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第4节 简单机械-杠杆2 实验探究与动态平衡
考点四、杠杆平衡的条件（实验探究）
实验步骤:
A.调节杠杆两端的平衡螺母，使杠杆在水平位置平衡。
B.如图所示，在杠杆两边挂上不同数量的钩码，调节钩码的位置，使杠杆在水平位置平衡。这时杠杆两边受到钩码的作用力的大小都等于钩码重力的大小。
把支点右方的钩码的重力当成动力F1，支点左方的钩码的重力当成阻力F2；用刻度尺测量出杠杆平衡时的动力臂L1和阻力臂L2；把F1、F2、L1、L2的数值填入实验表格中。
C.改变力和力臂的数值，再做两次实验，将结果填入实验表格中。
分析与论证:分析实验数据，可知杠杆平衡时，如果动力臂比阻力臂大，则动力比阻力小；动力臂比阻力臂小，则动力比阻力大。如果把每次实验的动力与动力臂相乘，阻力与阻力臂相乘，虽然各次实验的乘积不相同，但每次实验中动力与动力臂的乘积跟阻力与阻力臂的乘积相等，即动力x动力臂=阻力x阻力臂，用公式表示为F1 x L1=F2 x L2
典例1：（2022·浙江舟山·九年级期末）某小组同学通过实验研究动力对杠杆平衡的影响。他们在杠杆左侧的B点挂一重为G的物体，在杠杆的右侧用力使杠杆在水平位置平衡，并用测力计测出动力的大小。第一组实验：持动力在竖直方向不变、只改变动力作用点的位置，如图甲所示，测得F1>F2>F3，第二组实验：保持动力作用点的位置不变、只改变动力的方向，如图乙所示，测得F4>F5>F6。
（1）实验中把同一重物挂在杠杆左侧的B点，且使杠杆在水平位置平衡，目的是为了控制___________不变；
（2）图甲中动力大小发生了改变，图乙中动力大小也发生了改变，请你从杠杆平衡的条件来分析，两组实验中动力大小均发生改变的共同原因是_______发生了改变。
【答案】阻力和阻力臂 动力臂
【解析】（1）实验中把同一重物挂在杠杆左侧的B点，使杠杆在水平位置平衡，可以控制阻力和阻力臂不变，探究动力与动力臂的关系。
（2）图甲中动力大小发生了改变，图乙中动力大小也发生了改变，动力乘以动力臂等于阻力乘以阻力臂，阻力乘以阻力臂不变，两组实验中动力大小均发生改变的共同原因是动力臂发生了改变。
变式1：（2022·浙江绍兴·中考真题）小敏在做“研究杠杆平衡条件”的实验时，先后出现杠杆右端下降的现象。为使杠杆水平平衡，下列操作正确的是（ ）
A．图甲中平衡螺母向左调节；图乙中右侧钩码向左移动
B．图甲中平衡螺母向左调节；图乙中右侧钩码向右移动
C．图甲中平衡螺母向右调节；图乙中左侧钩码向左移动
D．图甲中平衡螺母向右调节；图乙中左侧钩码向右移动
【答案】A
【解析】图甲中，杠杆左端高、右端低，说明杠杆右端偏重，要使杠杆在水平位置平衡，平衡螺母向左端调节。
图乙中，设一个钩码的重力为G，杠杆一个小格的长度为L，杠杆左端力和力臂的乘积为4G×2L=8GL
杠杆右端力和力臂的乘积为3G×3L=9GL 8GL<9GL
杠杆不平衡，为了使杠杆水平位置平衡，由杠杆平衡条件可知，可以将右侧钩码向左移动减小力臂或者左侧钩码向左移动增大力臂，故A符合题意，BCD不符合题意。故选A。
变式2：（2022.九上宁波期中）在“探究杠杆平衡条件”实验中，小科用一块T形板对实验装置进行改进。如图甲所示，T形板上有槽口ab和卡口cd，T形板通过槽口ab可以绕着杠杆的0点自由旋转并上下移动，弹簧测力计与一根质量可以忽略的碳素细棒MN相连，碳素细棒MN刚好卡入T形板的卡口cd，如图乙所示。
（1）小想认为要完成这个实验，还需要一把刻度尺，但小科认为只要在T形板上稍微进行改进，不添加器材也可完成实验。小科对T形板进行的改进方法是 ________。
（2）利用这个装置进行实验的优点为：________。
（3）小科在实验过程中，保持阻力、阻力臂不变，在杠杆水平平衡时，测出每一组动力臂L1和动力F1的数据，并利用实验数据绘制了F1与L1的关系图像，如图丙所示。请根据图像推算，当L1为5cm时，F1为________N。
【答案】 （1）在T形板的槽口ab上标上刻度
（2）可以改变拉力方向，且方便测量出相应的力臂长度，使实验结论更加可靠（3）6
【解析】(1)T形板的两条边相互垂直,测力计的拉力方向与其中一条边重合,因此如果ab标有刻度,可以直接读出动力臂的长度。
(2)进行多次实验,使实验结论具有普遍性。
(3)从乙图中任意找出一组动力和动力臂,计算动力和动力臂乘积,根据动力和动力臂乘积不变求出。
[解答](1)小科对T形板进行的改进方法是:在T形板的槽口ab上标上刻度。
(2)利用这个装置进行实验的优点为:可以改变拉力方向,且方便测量出相应的力臂长度,使实验结论更加可靠。
(3)阻力和阻力臂的乘积不变,根据丙图可知,当动力为3N时,动力臂为10cm,根据杠杆的平衡条件得到:3Nx10cm=Fx5cm 解得:F=6N.
变式3：（2022·浙江宁波·九年级期末）在“探究杠杆平衡条件”的实验中：
（1）小科同学先把杠杆的中点支在支架上，杠杆静止在如图甲所示的位置，此时杠杆处于___________（填 “平衡”或“不平衡”）状态。
（2）杠杆在水平位置平衡后，小科按照图乙所示的实验方案，在杠杆上分别施加动力、阻力，并使杠杆在水平位置重新平衡，记录动力F1、动力臂L1、阻力F2、阻力臂L2在下表中。
实验序号 F1 L1 F2 L2
1 2 3 2 3
2 3 4 3 4
3 4 2 4 2
该小组同学分析比较表中数据后，发现可以得出多个不同的结论。他们经过思考，认为图乙所示的方案存在缺陷。你认为图乙所示方案的缺陷是：___________。
（3）小科重新多次实验后，根据所得数据绘制成如图丙所示的L2和F2的关系图像。他发现这和数学课上学过的反比例函数y=kx的图像很相似。为了进一步确定L2和F2的函数关系，他应该利用以上数据作L2和___________之间的关系图像。
（4）小科想利用杠杆的平衡条件来测量均匀刻度尺的质量。
①将刻度尺平放在支座上，左右移动刻度尺，找出能够使刻度尺在水平位置保持平衡的支点位置，记下这个位置，它就是刻度尺的重心；
②如图丁所示，将质量为M1的物体挂在刻度尺左边某一位置，使刻度尺能够在支座上重新保持水平平衡，记录物体悬挂点到支座的距离L1和刻度尺的重心到支座的距离L2；
③根据杠杆的平衡条件，可以计算出刻度尺的质量m=___________（用题目中所给物理量表示）。
【答案】平衡 每组动力与阻力，动力臂和阻力臂大小都相等，实验数据单一重复，不具有普遍性
【解析】（1）[1]小科同学先把杠杆的中点支在支架上，杠杆静止在如图甲所示的位置，此时杠杆处于平衡状态。
（2）[2]观察表格数据知道，图乙所示方案的缺陷是：每组动力与阻力，动力臂和阻力臂大小都相等，实验数据单一重复，不具有普遍性。
（3）[3]为了进一步确定L2和F2的函数关系，他应该利用以上数据作L2和之间的关系图像。
（4）[4]根据杠杆的平衡条件F1L1=F2L2知道G1L1=GL2即M1gL1=mgL2
由于M1L1=mL2，所以，直尺的质量
考点五、求最大动力臂和最小动力
由F1 x L1=F2 x L2知，当阻力、阻力臂一定时，动力臂越长，动力越小，动力臂最长时，动力最小。要求最小动力，应先求最大动力臂。
(1)找最大动力臂的方法:
①动力作用点确定时，支点到动力作用点的线段长即为最大动力臂；
②动力作用点没有确定时，应看杠杆上哪一点离支点最远，则这一点到支点线段长即为最大动力臂。
(2)最小动力的作法:
①作出最大动力臂(即连接支点与最远点作为最大动力臂)；
②过动力作用点作最大动力臂的垂线，根据实际情况确定动力方向。
(3)若动力臂和阻力一定时，由杠杆平衡条件可知，阻力臂最小时，动力最小。
