2023届镇海中学高三期初模拟考试题（PDF版含解析）

2023届镇海中学高三期初模拟考试题
一、单项选择题：
将函数 f x 2sin 2x 的图象向左平移 1. 个单位后得到函数 g x 的图象，则
3 3
g x 的解析式是（ ）
A. g x x 2 2sin 2 B. g x 2sin 2x
3

C. g x 2sin 2x D. g x 2sin 2x
3
2. 设 a,b 都是不等于 1 的正数，则“3a 3b 3 ”是“ loga 3 logb 3 ”的 （ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为
一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四
棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底
面正方形的边长的比值为（ ）
A. 5 1 B. 5 1
4 2
C. 5 1 D. 5 1
4 2
4. x 为实数，[x] 表示不超过 x 的最大整数，则函数 f (x) x [x] 在 R 上为( )
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D． 周期函数
x2 x 3, x≤1,
5. 已知函数 f (x) 2 设 a R ，若关于 x 的不等式 f (x)
x
≥| a |在 R 上恒成
x , x 1. 2 x
立，则 a 的取值范围是( )
A．[ 47 , 2] B．[ 47 39 , ] C．[ 2 3,2] D．[ 2 3, 39]
16 16 16 16
二、多选题
6．集合 A {x | 0 x 4}, B {y | 0 y 2} ，下列表示从 A 到 B 的函数的是（ ）
f : x 1 1A． y x B． f : x y x
2 3
2
C． f : x y x D． f : x y x 3
7．点O 是平面 上一定点，A ，B ，C 是平面 上 ABC 的三个顶点， B ， C 分别是边 AC ，
AB 的对角.以下几个命题正确的是（ ）

A．动点 P 满足OP OA (
AB AC )( 0) ，则 ABCAB sin B AC sin C 的重心一定在满足条件
的 P 点集合中；

B．动点 P 满足OP OA (
A B A C )( 0)
AB AC ，则 ABC 的内心一定在满足条件的 P 点集合
中；

OP OA ( AB ACC．动点 P 满足 )( 0) ，则 ABCAB cos B AC cosC 的垂心一定在满足条件
的 P 点集合中；

D．动点 P 满足OP OA PB PC ，则 ABC 的外心一定在满足条件的 P 点集合中.
三、填空题：.
8. 已知复数 z 满足： z 1 2i 4 2i ，则复数 z 的模为___________．
9．已知函数 f (x) sin(2x )(0 )

图象的一条对称轴是直线 x ，则 f (2 )6 的值为
___________．
10. 已知实数 , ∈ (0,+∞)且 + = 1，则 + 的最小值为__________
1 3
11. 设O

是 ABC 的外心，满足CO t CA t CB ，若

2 4 | AB | 3 ，则
ABC 面积的最大

值为___________.
四、解答题：本大题共 5小题，共 74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
12．在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且a tan C 2c sin A .
（1）求角 C 的大小;
（2）求sin A sin B 的取值范围.
13. 已知四棱锥 P ABCD ，底面 ABCD为菱形， BAD ， 3
侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面．
（1）求证： AD PB ；
（2）求二面角 A PB C 的余弦值．
14.已知 a 0 ，函数 f x a cos x 1 sin x 1 sin x ，其中 x , 2 2 .
（1）设 t 1 sin x 1 sin x ，求 t 的取值范围，并把 f x 表示为 t 的函数 g t ；
（2）求函数 f x 的最大值（可以用 a 表示）；

