北师大版七年级数学上册2.9有理数的乘方同步练习（含答案）

2.9 有理数的乘方（精选卷）-北师大版数学七年级上册（带答案）
一．选择题
．﹣33的结果是（　　）
A．+9 B．﹣9 C．±9 D．﹣27
．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．6858 B．6860 C．9260 D．9262
．已知（a+2）2+|b﹣3|＝0，则ab的值等于（　　）
A．6 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣9
．已知|a﹣2|+（b+3）2＝0，则下列式子值最小是（　　）
A．a+b B．a﹣b C．ba D．ab
．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，若m3分裂后，其中有一个奇数是63，则m的值是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
．下列各对数中，相等的一对是（　　）
A．与 B．﹣22与（﹣2）2
C．﹣（﹣3）与﹣|﹣3| D．（﹣2）3与﹣23
．下列四组数相等的是（　　）
A．﹣42和（﹣4）2 B．﹣23和（﹣2）3
C．（﹣1）2020和（﹣1）2021 D．和（）2
．一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（　　）
A． B． C． D．
．若|a+3|+（b﹣2）2＝0，则ab的值为（　　）
A．﹣6 B．﹣9 C．9 D．6
．如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中值可以等于732的是（　　）
A．A1 B．B1 C．A2 D．B3
二．填空题
．若|m﹣4|+（n+2）2＝0，则nm﹣mn＝　 　．
．定义已知|3x﹣6|+（y+3）2＝0，则3x﹣2y的值是　 　．
．已知有理数x，y满足|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x+y＝　 　．
．某品种兔子，一对兔子每个月能繁殖3对小兔子，而每对小兔子，一个月后也能繁殖3对新小兔子，总之，所有的每对兔子，都是每月繁殖3对小兔子，如果开始只有一对兔子，那么半年后有　 　对兔子（不考虑意外死亡）．
．若a是有理数，则|a+1|﹣2的最小值是 　 　，此时a2016＝　 　．
三．解答题
．规定“ ”是一种运算法则：a b＝a2﹣b2．
（1）求2 6的值；
（2）求3 [（﹣2） 3]的值．
．将一个长方形纸片连续对折，对折的次数越多，折痕的条数也就越多，如第一次对折后，有1条折痕，第2次对折后，共有3条折痕．
（1）第3次对折后共有多少条折痕？第4次对折后呢？
（2）对折多少次后折痕会超过100条？
（3）请找出折痕条数与对折次数的对应规律，写出对折n次后，折痕有多少条？
．问题：你能比较两个数20122013与20132012的大小吗为了解决这个问题，我们先把它抽象成这样的问题：写成它的一般形式，即比较nn+1和（n+1）n的大小（即是自然数）．然后，我们分析n＝1，n＝2，n＝3…这些简单情形入手，从而发现规律，经过归纳，才想出结论．
（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小：
①12　 　21；
②23　 　32；
③34　 　43；
④45　 　54；
⑤56　 　65；
⑥67　 　76．
（2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想nn+1和（n+1）n的大小关系；
（3）根据下面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：20122013　 　20132012．
．某种球形病毒，直径是0.01纳米，每一个病毒每经过一分钟就能繁殖出9个与自己同样的病毒，假如这种病毒在人体内聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人就会感到不适．（1米＝109纳米）
（1）那么人从感染到第一个病毒后，5分钟后体内病毒的长度是多少纳米？
（2）经过多少分钟人会感到不适．
．我们把从1开始的几个连续自然数的立方和记为Sn，那么有：
…
观察上面的规律，完成下面各题：
（1）写出S5，S6的表达式；
（2）探索写出Sn的表达式；
（3）求113+123+…+203的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
．﹣33的结果是（　　）
A．+9 B．﹣9 C．±9 D．﹣27
