北师大版七年级数学上册2.11有理数的混合运算同步练习（含答案）

2.11 有理数的混合运算（精选卷）-北师大版数学七年级上册（含答案）
一．选择题
．（﹣7）2019﹣1的个位上数字为（　　）
A．8 B．0 C．4 D．2
．下列运算正确的是（　　）
A．﹣+＝﹣（+）＝﹣1 B．﹣3×（﹣4）＝﹣12
C．﹣6+2×2＝﹣4×2＝﹣8 D．9÷（﹣3）＝﹣3
．现对某商品降价25%促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时约增加（　　）
A．20% B．25% C．33.3% D．40%
．定义：一种对于三位数abc（其中在abc中，a在百位，b在十位，c在个位，a、b、c不完全相同）的“F运算”：重排abc的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为零），例如abc＝463时，则
经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次“F运算”都会得到一个固定不变的值；类比联想到：任意一个四位数经过若干次这样的“F运算”也会得到一个定值，这个定值为（　　）
A．4159 B．6419 C．5179 D．6174
．我们常用的十进制数，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如2513＝2×73+5×72+1×71+3）用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（　　）
A．1435天 B．565天 C．13天 D．465天
按图的程序计算，若x为任意整数，则输出的所有结果中，出现次数最多的结果是（　　）
A．﹣5 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣13
下列各式正确的是（　　）
A．﹣2﹣1×6＝（﹣2﹣1）×6
B．
C．（﹣1）2020+（﹣1）2021＝1+（﹣1）
D．（﹣4×32）＝（﹣4×3）2
生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝1×10+2，212＝2×10×10+1×10+2；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~F来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如表：
十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 …
十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 …
例：十六进制2B对应十进制的数为2×16+11＝43，10C对应十进制的数为1×16×16+0×16+12＝268，那么十六进制中14E对应十进制的数为（　　）
A．28 B．62 C．238 D．334
9．如果a是大于1的正整数，那么a的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，已知a3改写成的若干个连续奇数和的式子中，有一个奇数是2021，则a的值是（　　）
A．45 B．46 C．52 D．53
10．规定十五进制是逢15进1的计数制，采用数字0﹣9和字母A﹣E共15个计数符号，这些记数符号与十进制的数之间的对应关系如下表：例如：十进制中的26＝20+6，可用十五进制表示为1B；在十五进制中，E+D＝1C等．由上可知，在十五进制中，3×B＝（　　）
十五进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
A．23 B．1E C．E1 D．3B
二．填空题
．按下面的程序计算，若开始输入的x值为正数，最后输出的结果为67，请写出符合条件的所有x的值 　 　．
．你玩过24点游戏吧，请你运用加减乘除运算和括号，写出数5，5，5，1得到24的算式 　 　（每个数只能用一次）．
．定义计算“△”，对于两个有理数a，b，规定a△b＝ab﹣（a+b），如：﹣3△2＝﹣3×2﹣（﹣3+2）＝﹣6+1＝﹣5，则[1△（m﹣1）]△4＝　 　．
．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a※b＝ab﹣a+b，如1※3＝1×3﹣1+3＝5，若|x﹣4|+3|y+1|＝0，那么 （﹣）※（x※y）的值是 　 　．
．如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且有理数m和﹣2在数轴上表示的点相距3个单位长度，则式子2ab﹣（c+d）+|m|的值为 　 　．
三．解答题
．计算：
①﹣2×3﹣|﹣4|；
②﹣32+（﹣）×（﹣8）+（﹣6）2；
③（1）×（﹣1）；
④8÷（﹣6）﹣[﹣3+1×（﹣）]．
．如图为大连市地铁二号线地图的一部分．某天，小王参加志愿者服务活动，从西安路站出发，到A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东行驶为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：﹣4，+3，﹣6，﹣1，+9，﹣2，﹣5，+4．