典例1：（2022·浙江宁波·九年级期末）如图甲所示是某款学生用翻盖式课桌，抬起过程应用了杠杆原理，桌盖可绕铰链（支点O）自由转动，A点为桌盖重心位置。图乙为桌盖抬起时受力分析图，由图可知，该杠杆属于___________（填“省力”、“等臂”或“费力”）杠杆。若在B点分别施力F1、F2、F3，使杠杆平衡，其中最小的力是___________（填“F1”、“F2”或“F3”）。
【答案】省力 F2
【解析】[1]根据力臂的画法画出各力的力臂，如图所示
比较可知，重力的力臂均小于动力F1、F2、F3的力臂，所以该杠杆属于省力杠杆。
[2]根据图可知，F2的方向与OB垂直，此时动力臂最长，阻力和阻力臂不变，由杠杆平衡条件得到此时用力最小。
变式1：（2022·浙江台州市书生中学九年级期中）在地震中，救援队员把滚落在公路上的石块撬起，如图所示，若救援队员在撬棒D点沿DM方向用力撬起石块1，撬棒的支点是___________点；若救援队员在撬棒D点沿DN方向用力撬起石块1，撬棒的支点是___________点。这两种方式中，沿___________（填“DM”或“DN”）方向用力撬起石块1比较省力。
【答案】A C DM
【解析】[1][2][3]读图可知，当沿DM方向用力撬石块1时，杠杆围绕A点转动，因此A为这时的支点；同样，当沿DN方向用力撬石块1时，杠杆围绕C点转动，因此C为此时的支点；
当以A为支点时，杠杆的动力臂为AD的长，
当以C为支点时，杠杆的动力臂是从C点到DN的作用线的距离，
显然要比AD要短，因此,沿DM方向(第一种方法)用力撬石块1更省力。
变式2：（2022·浙江萧山区九年级阶段练习）如图为脱模油厂的油桶，空桶质量为100kg，油桶高为1.2m，底部直径为0.5m，据此回答。
(1)某次装卸中，小明需要将直立的空油桶(如图甲)沿D点推翻，试在甲图上作出推翻空油桶所需的最小力F1。____
(2)在推翻油桶过程中，小明至少需要对油桶做功____J；
(3)若将翻倒的空油桶(如图乙)重新竖起所用的最小力为F2，那么，F1____F2(选填“大于”、“等于”或“小于”)。
【答案】 50 小于
【解析】（1）在阻力与阻力臂一定的情况下，动力臂越大，动力越小，由图示可知，AD是最大动力臂，过A与AD的垂直的力最小，如图所示：
（2）由几何知识可得
在推翻油桶过程中，小明至少需要对油桶做功
（3）由图甲与图乙所示可知，两种情况下，最小推力的动力臂相等，两种情况下阻力相等，图甲的阻力臂小于图乙的阻力臂，由杠杆平衡条件可知，图甲中的推力小于图乙中的推力，即F1小于F2。
变式3：（2022九上·西湖期中）如图所示，一根粗细均匀的轻质杠杆AOBC按图水平放置（支点在O点），其各段的长度关系为AO:BO:BC=4:3:4，重量为G的物体竖直悬挂在A点，
（1）请在图上画出使杠杆水平平衡的最小力的示意图。
（2）请根据杠杆平衡条件分析，（1）中最小力F=________G。
（3）若考虑到粗细均匀杠杆的实际重力存在，则（2）中最小力的实际大小F实________（“大于”、“等于”、“小于”）F 。
【答案】（1） （2）0.8 （3）等于
【解析】（1）在杠杆上，当以支点到力的作用点之间的线段为动力臂时最长，此时动力最小；
（2）首先根据勾股定理计算出动力臂的长度，然后根据杠杆的平衡条件列式计算；
（3）杠杆的重力作用在中心处，当杠杆在水平方向平衡时，重力作用下恰好从支点O经过，此时杠杆的重力被支点平衡掉，对杠杆的平衡不会产生影响，因此动力F的大小保持不变。
【解答】（1）连接OC，然后通过C点作OC的垂线，在向下的方向上标上箭头表示动力F，如下图所示：
（2）三角形OBC为直角三角形，那么斜边OC=；
根据杠杆的平衡条件得到：G×OA=F×OC；G×4=F×5； 解得：。
（3）若考虑到粗细均匀杠杆的实际重力存在，则（2）中最小力的实际大小F实等于F。
考点六、杠杆的动态平衡问题
先找出杠杆的相关要素——支点、动力、动力臂、阻力、阻力臂，当杠杆水平时，如果动力臂最长，也就是说动力是最小的。因此，根据杠杆的平衡条件可继续分析出，当力的方向改变时，对力臂与力的影响。
典例1：（2022·浙江湖州·九年级期末）如图所示，在A点分别作用的四个力中，能使杠杆处于平衡状态的最小力________，若作用力F始终沿竖直方向则将杠杆抬到水平位置的过程中拉力F将________（选填“增大”、“减小”或“不变”）。
【答案】F3 不变
【解析】[1]如图所示：
F1使杠杆顺时针转动，F2、F3、F4使杠杆逆时针转动，所以不能使杠杆处于平衡状态的力是F1；F2、F3、F4的力臂分别为OD、OB、OC，其中OB最长，阻力和阻力臂一定，根据杠杆的平衡条件可知，动力臂越长，动力越小，所以F3最小。
[2]若作用力F始终沿竖直方向则将杠杆抬到水平位置的过程中，阻力臂与动力臂的比值不变，阻力不变，由杠杆平衡条件可知，拉力F不变。
变式1：（2022·浙江义乌市九年级期中）如图AB为一可绕O点转动的杠杆，在A端通过绳子作用一个拉力，使杠杆平衡，保持重物不动，而使绳绕A点沿图中虚线缓慢逆时针转动，则F的力臂（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．不变 D．无法判断
【答案】A
【解析】当绳从图示位置沿逆时针方向旋转时，力臂逐渐变大，到竖直方向时，力臂最大且L=OA，继续转动，力臂逐渐变小，所以力F的力臂先变大后变小。
变式2：（2021·浙江宁海县九年级阶段练习）小华在做实验时提出了如图所示两个模型，两杠杆均处于平衡状态，甲杠杆上平衡的是两个密度相同但体积不同的实心物体，乙杠杆上平衡的是两个体积相同但密度不同的实心物体（物体的密度都大于水）如果将它们都浸没在水中，则两杠杆将（ ）
A．仍保持平衡 B．都失去平衡
C．甲仍保持平衡，乙失去平衡 D．甲失去平衡，乙仍保持平衡
【答案】C
【解析】（1）甲杠杆：浸没水中之前G1L1=G2L2 ρ物gV1×L1=ρ物gV2×L2 则V1×L1=V2×L2
浸没水中后左端力和力臂的乘积为（G1-F浮1）×L1=（ρ物gV1-ρ水gV1）×L1=（ρ物-ρ水）gV1×L1
浸没水中后右端力和力臂的乘积为（G2-F浮2）×L2=（ρ物gV2-ρ水gV2）×L2=（ρ物-ρ水）gV2×L2
所以浸没水中后，左右两端力和力臂的乘积相等，故杠杆仍然平衡。
（2）乙杠杆：浸没水中之前
浸没水中后左端力和力臂的乘积为（G1-F浮1）×L1=（ρ1gV-ρ水gV）×L1=ρ1gV×L1-ρ水gV×L1
浸没水中后右端力和力臂的乘积为（G2-F浮2）×L2=（ρ2gV-ρ水gV）×L2=ρ2gV×L2-ρ水gV×L2
因为L1＜L2，所以，左端力和力臂的乘积大于右端力和力臂的乘积，故杠杆左端下沉。故选C。
变式3：（2022·富阳模拟）如图所示，OAB是杠杆，OA与BA垂直，在OA的中点处挂一个G＝10N的重物，杠杆重力及摩擦均不计。若加在B点的动力F甲使OA在水平位置保持静止，如图甲所示，那么，该杠杆________(选填“一定”或“不一定”)是省力杠杆；若动力F乙始终与OA垂直，将杠杆由水平位置匀速向上提升重物，如图乙所示，动力F乙的大小变化是________(选填“变大”、“变小”、“先变大后变小”或“先变小后变大”)；若动力F丙由竖直向上的方向沿逆时针缓慢地转到水平向左的方向，在此过程中OA始终保持水平静止，如图丙所示，请在答题卷上画出动力F丙随时间t的变化趋势________。
【答案】不一定；变小；
【解析】（1）阻力臂为，动力F甲的方向不确定，那么动力臂的长度可能大于，也可能小于，所以该杠杆不一定是省力杠杆；
（2）在杠杆由水平位置匀速向上提升重物的过程中，阻力G保持不变，但是阻力臂L2不断减小，动力臂L1=OA保持不变；根据杠杆的平衡条件G×L2=F乙×OA可知，动力F乙逐渐变小；
（3）如下图所示：
