(共36张PPT)
5.1.2 导数的概念及其几何意义
[新课程标准]
1．通过函数图象直观理解导数的几何意义．
2．通过学习，培养学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养．
2．导数的概念
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关． ( )
(2)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零． ( )
答案：(1)√ (2)×
2．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝ ( )
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
3.如图是函数y＝f(x)的图象，则
(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；
(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同． ( )
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点． ( )
(3)函数f(x)＝0没有导函数． ( )
答案：(1)× (2)× (3)×
2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线 ( )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
答案：B
3．已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f′(1)＝( )
A．4 B．－4
C．－2 D．2
答案：D
题型二 导数的实际意义
[学透用活]
[典例2] 一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间x(单位：s)的函数关系为y＝f(x)＝3x.计算水量在x＝2处的瞬时变化率，并解释它的实际意义．
解决此类问题只需根据题意及导数的定义求出相应的导数值，再根据导数的意义及求解过程，解释导数值的意义即可．
当x趋于100，即Δx趋于0时，平均变化率趋于0.105，即f′(100)＝0.105，
f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1 050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1 050元．
题型三 求曲线切线方程
[探究发现]
在函数y＝f(x)的图象上任取两点A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx，f(x1＋Δx))．
提示：函数y＝f(x)图象上A，B两点连线的斜率．
(2)Δx趋于0时，函数y＝f(x)在(x1，x1＋Δx)上的平均变化率即为函数y＝f(x)在x1点的瞬时变化率，能否看成函数y＝f(x)在(x1，f(x1))处的切线斜率？
提示：能．
(3)函数y＝f(x)在x0处的导数的几何意义是什么？
提示：函数y＝f(x)图象上点(x0，f(x0))处的切线斜率．
1．过曲线上一点求切线方程的3个步骤
[对点练清]
过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程为 ( )
A．x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0
B．x－y－2＝0
C．x－y－2＝0或4x＋5y＋1＝0
D．x－y＋2＝0
答案：A
题型四 求切点坐标
[学透用活]
[典例4] 已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值和切点的坐标．
求切点坐标的4个步骤
(1)设出切点坐标；
(2)利用导数或斜率公式求出斜率；
(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；
(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
[对点练清]
直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，则a的值为________，切点坐标为________．
二、应用性——强调学以致用
2．某正方形铁板在0 ℃时，边长为10 cm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为t ℃时正方形的边长为10(1＋at) cm，其中a为常数．设此时正方形的面积为S cm2，且S＝f(t)，计算0 ℃时正方形面积的瞬时变化率，并解释其实际意义．(共22张PPT)
5．1 导数的概念及其意义
5．1.1变化率问题
[新课程标准]
1．借助物理背景了解平均速度与瞬时速度．
2．借助几何背景了解曲线的割线与切线，并会求切线方程．
3．体会极限思想，培养学生数学抽象、数学运算的核心素养．
2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为 ( )
A．6 B．18
C．54 D．81
3．抛物线f(x)＝3x2＋1在点(2,13)处的切线方程为________．
题型一 运动物体的平均速度
[学透用活]
[典例1] 已知s(t)＝5t2.
(1)求t从3秒到3.1秒的平均速度；
(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度．
[对点练清]
1．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为
( )
A．0.41 B．3 C．4 D．4.1
2.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为 ( )
A．v2＝v3＜v1 B．v1＜v2＝v3
C．v1＜v2＜v3 D．v2＜v3＜v1
解析：由题意得，v1＝kOA，v2＝kAB，v3＝kBC，由题图易知kOA＜kAB＜kBC，∴v1＜v2＜v3，故选C.
答案：C
题型二 求瞬时速度
[学透用活]
[典例2] 已知质点M做直线运动，且位移(单位：cm)随时间(单位：s)变化的函数为s＝2t2＋3.
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求平均速度；
(2)求质点M在t＝2时的瞬时速度．
[对点练清]
一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)．
(1)求该质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；
(2)求该质点在t＝1时的瞬时速度．
题型三 抛物线的切线
[学透用活]
[典例3] 已知函数f(x)＝x2，x0＝－2.
(1)分别令Δx＝2,1,0.5，求f(x)＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的相应割线的斜率，并画出过点(x0，f(x0))的相应割线；
(2)求函数f(x)＝x2在x＝x0处的切线的斜率，并画出曲线f(x)＝x2在点(－2,4)处的切线．
求曲线的切线方程，首先求割线的斜率，然后利用极限思想得切线的斜率，最后由切点在切线上求曲线切线方程．
2．已知函数f(x)＝－x2＋x图象上两点A(2，f(2))，B(2＋Δx，f(2＋Δx))(Δx>0)．
(1)若割线AB的斜率不大于－1，求Δx的范围；
(2)求函数f(x)＝－x2＋x的图象在点A(2，f(2))处切线的方程．
[课堂思维激活]
一、应用性——强调学以致用
1．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为 ( )
A．2 B．1 C．－1 D．6