【解答】解：﹣33＝﹣3×3×3＝﹣27．
故选：D．
．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．6858 B．6860 C．9260 D．9262
【解答】解：由（2n+1）3﹣（2n﹣1）3＝24n2+2≤2019，可得n2≤，
∵和谐数为正整数，
∴0≤n≤9，
则在不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为13﹣（﹣1）3+33﹣13+53﹣33+…+193﹣173＝193﹣（﹣1）3＝6860．
故选：B．
．已知（a+2）2+|b﹣3|＝0，则ab的值等于（　　）
A．6 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣9
【解答】解：由题意得，a+2＝0，b﹣3＝0，
解得a＝﹣2，b＝3，
所以，ab＝（﹣2）3＝﹣8．
故选：C．
．已知|a﹣2|+（b+3）2＝0，则下列式子值最小是（　　）
A．a+b B．a﹣b C．ba D．ab
【解答】解：根据题意得，a﹣2＝0，b+3＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，
所以，a+b＝2+（﹣3）＝﹣1，
a﹣b＝2﹣（﹣3）＝2+3＝5，
ba＝（﹣3）2＝9，
ab＝2×（﹣3）＝﹣6，
所以值最小的是﹣6．
故选：D．
．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，若m3分裂后，其中有一个奇数是63，则m的值是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：根据题意得：83＝512＝57+59+61+63+65+67+69+71，
则m＝8，
故选：D．
下列各对数中，相等的一对是（　　）
A．与 B．﹣22与（﹣2）2
C．﹣（﹣3）与﹣|﹣3| D．（﹣2）3与﹣23
【解答】解：A、，（）2＝，故此选项不符合题意；
B、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，故此选项不符合题意；
C、﹣（﹣3）＝3，﹣|﹣3|＝﹣3，故此选项不符合题意；
D、（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，故此选项符合题意；
故选：D．
下列四组数相等的是（　　）
A．﹣42和（﹣4）2 B．﹣23和（﹣2）3
C．（﹣1）2020和（﹣1）2021 D．和（）2
【解答】解：A、﹣42＝﹣16，（﹣4）2＝16，所以A选项不符合题意；
B、﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，所以B选项符合题意；
C、（﹣1）2020＝1，（﹣1）2021＝﹣1，所以C选项不符合题意；
D、，＝，所以D选项不符合题意；
故选：B．
．一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵第一次剪去绳子的，还剩m；
第二次剪去剩下绳子的，还剩＝m，
……
∴第100次剪去剩下绳子的后，剩下绳子的长度为（）100m；
故选：C．
若|a+3|+（b﹣2）2＝0，则ab的值为（　　）
A．﹣6 B．﹣9 C．9 D．6
【解答】解：根据题意得，a+3＝0，b﹣2＝0，
解得a＝﹣3，b＝2，
∴ab＝（﹣3）2＝9．
故选：C．
．如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中值可以等于732的是（　　）
A．A1 B．B1 C．A2 D．B3
【解答】解：A1＝2n﹣2+2n﹣4+2n﹣6＝732，
整理可得：2n＝248，
n不为整数；
A2＝2n﹣8+2n﹣10+2n﹣12＝732，
整理可得：2n＝254，
n不为整数；
B1＝2n﹣2+2n﹣8+2n﹣14＝732，
整理可得：2n＝252，
n不为整数；
B3＝2n﹣6+2n﹣12+2n﹣18＝732，
整理可得：2n＝256，
n＝8；
故选：D．
二．填空题
．若|m﹣4|+（n+2）2＝0，则nm﹣mn＝　24　．
【解答】解：由题意得，m﹣4＝0，n+2＝0，
解得m＝4，n＝﹣2，
所以，nm﹣mn＝（﹣2）4﹣4×（﹣2）＝16+8＝24．
故答案为：24．
．定义已知|3x﹣6|+（y+3）2＝0，则3x﹣2y的值是　12　．
【解答】解：由题意得，3x﹣6＝0，y+3＝0，
解得，x＝2，y＝﹣3，
则3x﹣2y＝12，
故答案为：12．
．已知有理数x，y满足|x+2|+（y﹣3）2＝0，则x+y＝　1　．