若动力F丙由竖直向上的方向沿逆时针缓慢地转到水平向左的方向， 当动力臂为OB时最长，即动力臂先变大后变小。根据杠杆的平衡条件G×L2=F丙×L1可知，G和L2保持不变，那么动力F丙的变化应该是先变小后变大。如下图所示：
1．（2021·浙江金华市九年级期中）某地一个结构坚固的水塔因地基松软而倾斜。为阻止水塔继续倾斜，救援队借助山石用钢缆拉住水塔。下列方案中，钢缆承受拉力最小的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】倾斜的水塔相对于一个杠杆，水塔的重力为阻力，钢缆对水塔的拉力为动力，根据杠杆平衡条件，阻力和阻力臂不变，动力臂越大，动力越小，ABCD四个选项中，B动力臂最大，所以钢缆对水塔拉力最小。
2．（2022·浙江金华市一模）如图甲是一种利用杠杆原理可以单手轻易开启酒瓶盖的开瓶器，观察并分析图乙，下列关于该杠杆的说法正确的是（ ）
A．该杠杆的支点是B点 B．该杠杆可以省距离
C．沿F3方向开瓶用力最小 D．该杠杆类型与镊子相同
【答案】A
【解析】A．由图知，将开瓶器看成一个杠杆，是绕B点转动的，所以B是支点，故A正确；
B．开瓶器使用时动力臂大于阻力臂，是省力杠杆，费距离，故B错误；
C．阻力和阻力臂一定，作用在F1和F3的力臂要比F2力臂长一些，根据杠杆的平衡条件可知动力臂越长越省力，又因为开瓶盖时，动力方向向下，故沿F1方向开瓶用力最小，故C错误；
D．镊子是费力杠杆，开瓶器是省力杠杆，该杠杆类型与镊子不同，故D错误。
3.（2022九上·宁波月考）有一根一端粗一端细的木棒，用绳子拴住木棒的O点，将它悬挂起来，恰好处于水平位置平衡，如图所示，若把木棒从绳子悬挂处锯开，则被锯开的木棒（ ）
A.粗细两端一样重 B.粗端较重 C.细端较重 D.无法判定
【答案】B
【解析】将悬挂点O看做支点，左边木棒的重力为阻力，右边木棒的重力为动力。根据图片可知，左端的阻力臂肯定小于右端的动力臂，根据杠杆平衡条件F1L1=F2L2可知，左端木棒的重力肯定大于右端木棒的重力，故B正确，而A、C、D错误。故选B。
4.如图AB为一可绕O点转动的杠杆，在A端通过绳子作用一个拉力，使杠杆平衡，保持重物不动，而使绳绕A点沿图中虚线缓慢逆时针转动，则F（ ）
A.先变大后变小 B.先变小后变大 C.不变 D.无法判断
【答案】B
【解析】在杠杆上，从支点到力的作用点为力臂时最长，此时动力最小；分析拉力在转动过程中动力臂的长度变化即可。
【解答】分析可知，当力F与杠杆AB垂直时，此时动力臂最长，因此在力F转动的过程中，动力臂先变长后变短；根据杠杆的平衡条件可知，力F先变小后变大。故选B。
5.（2022九上·宁波月考）如图所示，O为杠杆的支点，为了提高重物P，用一个跟杠杆保持垂直的力使杠杆由竖直位置转动到水平位置,在这个过程中（ ）
A.杠杆始终是省力的 B.杠杆始终是费力的
C.先是省力的，后是费力的 D.先是费力的，后是省力的
【答案】C
【解析】分析杠杆旋转的过程中，动力臂和阻力臂的大小关系，根据杠杆的平衡条件判断即可。
【解答】在杠杆由竖直位置转动到水平位置时，动力臂L1的长度始终不变。在开始的一端时间内，动力臂L1＞L2，为省力杠杆；后来，动力臂L1＜L2，为费力杠杆，因此这个杠杆先是省力的，后是费力的。故选C。
6.（2022九上·鄞州期中）如图所示，作用在杠杆一端始终与杠杆垂直的力F，将杠杆缓慢匀速地由位置A拉至位置B，在这个过程中力F的大小将( )
A.变大 B.不变 C.变小 D.先变大后变小
【答案】A
【解析】注意分析杠杆改变位置的过程中，动力臂和阻力臂的变化，然后根据杠杆的平衡条件分析动力F的变化即可。
根据图片可知，物体的重力为阻力，拉力F为动力；
根据杠杆的平衡条件得到：G×L2=F×L1；
由于拉力F始终与杠杆垂直，所以动力臂L1保持不变；
在杠杆旋转的过程中，阻力臂L2逐渐增大，那么G×L2=F×L1中的乘积变大；因为L1不变，所以动力F不断增大，故A正确，而B、C、D错误。
7．（2020·浙江北大附属嘉兴实验学校九年级阶段练习）如图所示，要使杠杆平衡，作用在 A 点上的力分别为 F1 、F2 、F3 ，其中最小的力是（ ）
A．沿竖直方向的力 F1
B．沿垂直杠杆方向的力 F2
C．沿水平方向的力 F3
D．无论什么方向用力一样大
【答案】B
【解析】由杠杆的平衡条件可知，要使杠杆平衡，作用在A点上的力最小时，其力臂是最长的．由图可知，图中的沿垂直杠杆方向的力F2最小。故选B。
8．（2021·浙江九年级专题练习）小张同学在家在学做手工时，需要将木板上钉错的一枚钉子拔掉，他想到了科学课课本上提到的羊角锤，于是他很快解决了问题。如图是他拔钉子的示意图，由图分析，在确定了支点O，阻力F2、阻力臂l2和动力臂l1后，判断羊角锤是一个_________力杠杆，原因是_________；为了更省力地拔出钉子，可以将手向手柄末端移动，理由是_______。
【答案】省 阻力臂小于动力臂 在阻力和阻力臂不变的情况下，动力臂越长，动力越小
【解析】[1][2]羊角锤使用时动力臂大于阻力臂，是省力杠杆。
[3]羊角锤使用时阻力和阻力臂是一定的，根据F1×l1=F2×l2可知，在阻力和阻力臂不变的情况下，需要增大动力臂，才能减小动力。故为了更省力，可以将手向手柄末端移动来增大动力臂。
9．（2022·浙江宁波市九年级阶段练习）如图甲是一种落地式海报架，图乙是海报架的侧视结构示意图。若视海报架为杠杆，水平向右的风将其吹倒的瞬间，支点是_______（选填“B”或“C”）；若要使海报架抵抗更大的风力，可适当_______（选填“增大”或“减小”）∠BAC角度的大小。
【答案】C 增大
【解析】[1]杠杆绕着转动的固定点叫支点，支点为杠杆在转动过程中的不动点，视海报架为杠杆，水平向右的风将其吹倒的瞬间，B点在移动，C点不动，故支点为C点；
[2]重力G的力臂L2如图所示
∠BAC角度越大，重力G的力臂L2越长，重力G大小不变，根据杠杆平衡原理可知，此时可承受更大的阻力，故若要使海报架抵抗更大的风力，应增大∠BAC角度。
10．（2021·浙江吴宁九年级期中）如图所示，OAB为一可绕O点自由转动的轻质杠杆，OA垂直于AB，且OA长度为40cm，AB长度为30cm，在OA中点C处挂一质量为1kg的物块，要求在端点B处施加一个最小的力F，使杠杆在图示位置平衡，则力F的力臂应是______cm，最小的力F是______N。
【答案】50 4
【解析】[1]连接OB，以这条线段作为该力的力臂时力臂最长、力最小，所以力F的力臂就是图中的OB，由勾股定理知道，直角边OA为40cm，AB为30cm，则斜边OB为50cm。
[2]物体的重力G=mg=1kg10N/kg=10N
根据杠杆的平衡条件知道
代入数据解得
11．（2022·浙江九年级期中）如图杠杆B点挂重物G，要使杠杆在图示位置平衡，画出最小力，的示意图和力臂。
【答案】
【解析】由杠杆平衡条件F1L1=F2L2可知，在阻力跟阻力臂的乘积一定时，动力臂越长，动力越小；图中支点在O点，因此OA作为动力臂最长，由图知动力的方向应该向下，过A点垂直于OA做出最小动力F1的示意图，如下图所示：
12．（2022·浙江宁波市江北区教育局教研室（宁波市江北区教师进修学校）九年级期末）自宁波开展垃圾分类以来，学校里放置了带盖子的垃圾桶，它能有效阻隔垃圾散发的气味，如图为打开桶盖时的简化图。若动力作用在A点上，请在图中画出：
（1）桶盖重力G的力臂L；
（2）作用在A点的最小动力F的示意图。
【答案】
【解析】（1）过支点O向重力作用线作垂线段，即为重力G的力臂，用L表示。
（2）以OA为动力臂是最长的力臂，阻力和阻力臂不变，根据杠杆平衡条件可知，此时动力最小；过A点作垂直于OA向上的作用力，即最小的动力F，如图所示：
13．（2022·浙江金华·九年级阶段练习）如图，要把一圆木推上台阶。
