(共29张PPT)
4．1 数列的概念
第一课时 数列的概念与简单表示法
[新课程标准]
1．通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式)．
2．了解数列是一种特殊函数．
3．通过掌握数列的概念及表示，培养学生数学抽象、逻辑推理的核心素养．
知识点一 数列及其有关概念
(一)教材梳理填空
1．数列的定义及表示
(1)定义：一般地，按照确定的 排列的一列数称为数列．
(2)项：数列中的 叫做这个数列的项．第一个位置上的数叫做这个数列的第1项(或称为 )，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项．
(3)数列的表示：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为 ，其中n∈N*.
顺序
每一个数
首项
{an}
2．数列与函数的关系
从函数观点看，数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的 ，其自变量是 ，对应的函数值是数列的第n项 ，记为________．
函数
序号n
an
an＝f(n)
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}． ( )
(2)数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列． ( )
(3)数列的项可以相等． ( )
(4)数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列． ( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
知识点二 数列的分类与通项公式
(一)教材梳理填空
1．数列的分类
2．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的 之间的对应关系可以用 来表示，那么这个 叫做这个数列的通项公式．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)数列1,1,1，…是无穷数列． ( )
(2)所有的自然数构成的数列均为递增数列． ( )
(3)有些数列没有通项公式． ( )
答案：(1)√ (2)× (3)√
序号n
一个式子
式子
题型一 数列的概念及分类
[学透用活]
(1)数列的定义中要把握两个关键词：“确定的顺序”与“一列数”．也就是说，构成数列的元素是数，并且这些数是按照“确定的顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置上．
(2)数列的项与它的项数是两个不同的概念：项是指出现在这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值，即an＝f(n)；项数是指这个数列共有多少项．
[典例1] 下列说法正确的是 ( )
A．{0,1,2,3,4,5}是有穷数列
B．所有有理数能构成数列
C．－2，－1,1，x,3,4,5是一个项数为7的数列
D．数列1,2,3,4，…，2n是无穷数列
[解析] 紧扣数列的有关概念，验证每一个说法是否符合条件．因为{0,1,2,3,4,5}是集合，而不是数列，故A错误；所有有理数能构成数列，故B正确；当x代表数时，它是项数为7的数列；当x不代表数时，它不是数列，故C错误；数列1,2,3,4，…，2n，共有2n项，是有穷数列，所以D错误．
[答案] B
1．有穷数列与无穷数列的判断
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列；否则为无穷数列．
2．数列单调性的判断
判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足an
an＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列．
题型二 由数列的前几项求通项公式
[学透用活]
(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数表达式．
(2)像不一定所有的函数关系都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．
(3)掌握以下数列的通项公式：
数列 通项公式
1,2,3,4，… an＝n
1,3,5,7，… an＝2n－1
2,4,6,8，… an＝2n
[方法技巧] 由数列的前几项求通项公式的解题策略
(1)对于分式形式的数列，可以分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．
(2)若第n项和第n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控．
(3)熟悉一些常见数列的通项公式．
(4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．
解析：经代入检验，A、C、D均可以作为已知数列的通项公式．
答案：ACD
2．[与图形有关的通项公式]如图所示的图案中，白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式为________．
解析： 我们把图案按如下规律分解：
这三个图案中白色正六边形的个数依次为6,6＋4,6＋4×2，所以这个数列的一个通项公式为an＝6＋4(n－1)＝4n＋2.
答案：an＝4n＋2
题型三 利用通项公式确定数列的项
[学透用活]
[典例3] 已知数列的通项公式为an＝2n2－n.
(1)求这个数列的第5项，第10项．
(2)试问：15是不是{an}中的项？3是不是{an}中的项？
[解] (1)∵an＝2n2－n，
∴当n＝5时，a5＝2×52－5＝45；
当n＝10时，a10＝2×102－10＝190.
1．利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
2．判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
2．已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.
(1)求实数q的值；
(2)判断－81是否为此数列中的项．
解：(1)由题意知q4－q2＝72，则q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.