（3）若对区间 , 内的任意 x1 ， x2 ，若有 f x1 f x2 12 2 ，求实数 a 的取值范围.
参考答案
1. C 2.B. 3.C 4. D
5. A【解析】解法一 根据题意，作出 f (x) 的大致图象，如图所示
y
y=f(x)
x
O 1
当 x x≤1时，若要 f (x) | x≥ a | 恒成立，结合图象，只需 x2 x 3≥ ( a) ，即
2 2
x2 x x 1 3 a≥ 0 ，故对于方程 x2 3 a 0 ， ( )2 4(3 a)≤0 ，解得
2 2 2
a 47≥ ；当 x 1 2 x 时，若要 f (x)≥| x a | 恒成立，结合图象，只需 x ≥ a ，
16 2 x 2
x 2 x 2 x 2
即 ≥ a ，又 ≥ 2 ，当且仅当 ，即 x 2 时等号成立，所以a≤2 ，
2 x 2 x 2 x
综上，a 的取值范围是[ 47 , 2]．选 A．
16
11 1
解法二 由题意 f (x) 的最小值为 ，此时 x ．不等式 f (x) | x≥ a |在 R 上恒成立
4 2 2
x 11
等价于 | a |≤ 在 R 上恒成立．
2 4
a 2 3 1 x 8 3 1 11当 时，令 x ， | 2 3 | | | ，不符合，排除 C、D；
2 2 4 8
a 39 x 1 | x 39 | | 43 | 11当 时，令 ， ，不符合，排除 B．选 A．
16 2 2 16 16 8
6. ABD

7.ABC 对于 A，过点 A 作 AD⊥BC 于 D，则有 | AB | sin B | AC | sin C | AD | ，

于是得 0 时，OP OA (
AB
AC ) AP (AB AC)
AB sin B AC sin C | AD | ，
1 1
而 ABC 的 BC 边上中线向量为 (AB AC) ，即 AP 与 BC 边上中线向量为 (AB AC) 共2 2
线，
则 ABC 的重心一定在满足条件的 P 点集合中，A 正确；

对于 B，
A B A C
AB AC 是两个单位向量的和，与
BAC 的平分线所在向量共线，

OP OA ( AB AC

) AP ( A B A C )
AB AC AB AC ，

即 AP 与 BAC 的平分线所在向量共线，则 ABC 的内心一定在满足条件的 P 点集合中，B
正确；

对于 C，OP OA (
AB
AC ) AP ( AB AC )
AB cos B AC cosC AB cos B AC cosC ，
AB AC

AP BC ( ) BC ( A B BC AC BC )
AB cos B AC cosC AB cos B AC cosC ( | BC | | BC |) 0 ，

即 AP BC ，则 ABC 的垂心一定在满足条件的 P 点集合中，C 正确；

对于 D，取边 BC 的中点 E，连 PE，OP OA PB PC AP PB PC 2PE ，于是得 P
是 ABC 的重心，D 不正确.
故选：ABC
8. 2
9.解：函数 f (x) sin(2x )(0 ) x

图象的一条对称轴是直线 ， 6

所以 f ( ) sin(

) 1，
6 3

即 k (k Z ) ，解得 k (k Z ) ，由于0 ．
3 2 6
故 k 0 时，
π

6 ．
所以 f (x) sin(2x

) ，
6
则 f (2 )

f ( ) sin 5 1
3 6 2 ．
故答案为： 12 ．
10. 令3 + = ， + 3 = ，∴ + = 4，
∴ + = + = ( + )( + ) = (5 + + ) ≥ ，
当且仅当 = 2 , + = 4，即 = , = ，即 = , = 时等号成立.
+ 的最小值为 ，故答案为 .
1 3 1 3
11. CO t CA t CB CO CB t

CA CB
DO D
2 4 2 4 ，其中 为
BC 边中点，

3 OD BC

所以 CA CB BC 04 ，
2
所以CA CB 3 CB ,
4
所以 abcosC
3
a2 , b cosC 3 a
4 4
又 b2 a2 2abcosC 9 ，
所以联立得 2b2 a2 18 ，
因为 S
1
absin C ,
2
a2b2 2 2 2所以 S 2 1 cos2 C a b 9a (1 ) 4 4 16b2
2 2
a2 144 a2 (
a 144 a )2
2 81
64 64
所以 ABC 面积的最大值为 9.
a sinC
12.（1）由a tan C 2c sin A ， 得 2sin A c cosC ，
sinA sinC
由正弦定理得 2sin A , sinC cosC
1
易知sin A 0 ， cosC 2 ，
C (0, ) ， C
π
.
3
（2）sin A sin B sin A sin A C sin A sin Acos cos Asin
3 3
3
sin A 3 cos A 3 sin A
2 2 6
2
C π ， A
0,
3
，
3