（1）下面四种推法中，哪种方法所需推力最小_______（填序号）。
（2）已知圆木重为G，半径为R，台阶高度为 ，则最小的推力为__________。
【答案】D
【解析】(1)[1]如题干图示知道，把一圆木推上台阶，可视为一个杠杆，其支点为圆木与台阶的接触点，四种推法中，阻力和阻力臂都相等，D图中动力臂最大，由杠杆平衡条件知道，D图中的方法所需推力最小。故选D。
(2)[2]由下图所示知道，圆木重力为G，圆木半径为R，台阶的高度为，
由杠杆平衡条件知道，由此解得最小推力
14．（2022·浙江舟山市九年级阶段练习）如图所示是搬运泥土的独轮车，独轮车属于________杠杆(选填“省力”或“费力”)。设车箱和泥土的总重G=1000N，运泥土时从A点提起独轮车把手的力是F，F的大小至少是________牛。
【答案】省力 250
【解析】[1] 独轮车是一个动力臂大于阻力臂的杠杆，所以属于省力杠杆。
[2]独轮车的车辆轮轴处是支点，其中重力G是阻力，支点到重力作用线的距离是阻力臂，故阻力臂是0.4m；力F是动力，支点到力F作用线的距离是动力臂，故动力臂是1.6m；
由杠杆的平衡条件可知：G×l2=F×l1 1000N×0.4m=F×1.6m 解得F=250N。
15．（2022·浙江绍兴·九年级期末）我国古代记录传统手工技术的著作《天工开物》里记载了一种捣谷用的春，“横木穿插硬头，嘴为铁，足踏其末而舂之”，如图甲所示。图乙为脚向下施加力F1踩舂时在某一位置的示意图。
（1）若碓头质量为10千克，在图示位置保持平衡时，l1=40厘米，l2=1.2米，不计横木的重力和摩擦，则脚向下施加的力F1=___________；
（2）如果想省力些，可将脚踩点适当___________（选填“远离”或“靠近”）O点。
【答案】300N 远离
【解析】（1）根据杠杆的平衡条件得到Fl11=F2l2 Fl11=mgl2
（2）如果想省力些，动力减小，阻力和阻力臂不变，由杠杆平衡条件可知增大动力臂，可以减小动力，可将脚踩点适当远离O点。
16.（2022 荆州）如图所示，一根足够长的轻质杠杆水平支在支架上，OA＝20cm，G1是边长为5cm的正方体，G2重为20N．当OB＝10cm时，绳子的拉力为 N，此时G1对地面的压强为2×104Pa．现用一水平拉力使G2以5cm/s的速度向右匀速直线运动，经过 s后，可使G1对地面的压力恰好为零。
【答案】10；10
【解析】（1）G2在C点时，由杠杆平衡条件得：FA×OA＝G2×OC，
即：FA×20cm＝20N×10cm，解得：FA＝10N；
物体与地面的接触面积：S＝5cm×5cm＝25cm2＝0.0025m2；
由p＝得物体G1对地面的压力：F＝pS＝2×104Pa×0.0025cm2＝50N，
地面对物体的支持力：F′＝F＝50N，
G1受竖直向下的重力G1、地面的支持力F′、绳子的拉力FA作用，
物体静止，处于平衡状态，由平衡条件得：G1＝FA+F′＝10N+50N＝60N；
（2）当G1对地面的压力为0时，杠杆在A点的受到的拉力FA′＝G1＝60N，
设G2位于D点，由杠杆平衡条件得：FA′×OA＝G2×OD，
即：60N×20cm＝20N×OD，解得：OD＝60cm，
物体G2的路程：s＝OD﹣OC＝60cm﹣10cm＝50cm，
由v＝得物体G2的运动时间：t＝＝＝10s；
17.如图所示，用固定在墙上的三角支架ABC放置空调室外机，如果A处螺钉松脱，则支架会绕C点倾翻。已知AB长40厘米，AC长30厘米。室外机的重力为300牛，正好处在AB中点。
（1）A处螺钉的水平拉力为多少牛？ (支架重力不计)
（2）为了安全起见，室外机AB要尽量靠墙，以减小A处所承受的拉力，请说明原因。
【答案】（1）根据杠杆的平衡条件F1L1=F2L2得到：300N×=F×0.3m；解得：F=200N。
（2）根据杠杆的平衡条件F1L1=F2L2得到：F×AC=G×L2，那么在阻力和动力臂一定的情况下，减小阻力臂，从而减小A处的拉力。
【解析】（1）根据图片可知，可将C点看作支点，室外机的重力相当于阻力F2，阻力臂为AB的一半；A点螺钉的水平拉力相当于动力F1，动力臂为AC，根据杠杆的平衡条件F1L1=F2L2计算即可。
（2）根据杠杆的平衡条件F1L1=F2L2分析即可。
18.如图所示为一种简易的捕鼠器，质量为150g、长1m材质均匀的木板放在水平桌面上，木板最左端离桌沿O点40cm。在木板的上方挂一诱饵，一只老鼠为了吃到诱饵沿木板向左端爬去，当老鼠爬过距离O点30cm位置时，木板会失去平衡，使老鼠落入水桶中，则该老鼠重为________N。(g取10N/kg)
【答案】0.5
【解析】木板的重力作用在它的中点， 那么杠杆的阻力臂L2=，
动力臂L1=30cm；
根据杠杆的平衡条件得到：G×L1=G木板×L2；
G×30cm=0.15kg×10N/kg×10cm； 解得：G=0.5N。
19．（2021·浙江义乌市九年级期中）如图所示，质量不计的木板AB长1.6m，可绕固定点O转动，离O点0.4m的B端挂一重物G，板的A端用一根与水平地面成30°夹角的细绳拉住，木板在水平位置平衡时绳的拉力是8N，木板水平平衡。
（1）在图上作出绳对木板的拉力的力臂。
（2）求重物G的大小。
（3）之后在O点的正上方放一质量为0.5kg的小球，若小球以20cm/s的速度由O点沿木板向A端匀速运动，问小球至少运动多长时间细绳的拉力减小到零？（g取10N/kg，绳的重力不计）
【答案】（1）；（2）12N；（3）4.8s
【解析】解：（1）[1]力臂是从支点到力的作用点的垂线段的长度。首先将绳子沿反方向延长，然后通过支点O做它的垂线段，这条垂线段就是拉力的力臂，如下图所示：
（2）[2]根据图片可知，动力臂L与30°角相对，
那么动力臂L等于AO长度的一半；根据杠杆平衡条件得F绳×AO＝G×BO
即8N××（1.6m－0.4m）＝G×0.4m解得G＝12N
（3）[3]球的重力G球＝m球g＝0.5kg×10N/kg＝5N
当绳子拉力为0时，设球离O点距离为L球
则根据杠杆平衡条件得G球×L球＝G×BO即5N×L球＝12N×0.4m
解得L球＝0.96m＝96cm运动时间
20．（2022·浙江金华市九年级开学考试）已知一根质量分布均匀的圆柱体木料质量为60kg，体积为0.1m3.问：
（1）此木料的密度为_________。
（2）如图所示，甲、乙两人分别在A点和B点共同扛起此本料并恰好水平，其中AO=OB，O为木料的中点，当乙的作用点从B点向O点靠近时，在此过程中甲对木料作用力大小变化情况是_________。（选填“变大”、“变小”或“不变”）
【答案】0.6×103 变小
【解析】[1]由题知木料质量为60kg，体积为0.1m3根据密度公式得
[2]以A为支点，可以将质量分布均匀的木料所受的重力等效于其重心O点，则 ，则由杠杆平衡条件F1l1=F2l2得F乙AB=GAO即F乙=
当乙的作用点从B点向O靠近时，此时作用点记为C，以A为支点，由杠杆平衡条件F1l1=F2l2得
F乙AC=GAO即F乙=
当乙向O点靠近，AC减小，G与AO不变，则F乙变大；因为木料处于平衡状态，故所受合力为零，则有F乙+F甲=G，因F乙变大，所以F甲变小。
21.（2022·浙江嘉兴月考）如图所示是小李和小王利用刻度均匀的轻质杠杆探究“杠杆平衡条件”的实验装置。
(1)实验前没挂钩码时，杠杆静止的位置如图甲所示，此时应将螺母向_______________调节，使杠杆在水平位置平衡。
(2)杠杆平衡后，小李在左右两侧分别挂上钩码，如图乙所示，杠杆的____________端会下沉，要使杠杆重新在水平位置平衡，在不改变钩码悬挂点的位置和改变较少钩码的前提下，只需将__________即可。
