14.1.2 幂的乘方 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
14.1.2 幂的乘方
人教版八年级上册
知识回顾
问题2：计算 (-a)3 a5
(-a)3 a5=-a3 a5=-a3+5=-a8.
问题1：同底数幂的乘法性质是什么？
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
符号表示am·an=am+n（m，n都是正整数）
教学目标
1.理解幂的乘方的性质，会利用这一性质进行幂的乘方运算.
2.掌握幂的乘方的运算性质的推导.
3.体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作用.
新知导入
用含有 x 的字母表示图(1)、图(2)的面积和图(3)的体积.
图(1)是边长为 10 的正方形；
图(2)是边长为 102 的正方形；
图(3)是边长为 102 的正方体.
10
(1)
(2)
102
102
(3)
新知探究
S(1)= 10×10=102.
S(2)=(102)2=102×102=102×2=104.
V(3) =(102)3 =102×102×102=102×3=106.
10
(1)
(2)
102
102
(3)
观察结果，你能发现什么规律？
(10m)n=10m×10m×…×10m
=10mn
n个10m
幂的乘方的法则
知识点 1
新知探究
(32)3= ___ ×___ ×___
=3( )+( )+( )
=3( )×( )
=3( )
32
32
32
2
2
2
2
3
6
填空：
(am)n
= .
= .
am+m+…+m
n个m
am·am·am…am
n个am
= .
am×n
新知探究
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
n个am
n个m
符号表示：(am)n=amn（m，n都是正整数）.
性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
幂的乘方
=am·am·…·am
=am+m+ +m
=amn.
(am)n
新知典例
例1 计算：
（1）(103)5 ；
解: (1) (103)5 = 103×5 = 1015；
(2) (a2)4 = a2×4 = a8；
(3) (am)2 =am·2=a2m；
（3）(am)2；
（2）(a2)4；
（4）-(x4)3；
(4) -(x4)3 =-x4×3=-x12；
(6) [(﹣x)4]3.
(5) [(x+y)2]3；
(5)[(x+y)2]3= (x+y)2×3 =(x+y)6；
(6)[(﹣x)4]3= (﹣x)4×3 = (﹣x)12 = x12.
新知小结
方法总结：运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．
新知探究
同底数幂的乘法与幂的乘方的运算性质的区别
运算性质 公式
同底数幂的乘法
幂的乘方
底数不变
底数不变
指数相加
指数相乘
am·an=am+n
(am)n=amn
新知探究
(-a5)2表示2个-a5相乘，结果没有负号.
问题3 (-a2)5和(-a5)2的结果相同吗 为什么
答：不相同.
(-a2)5表示5个-a2相乘，其结果带有负号.
n为偶数,
n为奇数.
新知探究
拓展：
幂的乘方用性质，
底数不变指数乘，
推广指数一次算，
逆用性质巧计算.
(1) 幂的乘方的性质也可以推广为三个及三个以上的幂的乘方，即 [(am)n]p=amnp(m，n，p都为正整数);
(2) 幂的乘方的性质可以逆用，即 amn=(am)n (m，n为正整数).
新知探究
例2 下面这道题该怎么进行计算呢？
＝(a6)4
=a24
[(y5)2]2=______=________
[(x5)m]n=______=________
练一练：
(y10)2
y20
(x5m)n
x5mn
新知探究
例3 计算：
(1) (x4)3·x6;
(2) a2(－a)2(－a2)3＋a10.
解: (1) (x4)3·x6 =x12·x6= x18；
(2) a2(－a)2(－a2)3＋a10
= －a2·a2·a6＋a10
= －a10＋a10 = 0.
先乘方，再乘除，最后算加减
底数的符号要统一
有理数混合运算的顺序
新知探究
例4 已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值.
(1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n．
解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27；
(2)102n＝(10n)2＝22＝4；
(3)103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.
方法总结：此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求代数式正确变形，然后代入已知条件求值即可.
新知探究
(1)已知x2n＝3，求(x3n)4的值；
(2)已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
解：(1) (x3n)4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729；
(2) ∵2x＋5y－3＝0，
∴2x＋5y＝3,
∴4x·32y＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.
变式训练
新知探究
例5 比较3500，4400，5300的大小.
解析：这三个幂的底数不同,指数也不相同,不能直接比较大小,通过观察,发现指数都是100的倍数,故可以考虑逆用幂的乘方法则.
解:3500=(35)100=243100,
4400=(44)100=256100,
5300=(53)100=125100.
∵256>243>125,
∴4400>3500>5300.
新知探究
方法总结：比较底数大于1的幂的大小的方法有两种：(1)底数相同，指数越大，幂就越大；
(2)指数相同，底数越大，幂就越大.
故在此类题中，一般先观察题目所给数据的特点，将其转化为同底数的幂或同指数的幂，然后再进行大小比较.
课堂练习
1.（2020·河北）若k为正整数，则(k+k+…+k)k=（ ）
A. k2k
B. k2k+1
C. 2kk
D. k2+k
k个k
(k·k)k
(k2)k
k2k
A
课堂练习
2.计算：
(1) (103)3 ; (2) -(xm)5 ; (3) (a2)3·a5 ; (4) -[(a-b)7 ]2.
解：(1) (103)3=103×3=109 ;
(2) -(xm)5=-xm×5=-x5m ;
(3) (a2)3·a5=a2×3+5=a11 .
(4) -[(a-b)7 ]2 = -(a-b)7×2= -(a-b)14 .
课堂练习
3.已知 a2n=3，求 a4n-a6n 的值.
解：a4n-a6n
= (a2n)2- (a2n)3
= 32-33
=-18 .
分析：把指数是积的形式的幂写成幂的乘方,如, amn=(am)n(m，n都是正整数),然后整体代入,求出式子的值.
课堂练习
4.已知16m=4×22n-2，27n=9×3m+3 ，求 m，n 的值.
分析：观察可知，16和4都可以写成2的乘方的形式，27和9都可以写成3的乘方的形式，所以可将两个等式分别化成同底数幂的形式，即16m=4×22n-2 24m=22n (或42m=4n )， 27n=9×3m+3 33n=3m+5 .
课堂练习
4.已知16m=4×22n-2，27n=9×3m+3 ，求 m，n 的值.
解：因为16m=4×22n-2，
所以24m=22n，
因为 27n=9×3m+3 ，
所以33n=3m+5，
由①②得，m=1，n=2.
所以(24)m =22×22n-2 .
所以4m=2n，即2m=n. ①
所以(33)n=32×3m+3 .
所以3n=m+5. ②
课堂练习
5.比较 355，444 ，533 的大小.
解： 355 = (35)11 = 24311 ，
444 = (44)11 = 25611 ，
533 = (53)11 = 12511 .
因为125<243<256，
所以12511<24311<25611 .
即 533<355< 444 .
化为相同指数的幂
比较底数的大小
课堂小结
幂的乘方
性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
(am)n=amn （m，n为正整数）
谢谢
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