(共24张PPT)
5．2.3 简单复合函数的导数
[新课程标准]
1．了解复合函数的复合过程．
2．能利用复合函数的求导法则求简单函数的导数．
3．通过复合函数导数的运算，培养学生数学运算、逻辑推理的核心素养．
(一)教材梳理填空
1．复合函数的定义
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成__的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝________．
2．复合函数的导数
一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝ .
即y对x的导数等于y对u的导数与 的导数的乘积．
f(g(x))
y′u·u′x
u对x
[微思考]
函数y＝log2(x2－3x＋5)是由哪些函数复合而成的？
提示：y＝log2(x2－3x＋5)是由y＝log2u，u＝x2－3x＋5复合而成．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x. ( )
(2)若f(x)＝sin(x＋1)，则f′(x)＝cos x． ( )
答案：(1)× (2)×
解析：函数y＝ln(x－2)是由函数y＝ln u和u＝φ(x)＝x－2复合而成的，而B、C、D中的函数分别为函数y＝ln x与函数φ(x)＝x－2的加、乘、商的形式，不符合复合函数的定义，选A.
答案：A
3．设f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则f′(0)＝________.
题型一 求复合函数的导数
[学透用活]
(1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．
(2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y＝f(ax＋b)型复合函数的求导，不难得到y′＝(ax＋b)′·f′(ax＋b)＝a·f′(ax＋b)．
[方法技巧] 求复合函数的导数的步骤
[对点练清]
1．函数y＝cos(2x2＋x)的导数y′＝________.
解析：∵y＝cos(2x2＋x)，∴y′＝－sin(2x2＋x)·(4x＋1)＝－(4x＋1)sin(2x2＋x)．
答案：－(4x＋1)sin(2x2＋x)
题型二 与复合函数有关的切线问题
[学透用活]
[典例2] (2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为________．
有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了．在求有关切线的问题中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义、导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用．
[对点练清]
1．设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝________.
2．分别在曲线y＝ex与直线y＝ex－1上各取一点M与N，则线段MN长度的最小值为________．
将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数，反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况． (共27张PPT)
5.2.2 导数的四则运算法则
[新课程标准]
1．能利用导数的四则运算法则求简单函数的导数．
2．会使用导数公式表．
3．通过对导数的运算法则的学习，培养学生数学运算的核心素养．
(一)教材梳理填空
导数的四则运算法则
(1)条件：f(x)，g(x)是可导的．
(2)法则：①[f(x)±g(x)]′＝ ．
②[f(x)g(x)]′＝ ．
④[cf(x)]′＝ ．
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
cf′(x)
[微提醒]
(1)导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形(一般化)，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．
(2)函数的积的导数可以推广到有限个函数的乘积的导数，即[u(x)v(x)·…·w(x)]′＝u′(x)v(x)·…·w(x)＋u(x)v′(x)·…·w(x)＋…＋u(x)v(x)·…·w′(x)．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)若f′(x)＝2x，则f(x)＝x2. ( )
(2)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)． ( )
(3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cos x． ( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．函数y＝sin x·cos x的导数是 ( )
A．y′＝cos 2x＋sin 2x B．y′＝cos 2x
C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x
答案：B
解析：∵f(x)＝ax2＋c，
∴f′(x)＝2ax.
又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.
答案：A
(1)应用基本初等函数的导数公式和导数运算法则可迅速解决一些简单的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律．
(2)在求较复杂函数的导数时应首先利用代数恒等变换对已知函数解析式进行化简或变形，如把乘积的形式展开，公式形式变为和或差的形式，根式化成分数指数幂，然后再求导，使求导计算更加简化．
利用导数值求解参数问题是高考的热点问题．它能比较全面地考查导数的应用，突出了导数的工具性作用．而熟练地掌握导数的运算法则以及常用函数的求导公式是解决此类问题的关键．
[对点练清]
1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)＝________.
即切点为(1，－14)或(－1，－18)．
切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
[方法技巧] 关于函数的导数的应用及其解决方法
应用 求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用
方法 先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用
解析：f′(x)＝x2＋2ax＋1，
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，
∴f′(x)＝0有解，即x2＋2ax＋1＝0有解，
∴Δ＝(2a)2－4≥0，
∴a≥1或a≤－1，
即a的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
答案：B
二、应用性——强调学以致用
2．如果某导体在t s时的电荷量为q C(库仑)，且q＝2t2＋3t，则该导体在时刻t的电流强度为q′A(安)，求第5 s与第7 s的电流强度，并求出什么时候电流强度达到43 A.
解：∵q′＝4t＋3，
∴q′|t＝5＝4×5＋3＝23，
q′|t＝7＝4×7＋3＝31.
令q′＝4t＋3＝43，
解得t＝10.
故第5 s与第7 s的电流强度分别为23安，31安，且t＝10 s时电流强度达到43 A.(共27张PPT)
(一)教材梳理填空
1．几种常用函数的导数
2．基本初等函数的导数公式
[微提醒]
对公式y＝xα的理解
(1)y＝xα中，x为自变量，α为常数；
(2)它的导数等于指数α与自变量x的(α－1)次幂的乘积，公式对α∈R都成立．
题型一 利用导数公式求函数的导数
[学透用活]
[典例1] 求下列函数的导数：
(1)y＝x－5; (2)y＝4x；
求函数的导数的常见类型及解题技巧
(1)对于分式中分子、分母为齐次结构的函数，可考虑通过裂项为和差形式．
(2)对于根式型函数，可考虑进行有理化变形．
(3)对于多个整式乘积形式的函数，可考虑展开，化为和差形式．
(4)对于三角函数，可考虑恒等变形，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导．
解决有关切线问题的关注点
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．
[对点练清]
已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点．
(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解：(1)因为y′＝2x，P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．
所以过P点的切线的斜率k1＝y′|x＝－1＝－2，
过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，
所以过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，
即2x＋y＋1＝0.
过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)由于y＝sin x，y＝cos x，
设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)．
∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，
即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的．
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
导数的综合应用的解题技巧
(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，这是解决问题的关键所在．
(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题．遇到一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题，可以结合导数的几何意义分析．
2．当常数k为何值时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切？请求出切点．
二、应用性——强调学以致用
2．不饱和食盐溶液蒸发到一定程度时，会慢慢析出氯化钠晶体．已知氯化钠晶体为立方体形状，当立方体的棱长x变化时，其体积关于x的变化率是立方体表面积的多少？
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是 ( )
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝ln x
C．f(x)＝ex D．f(x)＝x3