(3)小李和小王又分别设计了两种实验方案，小李的方案如图丙所示，小王的方案如图丁所示。你认为__________的实验方案更好，请说明你的理由：________________________。
(4)实验中小王发现：如果在杠杆的O点用弹簧测力计施加一个向上的力，这个力在探究实验时是否影响到杠杆的平衡？请说明理由：______________________________________。
【答案】(1)右 (2)左 左端的钩码去掉一个 (3)小李 弹簧测力计在图丙的力与杠杆垂直，力臂在杠杆上便于测量 (4)不影响，这个作用力在杠杆O点的力的力臂等于零
【解析】 (1)调节杠杆在水平位置平衡，杠杆右端偏高，左端的平衡螺母应向右端移动。(2)设杠杆每个格的长度为L，每个钩码的重力为G，根据杠杆的平衡条件：F左l左＝F右l右，即4G×2L＞2G×3L，左端大，左端下沉；要使杠杆重新在水平位置平衡，如果不改变悬挂点位置，只需要将左侧的钩码去掉一个即可平衡。(3)由图可知，弹簧测力计在图丙的力与杠杆垂直，力臂在杠杆上便于测量，图丁的力不与杠杆垂直，力臂不方便测量，故小李的实验方案更好。(4)杠杆在O点受到一个向上的力，这个力与杠杆自身重力都过杠杆的支点，力臂为零，所以这个力在探究杠杆平衡时不会影响到杠杆的平衡。
22.某同学制作了直接测量液体密度的“密度天平”．其制作过程和原理如下：如图甲所示，选择一个长杠杆，调节两边螺母使杠杆在水平位罝平衡；在左侧离支点10cm的位罝A用细线固定一个质量为110g、容积为50mL的容器．右侧用细线悬挂一质量为50g的钩码（细线的质量忽略不计）。
【测量过程】将下对实验空白处补充完整：
（1）调节杠杆平衡时，发现杠杆左端下沉，需将平衡螺母向________端调节（填“左”或“右”）；测量液体时往容器中加满待测液体，移动钩码使杠杆在水平位置平衡，在钩码悬挂位罝直接读出液体密度。
（2）当容器中没有液体时，钩码所在的位置即为“密度天平”的“零刻度”，“零刻度”距离支点O________cm。
（3）若测量某种液体的密度时，钩码在距离支点右侧31cm处，则此种液体的质量为________g，液体的密度为________g/cm3。
（4）若此“密度天平“的量程不够大，可以采用________的方法增大量程（写出一种即可）。
（5）【拓展应用】若杠杆足够长，用此“密度天平”还可以测量固体的密度．先在容器中加满水，再将待测固体轻轻浸没在水中，溢出部分水后，调节钩码的位置，使杠杆水平平衡，测出钩码离支点O的距离为56cm；用量筒测出溢出水的体枳如图乙所示，则固体的密度为________g/cm3（已知ρ水=1.0g/cm3）。
【答案】（1）右（2）22（3）45；0.9（4）增加杠杆的长度（5）5
【解析】(1)杠杆的左端下況，说明右轻,那么平衡螺母向右凋;
(2)根据杠杆的平衡条件得到:G容L2=G砝L1
0.1lkg x 10N/kgx 10cm= 0.05g x 10N/kg x L1 L=22cm;
(3)钩码在距高支点右31cm处,根据杠杆平衡条件得到:G总L2=G砝L1
m总x10cm=50gx31cm m总=155g;
液体的质量:m=m总- m容=155g-110g=45g; 液体的密度:P=m/v=0.9g/cm3;
(4)当物体的重力増大时,钩码的重カ和力臂的乘枳肯定増大,要保持杠杆平衡,要幺増加杠杆的氏度，要么増大钩码的重カ,送祥才能増大量程。
(5)根据量筒可知,物体的体积30cm3
容器内剰余水的量カ:m水=PV水=20g;
根据杠杆平衡条件得到:G总L2=G砝L1 m总L2=m砝L1
m总 x 10cm = 50g x 56cm m总=280g ;
固体的质量为:m固= m总-m容-m水= 280g -110g -20g= 150g;
固体的密度:P=5g/cm3.
23．（2022·浙江金华·九年级期末）如图所示，小科同学利用铁架台、带有刻度的杠杆、细线、若干相同钩码、弹簧测力计（单位N）等实验器材“探究杠杆的平衡条件”，一起完成以下问题：
（1）在挂钩码前，杠杆在如图甲所示的位置静止，此时杠杆___________（填“已达到”或“未达到”）平衡状态，接下来应将杠杆两端的平衡螺母向___________（填“左”或“右”）调，使杠杆在水平位置平衡；
（2）移动钩码的位置，使杠杆重新在水平位置平衡（如图乙）。若在A、B下方再增挂一个相同的钩码，则杠杆___________（填“左”或“右”）端将下沉；
（3）图丙是已经调节平衡的杠杆，在某处挂上适当的钩码后，用弹簧测力计在杠杆C处竖直向上按使杠杆在水平位置重新平衡，则所挂钩码的位置和重力分别是___________（填字母编号）
A．A处挂3N B．A处挂2N C．B处挂3N D．B处挂2N
（4）如图丁所示为农村经常用来测量物体的质量的杆秤，它是利用杠杆原理来制作的。称量是把货物挂在A点。手提着B或C点，调节D点秤砣的位置使秤杆在水平位置平衡，对应秤杆上D点的读数就是货物的质量了。在使用时，为了称量质量较大的货物，手应该提着___________（填“B”或“C”）点的绳子；若秤砣有磨损，则所测物体的质量将___________（填“偏大”“偏小”或“不变”）。
【答案】已达到 左 左 BC B 偏大
【解析】（1）[1]杠杆在如图甲所示的位置静止，此时杠杆处于静止状态，达到平衡状态。
[2]由图甲中，杠杆的左端较高，平衡螺母应向左端移动使杠杆在水平位置平衡，这样做的目的是为了方便读出力臂。
（2）设杠杆上一个小格的长度为l，一个钩码重为G，由杠杆平衡条件，在A、B下方再增挂一个相同的钩码，则左侧力和力臂的乘积5G×3l=15Gl
右侧力和力臂的乘积7G×2l=14Gl，因为14Gl＜15Gl所以杠杆左端会下沉。
（3）[4]当弹簧测力计在C点竖直向上拉杠杆，弹簧测力计的示数如图所示，分度值是0.2N，数值是3N，设每个小格长度为L，在A点挂一定数量的钩码时，阻力臂为3L，根据杠杆的平衡条件得
FC×3L=3N×2L FC=2N
B和C在同一点，根据杠杆的平衡条件得FB×2L=3N×2L FB=3N故选BC。
（4）[5]根据杠杆平衡条件，杠杆秤砣一端的力不变，力臂变大，力和力臂的乘积变大，重物一端的力和力臂的乘积也会相应变大，提钮从C换到B时，力臂减小，力一定增大，称得的质量会增大，因此为了称量质量较大的货物，手应该提着B点的绳子。
[6]若秤砣有磨损，秤砣一端的力减小，重物一端的力和力臂的乘积不变，由杠杆的平衡条件，所以秤砣一端力臂要变大，杆秤所示的质量值要偏大。
24．（2022·浙江中考真题）项目学习小组在使用密度计时发现由于刻度不均匀，估读时误差较大，由此准备制作一个刻度均匀的密度计。
【小组讨论】液体密度计是根据排开液体的体积变化判断密度大小；根据密度公式 ，想到是否可以通过密度与质量之间的关系来制作刻度均匀的密度计。经过查阅资料及深入讨论最后确定了制作方案。
【查阅资料】杆秤是我国古老的质量称量工具（如图甲），刻度是均匀的。使用时先把被测物体挂在秤钩处，提起秤纽，移动秤砣，当秤杆在水平位置平衡时，秤砣悬挂点对应的数值即为物体的质量。
（1）杆秤的工作原理是___________；
【产品制作】
器材：木棒、塑料杯、细线、刻度尺、金属块（代替秤砣）。
步骤：
①模仿杆秤结构，用杯子代替秤钩，先自制一根无刻度“密度秤”；
②杯中不加液体，提起秤纽，移动秤砣，当秤杆在水平位置平衡时（如图乙），将此时秤砣的悬挂点A标记为“0”刻度；
③杯中加水至a处，提起秤纽，移动秤砣，当秤杆在水平位置平衡时，将此时秤砣的悬挂点B标记为“___________？___________”刻度（单位g/cm3）；
④以AB两点之间长度的为标准，在整根秤杆上均匀地标上刻度。
（2）在制作过程中，秤杆出现左低右高现象（如图丙），要调至水平位置平衡，秤砣应往___________侧移动；
（3）步骤③中，秤砣悬挂点B标记的刻度值应为___________；