（1）请通过计算说明A站是哪一站？小明服务期间距离西安路站最远的站是哪一站？
（2）若相邻两站之间的平均距离为1.8千米，求小王这次做志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？
．我们规定：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把记作a ，读作“a的圈n次方”．
（1）直接写出计算结果：2③＝　 　，（﹣3）④＝　 　，＝　 　．
（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试把有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数的圈n次方等于 　 　．
（3）计算．
．求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方．如：2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记做2③，读作“2的圈3次方”（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记做（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把（a≠0）记做a ，读作“a的圈n次方”．
（1）直接写出计算结果：（﹣）③＝　 　，（﹣3）④＝　 　，2⑤＝　 　．
（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数的圈n次方等于 　 　．
（3）计算：24÷23+（﹣8）×2③．
．问题探索：如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 　 　cm．
（2）图中点A所表示的数是 　 　，点B所表示的数是 　 　．
实际应用：由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
（3）一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦!”请问妙妙现在多少岁了？
参考答案与试题解析
一．选择题
．（﹣7）2019﹣1的个位上数字为（　　）
A．8 B．0 C．4 D．2
【解答】解：（﹣7）1＝﹣7，（﹣7）2＝49，（﹣7）3＝﹣343，（﹣7）4＝2401，（﹣7）5＝﹣16807，（﹣7）6＝117649， ，
∵2019÷4＝504 3，
∴（﹣7）2019的个位数字是3，
∴（﹣7）2019﹣1的个位上数字为4，
故选：C．
．下列运算正确的是（　　）
A．﹣+＝﹣（+）＝﹣1 B．﹣3×（﹣4）＝﹣12
C．﹣6+2×2＝﹣4×2＝﹣8 D．9÷（﹣3）＝﹣3
【解答】解：A、﹣+＝﹣（﹣）＝﹣，此选项计算错误；
B、﹣3×（﹣4）＝12，此选项计算错误；
C、﹣6+2×2＝﹣6+4＝﹣2，此选项计算错误；
D、9÷（﹣3）＝﹣（×）＝﹣＝﹣3，此选项计算正确；
故选：D．
．现对某商品降价25%促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时约增加（　　）
A．20% B．25% C．33.3% D．40%
【解答】解：设销售单价为a，销售量为b，销售量要比按原价销售时增加m，则销售总金额为ab，
根据题意列得：（1﹣25%）a （1+m）b＝ab，
解得：m＝≈0.333．
故选：C．
．定义：一种对于三位数abc（其中在abc中，a在百位，b在十位，c在个位，a、b、c不完全相同）的“F运算”：重排abc的三个数位上的数字，计算所得最大三位数和最小三位数的差（允许百位数字为零），例如abc＝463时，则
经过大量运算，我们发现任意一个三位数经过若干次“F运算”都会得到一个固定不变的值；类比联想到：任意一个四位数经过若干次这样的“F运算”也会得到一个定值，这个定值为（　　）
A．4159 B．6419 C．5179 D．6174
【解答】解：∵任意一个四位数经过若干次这样的“F运算”也会得到一个定值，且只要四个数字不完全相同就符合题意，
∴设这个四位数字为1000，依次进行“F运算”得：
①1000﹣0001＝0999；
②9990﹣0999＝8991；
③9981﹣1899＝8082；
④8820﹣0288＝8532；
⑤8532﹣2358＝6174；
⑥7641﹣1467＝6174．
…，
∴这个定值为6174．
故选：D．
．我们常用的十进制数，我国古代《易经》一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，并采用七进制（如2513＝2×73+5×72+1×71+3）用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（　　）
A．1435天 B．565天 C．13天 D．465天
【解答】解：由图可知：
1×73+4×72+3×71+5
＝1×343+4×49+3×7+5
＝343+196+21+5
＝565（天），
即孩子自出生后的天数是565，