(2)当q＝3时，an＝3n，显然－81不是此数列中的项；
当q＝－3时，an＝(－3)n，
令(－3)n＝－81，无解．
∴－81不是此数列中的项．
[课堂思维激活]
一、综合性——强调融会贯通
1．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2 022；
(3)判断2 022是否为数列{an}中的项？
二、应用性——强调学以致用
2．“天干地支纪年法”(也叫农历)源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”……依此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”……依此类推.2021年为“天干地支纪年法”的辛丑年，为了推算公元n年(n为不小于2021的正整数)所在的农历年份，我们定义数列{an}：an＝(n－2 021)÷60的余数．若an＝0，则公元第n年为辛丑年；若an＝1，则公元第n年为壬寅年，依此类推，则 ( )
A．a2 149＝8 B． n∈N*，an＋60＝an
C．an≠am n≠m D．an＝k an＋1＝k＋1
解析：a2 149＝(2 149－2 021)÷60的余数＝128÷60的余数＝8，所以A对；由an的定义得，an＋60＝an，所以B对；假设C的结论不成立，则n＝m，所以an＝am，这与已知an≠am矛盾，所以假设不成立，所以C对；若an＝59，则an＋1＝0，所以D错．
答案：ABC (共34张PPT)
第二课时 数列的通项公式与递推公式
[新课程标准]
1．了解数列的递推公式．
2．了解数列的前n项和Sn与an的关系并应用．
3．通过应用数列的通项公式与递推公式求通项，培养学生逻辑推理、数学运算的核心素养．
知识点一 数列的递推公式
(一)教材梳理填空
如果一个数列的 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)3,3.1,3.14,3.142，…可以写出递推公式． ( )
(2)2,4,6,8,10，…为正偶数组成的数列，其递推公式可以写成：a1＝2，an＋1＝an＋2. ( )
答案：(1)× (2)√
相邻两项或多项
2．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋1，则a5＝ ( )
A．0 B．3
C．5 D．8
解析：利用递推公式可得
a3＝a1＋a2＝1＋2＝3，
a4＝a2＋a3＝2＋3＝5，
a5＝a3＋a4＝3＋5＝8.
答案：D
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)已知数列{an}的前n项和Sn，若Sn＝n2－n，则an＝2n－2. ( )
(2)已知数列{an}的前n项和Sn，若Sn＝3n－2，则an＝2×3n－1. ( )
答案：(1)√ (2)×
2．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝( )
A．1 B．9 C．10 D．55
解析：令n＝9，m＝1，则S9＋S1＝S10，即a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1.
答案：A
3．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为________．
解析：法一：由Sn＝n2，得an＝2n－1，于是a8＝2×8－1＝15.
法二：a8＝S8－S7＝82－72＝15.
答案：15
[提醒] 由递推公式写出数列的项时，易忽视数列的周期的判断，导致陷入思维误区．
题型二 由数列的递推关系求通项公式
[学透用活]
通项公式和递推公式的异同点
不同点 相同点
通项公式 可根据某项的序号n的值，直接代入求出an 都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项
递推公式 可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an，也可通过变形转化，直接求出an (1)给出了递推公式求通项公式，常用的方法有两种：一是从特例入手，归纳猜想其通项公式；二是从一般规律入手，其常用方法有迭代法、累加(乘)法等．
(2)递推公式是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.用递推公式给出一个数列，必须给出以下两点：①基础——数列{an}的第1项或前几项；②递推关系．
[对点练清]
1．[累乘法]若数列{an}满足(n－1)an＝(n＋1)an－1，且a1＝1，则a100＝________.
题型三 由前n项和Sn求通项公式an
[学透用活]
[典例3] 设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3，求{an}的通项公式．
[对点练清]
1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－9n，则其通项公式an＝________；若它的第k项满足5＜ak＜8，则k＝________.
解析：当n＝1时，a1＝S1＝1－9＝－8；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－[(n－1)2－9(n－1)]＝2n－10.
注意到n＝1时也满足a1＝2×1－10，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－10.
5＜ak＜8即5＜2k－10＜8，解得7.5＜k＜9.
又k∈Z，所以k＝8.
答案：2n－10 8
2．正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，求数列{an}的通项公式．
题型四 数列中的最大项、最小项
[学透用活]
[典例4] 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
[解] (1)由n2－5n＋4<0，解得1∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．
[课堂思维激活]
一、综合性——强调融会贯通
1．(多选)若数列{an}满足a1＝1，a2＝3，anan－2＝an－1(n≥3)，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的是 ( )
A．Tn无最大值 B．an有最大值
C．T2 022＝1 D．a2 022＝3
二、应用性——强调学以致用
2．(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是 ( )
A．a8＝34
B．S8＝54
C．S2 020＝a2 022－1
D．a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝a2 022
解析：对于A，可知数列的前8项为1,1,2,3,5,8,13,21，故A错误；对于B，S8＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＝54，故B正确；对于C，由an＝an＋1－an－1(n≥2)，可得a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an＝a1＋(a3－a1)＋(a4－a2)＋(a5－a3)＋…＋(an＋1－an－1)，即Sn＝－a2＋an＋an＋1＝an＋2－1，∴S2 020＝a2 022－1，故C正确；对于D，由an＝an＋1－an－1(n≥2)，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝a2＋(a4－a2)＋(a6－a4)＋…＋(a2 022－a2 020)＝a2 022，故D正确．
答案：BCD
3.公元前4世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研
究．他们借助几何图形(或格点)来表示数，称为形数．形
数是联系算数和几何的纽带．图为五角形数的前4个，则第10个五角形数为 ( )
A．120 B．145 C．270 D．285
三、创新性——强调创新意识和创新思维
4．设数列{an}的前n项和为Sn，且任意n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝________.
解析：任意n∈N*，an＋1>an，则数列{an}是递增的，任意n∈N*，Sn≥S6，即S6最小，只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0即可．所以，满足条件的数列{an}的一个通项公式为an＝n－6(n∈N*)．
答案：n－6(n∈N*)(答案不唯一)