【产品检验】用多种密度已知的液体对“密度秤”刻度准确度进行检验。
【产品升级】
（4）为了制作出精确度更高的“密度秤”，下列改进措施可行的是___________。
A．把秤纽位置往远离秤钩一侧移动 B．减小秤砣的质量
C．减少加入杯中的液体体积 D．换用更细的秤杆
【答案】杠杆平衡原理（或F1·l1=F2·l2） 右 1.0##1 AB
【解析】（1）通过图示的模型结合杠杆的定义，即可确定它用到的相关知识，杆秤的工作原理是杠杆平衡原理。
（2）秤杆出现左低右高现象，根据杠杆平衡原理，右侧的动力和动力臂的乘积小于左侧阻力和阻力臂的乘积，所以向右移动秤砣，增大动力臂，可以达到水平平衡。
（3）密度秤测量水的密度，水的密度是1.0g/cm3；故在B的位置标记为1.0。
（4）A．把秤纽位置往远离秤钩一侧移动，说明阻力臂增大，根据杠杆平衡原理F1L1=F2L2，动力和阻力不变，动力臂也要随着增大，AB两点之间长度增大，密度秤会更精确，故A正确；
B．减小秤砣的质量，说明动力减小，根据杠杆平衡原理F1L1=F2L2，动力臂也要随着增大，AB两点之间长度增大，密度秤会更精确，故B正确；
C．杯中不加液体，提起秤纽，移动秤砣，当秤杆在水平位置平衡时G0×L1=G陀×LA
杯中加水至a处，提起秤纽，移动秤砣，当秤杆在水平位置平衡时（G0+G水）×L1=G陀×LB
联立两式可得
杯中加某种液体至a处，提起秤纽，移动秤砣，当秤杆在AB中某一点C处，水平位置平衡时，可得
可得
当液体体积和水的体积相同时，液体和水的密度比就是重力比，也为长度比；如果减少加入杯中的液体体积，则不能通过密度秤得到液体的密度大小，故C错误；
D．由上述计算可知，秤杆的重力不影响最后的密度结果，故D错误。故选AB。
思维导图
典例分析
举一反三
典例分析
举一反三
典例分析
举一反三
课后巩固
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第4节 简单机械-杠杆2 实验探究与动态平衡
考点四、杠杆平衡的条件（实验探究）
实验步骤:
A.调节杠杆两端的平衡螺母，使杠杆在水平位置平衡。
B.如图所示，在杠杆两边挂上不同数量的钩码，调节钩码的位置，使杠杆在水平位置平衡。这时杠杆两边受到钩码的作用力的大小都等于钩码重力的大小。
把支点右方的钩码的重力当成动力F1，支点左方的钩码的重力当成阻力F2；用刻度尺测量出杠杆平衡时的动力臂L1和阻力臂L2；把F1、F2、L1、L2的数值填入实验表格中。
C.改变力和力臂的数值，再做两次实验，将结果填入实验表格中。
分析与论证:分析实验数据，可知杠杆平衡时，如果动力臂比阻力臂大，则动力比阻力小；动力臂比阻力臂小，则动力比阻力大。如果把每次实验的动力与动力臂相乘，阻力与阻力臂相乘，虽然各次实验的乘积不相同，但每次实验中动力与动力臂的乘积跟阻力与阻力臂的乘积相等，即动力x动力臂=阻力x阻力臂，用公式表示为F1 x L1=F2 x L2
典例1：（2022·浙江舟山·九年级期末）某小组同学通过实验研究动力对杠杆平衡的影响。他们在杠杆左侧的B点挂一重为G的物体，在杠杆的右侧用力使杠杆在水平位置平衡，并用测力计测出动力的大小。第一组实验：持动力在竖直方向不变、只改变动力作用点的位置，如图甲所示，测得F1>F2>F3，第二组实验：保持动力作用点的位置不变、只改变动力的方向，如图乙所示，测得F4>F5>F6。
（1）实验中把同一重物挂在杠杆左侧B点，且使杠杆在水平位置平衡，目的是为控制_________不变；
（2）图甲中动力大小发生了改变，图乙中动力大小也发生了改变，请你从杠杆平衡的条件来分析，两组实验中动力大小均发生改变的共同原因是_______发生了改变。
变式1：（2022·浙江绍兴·中考真题）小敏在做“研究杠杆平衡条件”的实验时，先后出现杠杆右端下降的现象。为使杠杆水平平衡，下列操作正确的是（ ）
A．图甲中平衡螺母向左调节；图乙中右侧钩码向左移动
B．图甲中平衡螺母向左调节；图乙中右侧钩码向右移动
C．图甲中平衡螺母向右调节；图乙中左侧钩码向左移动
D．图甲中平衡螺母向右调节；图乙中左侧钩码向右移动
变式2：（2022.九上宁波期中）在“探究杠杆平衡条件”实验中，小科用一块T形板对实验装置进行改进。如图甲所示，T形板上有槽口ab和卡口cd，T形板通过槽口ab可以绕着杠杆的0点自由旋转并上下移动，弹簧测力计与一根质量可以忽略的碳素细棒MN相连，碳素细棒MN刚好卡入T形板的卡口cd，如图乙所示。
（1）小想认为要完成这个实验，还需要一把刻度尺，但小科认为只要在T形板上稍微进行改进，不添加器材也可完成实验。小科对T形板进行的改进方法是 ________。
（2）利用这个装置进行实验的优点为：________。
（3）小科在实验过程中，保持阻力、阻力臂不变，在杠杆水平平衡时，测出每一组动力臂L1和动力F1的数据，并利用实验数据绘制了F1与L1的关系图像，如图丙所示。请根据图像推算，当L1为5cm时，F1为________N。
变式3：（2022·浙江宁波·九年级期末）在“探究杠杆平衡条件”的实验中：
（1）小科同学先把杠杆的中点支在支架上，杠杆静止在如图甲所示的位置，此时杠杆处于___________（填 “平衡”或“不平衡”）状态。
（2）杠杆在水平位置平衡后，小科按照图乙所示的实验方案，在杠杆上分别施加动力、阻力，并使杠杆在水平位置重新平衡，记录动力F1、动力臂L1、阻力F2、阻力臂L2在下表中。
实验序号 F1 L1 F2 L2
1 2 3 2 3
2 3 4 3 4
3 4 2 4 2
该小组同学分析比较表中数据后，发现可以得出多个不同的结论。他们经过思考，认为图乙所示的方案存在缺陷。你认为图乙所示方案的缺陷是：___________。
（3）小科重新多次实验后，根据所得数据绘制成如图丙所示的L2和F2的关系图像。他发现这和数学课上学过的反比例函数y=kx的图像很相似。为了进一步确定L2和F2的函数关系，他应该利用以上数据作L2和___________之间的关系图像。
（4）小科想利用杠杆的平衡条件来测量均匀刻度尺的质量。
①将刻度尺平放在支座上，左右移动刻度尺，找出能够使刻度尺在水平位置保持平衡的支点位置，记下这个位置，它就是刻度尺的重心；
②如图丁所示，将质量为M1的物体挂在刻度尺左边某一位置，使刻度尺能够在支座上重新保持水平平衡，记录物体悬挂点到支座的距离L1和刻度尺的重心到支座的距离L2；
③根据杠杆的平衡条件，可以计算出刻度尺的质量m=___________（用题目中所给物理量表示）。
考点五、求最大动力臂和最小动力
由F1 x L1=F2 x L2知，当阻力、阻力臂一定时，动力臂越长，动力越小，动力臂最长时，动力最小。要求最小动力，应先求最大动力臂。
(1)找最大动力臂的方法:
①动力作用点确定时，支点到动力作用点的线段长即为最大动力臂；
②动力作用点没有确定时，应看杠杆上哪一点离支点最远，则这一点到支点线段长即为最大动力臂。
(2)最小动力的作法:
①作出最大动力臂(即连接支点与最远点作为最大动力臂)；
②过动力作用点作最大动力臂的垂线，根据实际情况确定动力方向。
(3)若动力臂和阻力一定时，由杠杆平衡条件可知，阻力臂最小时，动力最小。
典例1：（2022·浙江宁波·九年级期末）如图甲所示是某款学生用翻盖式课桌，抬起过程应用了杠杆原理，桌盖可绕铰链（支点O）自由转动，A点为桌盖重心位置。图乙为桌盖抬起时受力分析图，由图可知，该杠杆属于___________（填“省力”、“等臂”或“费力”）杠杆。若在B点分别施力F1、F2、F3，使杠杆平衡，其中最小的力是___________（填“F1”、“F2”或“F3”）。