故选：B．
按图的程序计算，若x为任意整数，则输出的所有结果中，出现次数最多的结果是（　　）
A．﹣5 B．﹣7 C．﹣9 D．﹣13
【解答】解：当x取负整数时，均能输出结果且互不相同，
x＝﹣1时，输出的结果为﹣9，
x＝﹣2时，输出的结果为﹣11，
x＝﹣3时，输出的结果为﹣13，
，
x＝0时，输出的结果为﹣7，
x＝1时，输出的结果为﹣5，
x＝2时，输出的结果为﹣13，
x＝3时，输出的结果为﹣9，
x＝4时，输出的结果为﹣5，
x＝5时，输出的结果为﹣9，
x＝6时，输出的结果为﹣9，
当x≥7的整数时，均不能输出结果．
综上，出现次数最多的结果是﹣9，
故选：C．
下列各式正确的是（　　）
A．﹣2﹣1×6＝（﹣2﹣1）×6
B．
C．（﹣1）2020+（﹣1）2021＝1+（﹣1）
D．（﹣4×32）＝（﹣4×3）2
【解答】解：∵﹣2﹣1×6＝﹣2﹣6，
∴选项A不符合题意；
∵＝，
∴选项B不符合题意；
∵（﹣1）2020+（﹣1）2021＝1+（﹣1）
∴选项C符合题意；
∵（﹣4×32）＝（﹣4×9），
∴选项D不符合题意；
故选：C．
生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝1×10+2，212＝2×10×10+1×10+2；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~F来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如表：
十进制 0 1 2 … 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 …
十六进制 0 1 2 … 8 9 A B C D E F 10 11 …
例：十六进制2B对应十进制的数为2×16+11＝43，10C对应十进制的数为1×16×16+0×16+12＝268，那么十六进制中14E对应十进制的数为（　　）
A．28 B．62 C．238 D．334
【解答】解：由题意得14E＝1×16×16+4×16+14＝334．
故选：D．
9．如果a是大于1的正整数，那么a的三次方可以改写成若干个连续奇数的和．例如23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…，已知a3改写成的若干个连续奇数和的式子中，有一个奇数是2021，则a的值是（　　）
A．45 B．46 C．52 D．53
【解答】解：∵23＝3+5，
33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，
53＝21+23+25+27+29，
…，
∴a3分裂后的第一个数是a（a﹣1）+1，且共有a个奇数，
∵45×（45﹣1）+1＝1981，
46×（46﹣1）+1＝2071，
∴奇数2021是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，
∴a＝45，
故选：A．
10．规定十五进制是逢15进1的计数制，采用数字0﹣9和字母A﹣E共15个计数符号，这些记数符号与十进制的数之间的对应关系如下表：例如：十进制中的26＝20+6，可用十五进制表示为1B；在十五进制中，E+D＝1C等．由上可知，在十五进制中，3×B＝（　　）
十五进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
A．23 B．1E C．E1 D．3B
【解答】解：3×B＝3×11＝33＝2×15+3＝23（十五进制）．
故选：A．
二．填空题
．按下面的程序计算，若开始输入的x值为正数，最后输出的结果为67，请写出符合条件的所有x的值 　16　．
【解答】解：根据程序，可列出方程，
①当4x+3＞20，可列方程：4x+3＝67，解得x＝16，符合题意；
②当4x+3≤20，可列方程：4（4x+3）+3＝67，解得x＝，不是正整数，不符合题意；
③继续尝试：4[4（4x+3）+3]+3＝67，解得x＝；
综上所述，x＝16符合题意．
故答案为：16．
．你玩过24点游戏吧，请你运用加减乘除运算和括号，写出数5，5，5，1得到24的算式 　5×（5﹣1÷5）＝24　（每个数只能用一次）．
【解答】解：5×（5﹣1÷5）＝24，
故答案为：5×（5﹣1÷5）＝24．
．定义计算“△”，对于两个有理数a，b，规定a△b＝ab﹣（a+b），如：﹣3△2＝﹣3×2﹣（﹣3+2）＝﹣6+1＝﹣5，则[1△（m﹣1）]△4＝　1　．
【解答】解：∵a△b＝ab﹣（a+b），
∴1△（m﹣1）
＝1×（m﹣1）﹣（1+m﹣1）
＝m﹣1﹣m
＝﹣1，
∴[1△（m﹣1）]△4
＝﹣1△4
＝1×4﹣（﹣1+4）
＝4﹣3
＝1，
故答案为：1．
．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a※b＝ab﹣a+b，如1※3＝1×3﹣1+3＝5，若|x﹣4|+3|y+1|＝0，那么 （﹣）※（x※y）的值是 　﹣4　．
【解答】解：∵|x﹣4|+3|y+1|＝0，
∴x﹣4＝0且y+1＝0，
则x＝4，y＝﹣1．
∴（﹣）※（x※y）
＝（﹣）※[（4×（﹣1）﹣4+（﹣1））]
＝（﹣）※（﹣9）
＝（﹣）×（﹣9）﹣（﹣）+（﹣9）