【解答】解：由题意得，x+2＝0，y﹣3＝0，
解得，x＝﹣2，y＝3，
则x+y＝1，
故答案为：1．
．某品种兔子，一对兔子每个月能繁殖3对小兔子，而每对小兔子，一个月后也能繁殖3对新小兔子，总之，所有的每对兔子，都是每月繁殖3对小兔子，如果开始只有一对兔子，那么半年后有　4096　对兔子（不考虑意外死亡）．
【解答】解：由题意得：1个月后有3+1＝4对兔子，
半年后：46＝4 096，
故答案为：4 096．
．若a是有理数，则|a+1|﹣2的最小值是 　﹣2　，此时a2016＝　1　．
【解答】解：根据绝对值的非负性，得|a+1|≥0．
∴|a+1|﹣2≥﹣2．
∴当|a+1|＝0时，|a+1|﹣2取得最小值﹣2．
即a＝﹣1时，|a+1|﹣2取得最小值﹣2．
此时，a2016＝（﹣1）2016＝1．
故答案为：﹣2，1．
三．解答题
．规定“ ”是一种运算法则：a b＝a2﹣b2．
（1）求2 6的值；
（2）求3 [（﹣2） 3]的值．
【解答】解：（1）根据题意得：2 6＝22﹣62＝4﹣36＝﹣32；
（2）根据题意得：（﹣2） 3＝4﹣9＝﹣5，
则3 [（﹣2） 3]＝3 （﹣5）＝9﹣25＝﹣16．
．将一个长方形纸片连续对折，对折的次数越多，折痕的条数也就越多，如第一次对折后，有1条折痕，第2次对折后，共有3条折痕．
（1）第3次对折后共有多少条折痕？第4次对折后呢？
（2）对折多少次后折痕会超过100条？
（3）请找出折痕条数与对折次数的对应规律，写出对折n次后，折痕有多少条？
【解答】解：∵1次：21﹣1＝1
2次：22﹣1＝3
3次：23﹣1＝7
4次：24﹣1＝15
…
6次：26﹣1＝63
10次：210﹣1＝1023
n次：2n﹣1
∴（1）第3次对折后共有7条折痕，第4次对折后有15条折痕．
（2）设对折n次后折痕会超过100条，
则2n﹣1＞100，
∵26＝64，27＝128，
∴n＞6，
即对折7次后折痕会超过100条．
（3）依题意得，对折n次后折痕的条数是：2n﹣1．
．问题：你能比较两个数20122013与20132012的大小吗为了解决这个问题，我们先把它抽象成这样的问题：写成它的一般形式，即比较nn+1和（n+1）n的大小（即是自然数）．然后，我们分析n＝1，n＝2，n＝3…这些简单情形入手，从而发现规律，经过归纳，才想出结论．
（1）通过计算，比较下列各组中两个数的大小：
①12　＜　21；
②23　＜　32；
③34　＞　43；
④45　＞　54；
⑤56　＞　65；
⑥67　＞　76．
（2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想nn+1和（n+1）n的大小关系；
（3）根据下面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：20122013　＞　20132012．
【解答】解：（1）①∵12＝1，21＝2，
∴12＜21；
②∵23＝8，32＝9，
∴23＜32；
③∵34＝81，43＝64，
∴34＞43；
④∵45＝1024，54＝625，
∴45＞54；
⑤∵56＝15625，65＝7776，
∴56＞65；
⑥∵67＝279936，76＝117649，
∴67＞76；
（2）n＜3时，nn+1＜（n+1）n，
n≥3时，nn+1＞（n+1）n；
（3）∵2012＞3，
∴20122013＞20132012．
故答案为：（1）＜、＜、＞、＞、＞、＞；（3）＞．
．某种球形病毒，直径是0.01纳米，每一个病毒每经过一分钟就能繁殖出9个与自己同样的病毒，假如这种病毒在人体内聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人就会感到不适．（1米＝109纳米）
（1）那么人从感染到第一个病毒后，5分钟后体内病毒的长度是多少纳米？
（2）经过多少分钟人会感到不适．
【解答】解：（1）0.01×1×105＝103（纳米）；
（2）∵第9分钟病毒数量长度是：0.01×1×109＝107（纳米）＝（米）＝（分米），
第10分钟病毒数量长度是：0.01×1×1010＝108（纳米）＝（米）＝1（分米），
∴经过10分钟人会感到不适．
．我们把从1开始的几个连续自然数的立方和记为Sn，那么有：
…
观察上面的规律，完成下面各题：
（1）写出S5，S6的表达式；
（2）探索写出Sn的表达式；
（3）求113+123+…+203的值．
【解答】解：（1）S5＝13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝【】2，
S6＝13+23+33+43+53+63＝（1+2+3+4+5+6）2＝【】2；
（2）
（3）原式＝S20﹣S10＝【】2﹣【】2＝41075．