变式1：（2022·浙江台州市书生中学九年级期中）在地震中，救援队员把滚落在公路上的石块撬起，如图所示，若救援队员在撬棒D点沿DM方向用力撬起石块1，撬棒的支点是___________点；若救援队员在撬棒D点沿DN方向用力撬起石块1，撬棒的支点是___________点。这两种方式中，沿___________（填“DM”或“DN”）方向用力撬起石块1比较省力。
变式2：（2022·浙江萧山区九年级阶段练习）如图为脱模油厂的油桶，空桶质量为100kg，油桶高为1.2m，底部直径为0.5m，据此回答。
(1)某次装卸中，小明需要将直立的空油桶(如图甲)沿D点推翻，试在甲图上作出推翻空油桶所需的最小力F1。____
(2)在推翻油桶过程中，小明至少需要对油桶做功____J；
(3)若将翻倒的空油桶(如图乙)重新竖起所用的最小力为F2，那么，F1____F2(选填“大于”、“等于”或“小于”)。
变式3：（2022九上·西湖期中）如图所示，一根粗细均匀的轻质杠杆AOBC按图水平放置（支点在O点），其各段的长度关系为AO:BO:BC=4:3:4，重量为G的物体竖直悬挂在A点，
（1）请在图上画出使杠杆水平平衡的最小力的示意图。
（2）请根据杠杆平衡条件分析，（1）中最小力F=________G。
（3）若考虑到粗细均匀杠杆的实际重力存在，则（2）中最小力的实际大小F实________（“大于”、“等于”、“小于”）F 。
考点六、杠杆的动态平衡问题
先找出杠杆的相关要素——支点、动力、动力臂、阻力、阻力臂，当杠杆水平时，如果动力臂最长，也就是说动力是最小的。因此，根据杠杆的平衡条件可继续分析出，当力的方向改变时，对力臂与力的影响。
典例1：（2022·浙江湖州·九年级期末）如图所示，在A点分别作用的四个力中，能使杠杆处于平衡状态的最小力________，若作用力F始终沿竖直方向则将杠杆抬到水平位置的过程中拉力F将________（选填“增大”、“减小”或“不变”）。
变式1：（2022·浙江义乌市九年级期中）如图AB为一可绕O点转动的杠杆，在A端通过绳子作用一个拉力，使杠杆平衡，保持重物不动，而使绳绕A点沿图中虚线缓慢逆时针转动，则F的力臂（ ）
A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．不变 D．无法判断
变式2：（2021·浙江宁海县九年级阶段练习）小华在做实验时提出了如图所示两个模型，两杠杆均处于平衡状态，甲杠杆上平衡的是两个密度相同但体积不同的实心物体，乙杠杆上平衡的是两个体积相同但密度不同的实心物体（物体的密度都大于水）如果将它们都浸没在水中，则两杠杆将（ ）
A．仍保持平衡 B．都失去平衡
C．甲仍保持平衡，乙失去平衡 D．甲失去平衡，乙仍保持平衡
变式3：（2022·富阳模拟）如图所示，OAB是杠杆，OA与BA垂直，在OA的中点处挂一个G＝10N的重物，杠杆重力及摩擦均不计。若加在B点的动力F甲使OA在水平位置保持静止，如图甲所示，那么，该杠杆________(选填“一定”或“不一定”)是省力杠杆；若动力F乙始终与OA垂直，将杠杆由水平位置匀速向上提升重物，如图乙所示，动力F乙的大小变化是________(选填“变大”、“变小”、“先变大后变小”或“先变小后变大”)；若动力F丙由竖直向上的方向沿逆时针缓慢地转到水平向左的方向，在此过程中OA始终保持水平静止，如图丙所示，请在答题卷上画出动力F丙随时间t的变化趋势________。
1．（2021·浙江金华市九年级期中）某地一个结构坚固的水塔因地基松软而倾斜。为阻止水塔继续倾斜，救援队借助山石用钢缆拉住水塔。下列方案中，钢缆承受拉力最小的是( )
A． B． C． D．
2．（2022·浙江金华市一模）如图甲是一种利用杠杆原理可以单手轻易开启酒瓶盖的开瓶器，观察并分析图乙，下列关于该杠杆的说法正确的是（ ）
A．该杠杆的支点是B点 B．该杠杆可以省距离
C．沿F3方向开瓶用力最小 D．该杠杆类型与镊子相同
3.（2022九上·宁波月考）有一根一端粗一端细的木棒，用绳子拴住木棒的O点，将它悬挂起来，恰好处于水平位置平衡，如图所示，若把木棒从绳子悬挂处锯开，则被锯开的木棒（ ）
A.粗细两端一样重 B.粗端较重 C.细端较重 D.无法判定
4.如图AB为一可绕O点转动的杠杆，在A端通过绳子作用一个拉力，使杠杆平衡，保持重物不动，而使绳绕A点沿图中虚线缓慢逆时针转动，则F（ ）
A.先变大后变小 B.先变小后变大 C.不变 D.无法判断
5.（2022九上·宁波月考）如图所示，O为杠杆的支点，为了提高重物P，用一个跟杠杆保持垂直的力使杠杆由竖直位置转动到水平位置,在这个过程中（ ）
A.杠杆始终是省力的 B.杠杆始终是费力的
C.先是省力的，后是费力的 D.先是费力的，后是省力的
6.（2022九上·鄞州期中）如图所示，作用在杠杆一端始终与杠杆垂直的力F，将杠杆缓慢匀速地由位置A拉至位置B，在这个过程中力F的大小将( )
A.变大 B.不变 C.变小 D.先变大后变小
7．（2020·浙江北大附属嘉兴实验学校九年级阶段练习）如图所示，要使杠杆平衡，作用在 A 点上的力分别为 F1 、F2 、F3 ，其中最小的力是（ ）
A．沿竖直方向的力 F1
B．沿垂直杠杆方向的力 F2
C．沿水平方向的力 F3
D．无论什么方向用力一样大
8．（2021·浙江九年级专题练习）小张同学在家在学做手工时，需要将木板上钉错的一枚钉子拔掉，他想到了科学课课本上提到的羊角锤，于是他很快解决了问题。如图是他拔钉子的示意图，由图分析，在确定了支点O，阻力F2、阻力臂l2和动力臂l1后，判断羊角锤是一个_________力杠杆，原因是_________；为了更省力地拔出钉子，可以将手向手柄末端移动，理由是_______。
9．（2022·浙江宁波市九年级阶段练习）如图甲是一种落地式海报架，图乙是海报架的侧视结构示意图。若视海报架为杠杆，水平向右的风将其吹倒的瞬间，支点是_______（选填“B”或“C”）；若要使海报架抵抗更大的风力，可适当_______（选填“增大”或“减小”）∠BAC角度的大小。
10．（2021·浙江吴宁九年级期中）如图所示，OAB为一可绕O点自由转动的轻质杠杆，OA垂直于AB，且OA长度为40cm，AB长度为30cm，在OA中点C处挂一质量为1kg的物块，要求在端点B处施加一个最小的力F，使杠杆在图示位置平衡，则力F的力臂应是______cm，最小的力F是______N。
11．（2022·浙江九年级期中）如图杠杆B点挂重物G，要使杠杆在图示位置平衡，画出最小力，的示意图和力臂。
12．（2022·浙江宁波市江北区教育局教研室（宁波市江北区教师进修学校）九年级期末）自宁波开展垃圾分类以来，学校里放置了带盖子的垃圾桶，它能有效阻隔垃圾散发的气味，如图为打开桶盖时的简化图。若动力作用在A点上，请在图中画出：
（1）桶盖重力G的力臂L；
（2）作用在A点的最小动力F的示意图。
13．（2022·浙江金华·九年级阶段练习）如图，要把一圆木推上台阶。
（1）下面四种推法中，哪种方法所需推力最小_______（填序号）。
（2）已知圆木重为G，半径为R，台阶高度为 ，则最小的推力为__________。
14．（2022·浙江舟山市九年级阶段练习）如图所示是搬运泥土的独轮车，独轮车属于________杠杆(选填“省力”或“费力”)。设车箱和泥土的总重G=1000N，运泥土时从A点提起独轮车把手的力是F，F的大小至少是________牛。
15．（2022·浙江绍兴·九年级期末）我国古代记录传统手工技术的著作《天工开物》里记载了一种捣谷用的春，“横木穿插硬头，嘴为铁，足踏其末而舂之”，如图甲所示。图乙为脚向下施加力F1踩舂时在某一位置的示意图。
（1）若碓头质量为10千克，在图示位置保持平衡时，l1=40厘米，l2=1.2米，不计横木的重力和摩擦，则脚向下施加的力F1=___________；
（2）如果想省力些，可将脚踩点适当___________（选填“远离”或“靠近”）O点。
