把二次项的系数变为正的．（如果，那么在不等式两边都乘以，把系数变为正）（2） 解对应的一元二次方程．（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）（3） 求解一元二次不等式．（根据一元二次方程的根及不等式的方向）2．当且时，定一元二次不等式的解集的口诀：“小于号取中间，大于号取两边” ．同步题型分析：例1.（1）求不等式的解集（2）解不等式.试一试：解下列不等式（1） （2）例2. 解不等式.例3. 解不等式.试一试：解下列不等式（1） （2）例4.已知函数，在R上恒成立，求的取值范围.例5. 为何值时，关于的一元二次不等式的解集为一切实数？例6. 已知不等式的解是求不等式的解．练习：关于x的不等式的解为求关于x的不等式的解．课堂检测1. 不等式的解集是( )A． B．C． D．2 解下列不等式： （1） (2) (3) (4)3、若不等式对一切成立，则的范围是 课后作业1. 若代数式的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是 。2. 解下列不等式：（1） （2）（3） （4）（5） （6）3、为何值时，关于的一元二次不等式的解集为？4、为何值时，关于的不等式的解集为？题型一：双二次方程例1：解方程练习：解方程：题型二：因式分解法解高次方程:例2：解方程：．练习：解方程：．课堂练习： 1.； 2. 3. 4. 5. 题型三：高次不等式解法：（穿根法）高次不等式：数轴标根法（奇穿偶回）左边因式最高次数化为正数，因式分解求出根，在数轴上由小到大标示出这些根，符号必相反，通过判断区间里的符号，求出区间范围如：若，则不等式或的解法如下图（即“数轴标根法”）：例1：解不等式： 练习：课后练习题型一：运用图象法解一元二次不等式1．（2022·湖南邵阳·三模）如图，抛物线的对称轴是，与轴的一个交点为，则不等式的解集为___________．2．（2021·湖北孝感·九年级阶段练习）如图，抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是________．3．（2022·江西·新余四中九年级期末）如图，一次函数的图像与二次函数的图像相交于点，则解集是_______．4．（2021·江苏·淮阴中学新城校区一模）抛物线的部分图像如图所示，则不等式的解集为______． 5．（2021·甘肃·金昌市第五中学八年级期末）已知二次函数．(1)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图像；(2)根据图像，写出当y时，的取值范围．6．（2022·湖南长沙·九年级期末）已知二次函数．(1)求出该函数图象的顶点坐标；(2)试画出该函数的草图，并说明二次函数的图象是由的图象先向______平移______个单位，再向______平移______个单位得到；(3)结合图象直接写出当时，自变量的取值范围．7．（2022·江西上饶·九年级期末）抛物线的图象与轴交于，两点，利用图象解答下列问题：(1)点，的坐标分别是______，_____；(2)若函数值，则的取值范围是______；(3)函数值的最小值是______；8．（2022·河南新乡·一模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点和点．(1)求抛物线的解析式；(2)结合图象直接写出不等式的解集；(3)若点，都在抛物线上，当时，求的取值范围．题型二：运用因式分解法解一元二次不等式1．（2022·湖南·高一课时练习）解不等式：(1)；(2)；(3)；(4)．2．（2022·湖南·高一课时练习）解下列一元二次不等式：(1)； (2)； (3)； (4)；(5)； (6)．3．（2022·湖南·高一课时练习）解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．题型三：最高项系数含参从0开始讨论1．解关于的不等式2．解关于的不等式().3．解关于的不等式题型四：两根大小不确定，从两根相等开始讨论1．求关于的不等式的解集，其中是常数；2．解关于的不等式：． 3．解关于的不等式.4．若，解关于的不等式．5．解关于的不等式．
1