A , 5 ， sin
A 1 ,1
6 6 6 6 2
3 sin 3 A 6
, 3
2
3
sin A sin B 的取值范围为： , 3
2
13. （1）取 AD 的中点 E ，连接 PE 、 BE 、 BD ，
因为四边形 ABCD为菱形，则 AB AD ，因为 BAD

，故 BAD 为等边三角形，
3
因为 E 为 AD 的中点，故 BE AD ，同理可证 PE AD ，
BE PE E ， AD 平面 PBE ， PB 平面 PBE ，故 AD PB ；
（2）因为平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD ，PE AD ，PE 平面 PAD ，
PE 平面 ABCD，
BE AD ，设 AD 2 ，不妨以点 E 为原点， EA 、 EB 、 EP 所在直线分别为 x 、 y 、 z 轴
建立空间直角坐标系，
则 A 1,0,0 、 B 0, 3,0 、C 2, 3,0 、 P 0,0, 3 ，

所以， BA 1, 3,0 ， BP 0, 3, 3 ， BC 2,0,0 ，

设平面 PAB 的法向量为 m x1, y1, z1 ，

m BA x1 3y1 0 则 ，取 y1 1，可得 m 3,1,1 ，
m BP 3y1 3z1 0
设平面 PBC 的法向量为 n x2, y2, z2 ，

n B P 3y 3z 0

则 2 2 ，取 y2 1 ，可得 n 0,1,1 ，
n BC 2x2 0

所以，cos m,n
m n 2 10
m n 5 2 5 ，
由图可知，二面角 A PB C 的平面角为钝角，
因此，二面角 A PB C 的余弦值为 10 .
5

2, a
2

2
a 1
14. （1） g t t2 t a ， t
2
2,2 ；（2） f x a 2, a 0max 2 ；（3）
1 2 1
a , a
2a 2 2

2 3,0 .
【分析】
2
（1）由题设得 t 2 2 2cos x 2,4 ，则cos x t 2 ，代入 f x 可得 g t . 2
1
（2）由（1）知，f x 的最大值即为 g t 的最大值，讨论 a 2 、 a 02 、
2 1
a
2 2 2
时 g t 在 2,2 上的单调性，即可得对应的最大值.
（3）将问题转化为 g t max g t min 1，结合（2）所得单调性，求 a 的范围.
【详解】

（1）由题意， t2 2 2 1 sin2 x 2 2 cos2 x ，而 x , ，则 cos x 0,1 2 2 ，
2
∴ t 2 2 2cos x 2,4 ，显然 t 0，则 t 2,2 ，且 cos x
t 2
，
2
a t 2 2∴ g t t a t 2 t a ， t 2,2 2 2 ；
（2） f x 的最大值，即 g t 的最大值.
① a 2 时， g t 在 2,2 递减， g t g 2 2max ； 2
1
② a 0 时， g t 在 2,2 递增， g t max g 2 a 22 ；
③ 2 1
1 1
a 时， g t 在 2, 递增， , 2 递减， g t g
1 1 a a a max a 2a ； 2 2
2
2, a
2
综上， f x a 2, 1 a 0max
2

a 1 , 2 a 1
2a 2 2
（3）由题意， f t f t 1 amax min ，即 g t max g t 2min 1， g t t t a ； 2
① a 2 时， g t 在 2,2 递减， 2
2
a 2
则： 2 2 3 a ；

g 2 g 2
2
a 2 2 1
1
② a 0 时， g t2 在
2,2 递增，
1
a 0 1
则： 2 a 0 ；

g 2 g 2 a 2 2 1
2
2 1 1 1 1 1③ a 时， g t 2,

在 a 递增，
, 2 递减， g t g a max a a ， 2 2 2a
2
a
1

2 2

则： g t g 2 2a 1 2 1 2 a 1 ：
2a 2 2

g t g 2 a 1 2 1
2a
综上， a 2 3,0 .