16.（2022 荆州）如图所示，一根足够长的轻质杠杆水平支在支架上，OA＝20cm，G1是边长为5cm的正方体，G2重为20N．当OB＝10cm时，绳子的拉力为 N，此时G1对地面的压强为2×104Pa．现用一水平拉力使G2以5cm/s的速度向右匀速直线运动，经过 s后，可使G1对地面的压力恰好为零。
17.如图所示，用固定在墙上的三角支架ABC放置空调室外机，如果A处螺钉松脱，则支架会绕C点倾翻。已知AB长40厘米，AC长30厘米。室外机的重力为300牛，正好处在AB中点。
（1）A处螺钉的水平拉力为多少牛？ (支架重力不计)
（2）为了安全起见，室外机AB要尽量靠墙，以减小A处所承受的拉力，请说明原因。
18.如图所示为一种简易的捕鼠器，质量为150g、长1m材质均匀的木板放在水平桌面上，木板最左端离桌沿O点40cm。在木板的上方挂一诱饵，一只老鼠为了吃到诱饵沿木板向左端爬去，当老鼠爬过距离O点30cm位置时，木板会失去平衡，使老鼠落入水桶中，则该老鼠重为________N。(g取10N/kg)
19．（2021·浙江义乌市九年级期中）如图所示，质量不计的木板AB长1.6m，可绕固定点O转动，离O点0.4m的B端挂一重物G，板的A端用一根与水平地面成30°夹角的细绳拉住，木板在水平位置平衡时绳的拉力是8N，木板水平平衡。
（1）在图上作出绳对木板的拉力的力臂。
（2）求重物G的大小。
（3）之后在O点的正上方放一质量为0.5kg的小球，若小球以20cm/s的速度由O点沿木板向A端匀速运动，问小球至少运动多长时间细绳的拉力减小到零？（g取10N/kg，绳的重力不计）
20．（2022·浙江金华市九年级开学考试）已知一根质量分布均匀的圆柱体木料质量为60kg，体积为0.1m3.问：
（1）此木料的密度为_________。
（2）如图所示，甲、乙两人分别在A点和B点共同扛起此本料并恰好水平，其中AO=OB，O为木料的中点，当乙的作用点从B点向O点靠近时，在此过程中甲对木料作用力大小变化情况是_________。（选填“变大”、“变小”或“不变”）
21.（2022·浙江嘉兴月考）如图所示是小李和小王利用刻度均匀的轻质杠杆探究“杠杆平衡条件”的实验装置。
(1)实验前没挂钩码时，杠杆静止的位置如图甲所示，此时应将螺母向_______________调节，使杠杆在水平位置平衡。
(2)杠杆平衡后，小李在左右两侧分别挂上钩码，如图乙所示，杠杆的____________端会下沉，要使杠杆重新在水平位置平衡，在不改变钩码悬挂点的位置和改变较少钩码的前提下，只需将__________即可。
(3)小李和小王又分别设计了两种实验方案，小李的方案如图丙所示，小王的方案如图丁所示。你认为__________的实验方案更好，请说明你的理由：________________________。
(4)实验中小王发现：如果在杠杆的O点用弹簧测力计施加一个向上的力，这个力在探究实验时是否影响到杠杆的平衡？请说明理由：______________________________________。
22.某同学制作了直接测量液体密度的“密度天平”．其制作过程和原理如下：如图甲所示，选择一个长杠杆，调节两边螺母使杠杆在水平位罝平衡；在左侧离支点10cm的位罝A用细线固定一个质量为110g、容积为50mL的容器．右侧用细线悬挂一质量为50g的钩码（细线的质量忽略不计）。
【测量过程】将下对实验空白处补充完整：
（1）调节杠杆平衡时，发现杠杆左端下沉，需将平衡螺母向________端调节（填“左”或“右”）；测量液体时往容器中加满待测液体，移动钩码使杠杆在水平位置平衡，在钩码悬挂位罝直接读出液体密度。
（2）当容器中没有液体时，钩码所在的位置即为“密度天平”的“零刻度”，“零刻度”距离支点O________cm。
（3）若测量某种液体的密度时，钩码在距离支点右侧31cm处，则此种液体的质量为________g，液体的密度为________g/cm3。
（4）若此“密度天平“的量程不够大，可以采用________的方法增大量程（写出一种即可）。
（5）【拓展应用】若杠杆足够长，用此“密度天平”还可以测量固体的密度．先在容器中加满水，再将待测固体轻轻浸没在水中，溢出部分水后，调节钩码的位置，使杠杆水平平衡，测出钩码离支点O的距离为56cm；用量筒测出溢出水的体枳如图乙所示，则固体的密度为________g/cm3（已知ρ水=1.0g/cm3）。
23．（2022·浙江金华·九年级期末）如图所示，小科同学利用铁架台、带有刻度的杠杆、细线、若干相同钩码、弹簧测力计（单位N）等实验器材“探究杠杆的平衡条件”，一起完成以下问题：
（1）在挂钩码前，杠杆在如图甲所示的位置静止，此时杠杆___________（填“已达到”或“未达到”）平衡状态，接下来应将杠杆两端的平衡螺母向___________（填“左”或“右”）调，使杠杆在水平位置平衡；
（2）移动钩码的位置，使杠杆重新在水平位置平衡（如图乙）。若在A、B下方再增挂一个相同的钩码，则杠杆___________（填“左”或“右”）端将下沉；
（3）图丙是已经调节平衡的杠杆，在某处挂上适当的钩码后，用弹簧测力计在杠杆C处竖直向上按使杠杆在水平位置重新平衡，则所挂钩码的位置和重力分别是___________（填字母编号）
A．A处挂3N B．A处挂2N C．B处挂3N D．B处挂2N
（4）如图丁所示为农村经常用来测量物体的质量的杆秤，它是利用杠杆原理来制作的。称量是把货物挂在A点。手提着B或C点，调节D点秤砣的位置使秤杆在水平位置平衡，对应秤杆上D点的读数就是货物的质量了。在使用时，为了称量质量较大的货物，手应该提着___________（填“B”或“C”）点的绳子；若秤砣有磨损，则所测物体的质量将___________（填“偏大”“偏小”或“不变”）。
24．（2022·浙江中考真题）项目学习小组在使用密度计时发现由于刻度不均匀，估读时误差较大，由此准备制作一个刻度均匀的密度计。
【小组讨论】液体密度计是根据排开液体的体积变化判断密度大小；根据密度公式 ，想到是否可以通过密度与质量之间的关系来制作刻度均匀的密度计。经过查阅资料及深入讨论最后确定了制作方案。
【查阅资料】杆秤是我国古老的质量称量工具（如图甲），刻度是均匀的。使用时先把被测物体挂在秤钩处，提起秤纽，移动秤砣，当秤杆在水平位置平衡时，秤砣悬挂点对应的数值即为物体的质量。
（1）杆秤的工作原理是___________；
【产品制作】
器材：木棒、塑料杯、细线、刻度尺、金属块（代替秤砣）。
步骤：
①模仿杆秤结构，用杯子代替秤钩，先自制一根无刻度“密度秤”；
②杯中不加液体，提起秤纽，移动秤砣，当秤杆在水平位置平衡时（如图乙），将此时秤砣的悬挂点A标记为“0”刻度；
③杯中加水至a处，提起秤纽，移动秤砣，当秤杆在水平位置平衡时，将此时秤砣的悬挂点B标记为“___________？___________”刻度（单位g/cm3）；
④以AB两点之间长度的为标准，在整根秤杆上均匀地标上刻度。
（2）在制作过程中，秤杆出现左低右高现象（如图丙），要调至水平位置平衡，秤砣应往___________侧移动；
（3）步骤③中，秤砣悬挂点B标记的刻度值应为___________；
【产品检验】用多种密度已知的液体对“密度秤”刻度准确度进行检验。
【产品升级】
（4）为了制作出精确度更高的“密度秤”，下列改进措施可行的是___________。
A．把秤纽位置往远离秤钩一侧移动 B．减小秤砣的质量
C．减少加入杯中的液体体积 D．换用更细的秤杆
思维导图
典例分析
举一反三
典例分析
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课后巩固
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