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
．如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且有理数m和﹣2在数轴上表示的点相距3个单位长度，则式子2ab﹣（c+d）+|m|的值为 　7或3　．
【解答】解：∵a、b互为倒数，
∴ab＝1，
∵有理数c、d互为相反数，
∴c+d＝0，
∵有理数m和﹣2在数轴上表示的点相距3个单位长度，
∴m＝﹣5或1，
当m＝﹣5时，
2ab﹣（c+d）+|m|
＝2﹣0+5
＝7；
当m＝1时，
2ab﹣（c+d）+|m|
＝2﹣0+1
＝3；
综上所述：2ab﹣（c+d）+|m|的值为7或3．
故答案为：7或3．
三．解答题
．计算：
①﹣2×3﹣|﹣4|；
②﹣32+（﹣）×（﹣8）+（﹣6）2；
③（1）×（﹣1）；
④8÷（﹣6）﹣[﹣3+1×（﹣）]．
【解答】解：①﹣2×3﹣|﹣4|
＝﹣6﹣4
＝﹣10；
②﹣32+（﹣）×（﹣8）+（﹣6）2
＝﹣9+4+36
＝31；
③（1）×（﹣1）
＝×（﹣）﹣×（﹣）﹣×（﹣）
＝﹣2+1+
＝﹣；
④8÷（﹣6）﹣[﹣3+1×（﹣）]
＝8÷（﹣6）﹣（﹣3﹣×）．
＝8÷（﹣6）﹣（﹣3﹣）
＝8÷（﹣6）+
＝﹣+
＝2．
．如图为大连市地铁二号线地图的一部分．某天，小王参加志愿者服务活动，从西安路站出发，到A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东行驶为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：﹣4，+3，﹣6，﹣1，+9，﹣2，﹣5，+4．
（1）请通过计算说明A站是哪一站？小明服务期间距离西安路站最远的站是哪一站？
（2）若相邻两站之间的平均距离为1.8千米，求小王这次做志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？
【解答】解：（1）∵﹣4+3﹣6﹣1+9﹣2﹣5+4＝﹣2，东行驶为正，向西为负，
∴A站在西安路站向西两站即辽师大站；
∵﹣4+3＝﹣1，﹣1﹣6＝﹣7，﹣7﹣1＝﹣8，﹣8+9＝1，1﹣2＝﹣1，﹣1﹣5＝﹣6，﹣6+4＝﹣2，
∴﹣8的绝对值最大，可知小王服务期间距离西安路站最远在西安路站西侧8站，即机场站；
（2）∵|﹣4|+|3|+|﹣6|+|﹣1|+|+9|+|﹣2|+|﹣5|+|+4|＝34，
∴小王这次做志愿服务期间乘坐地铁行进34站．
∵相邻两站之间的平均距离为1.8千米，
∴34×1.8＝61.2（千米）．
答：小王这次做志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是61.2千米．
．我们规定：求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把记作a ，读作“a的圈n次方”．
（1）直接写出计算结果：2③＝　　，（﹣3）④＝　　，＝　﹣27　．
（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试把有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数的圈n次方等于 　这个数倒数的（n﹣2）次方　．
（3）计算．
【解答】解：（1）2③＝2÷2÷2＝，
（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝，
＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝﹣27．
故答案为：；；﹣27；
（2）一个非零有理数的圈n次方等于这个数倒数的（n﹣2）次方．
故答案为：这个数倒数的（n﹣2）次方；
（3）
＝27×+（﹣48）÷8
＝3+（﹣6）
＝﹣3．
故答案为：﹣3．
．求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方．如：2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记做2③，读作“2的圈3次方”（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记做（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．一般地，把（a≠0）记做a ，读作“a的圈n次方”．
（1）直接写出计算结果：（﹣）③＝　﹣2　，（﹣3）④＝　　，2⑤＝　　．
（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试将有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数的圈n次方等于 　这个数倒数的（n﹣2）次方　．
（3）计算：24÷23+（﹣8）×2③．
【解答】解：（1）（﹣）③＝（﹣2）3﹣2＝﹣2，（﹣3）④＝＝，2⑤＝．
故答案为：﹣2，，；
（2）一个非零有理数的圈n次方等于这个数倒数的（n﹣2）次方；
故答案为：这个数倒数的（n﹣2）次方；
（3）24÷23+（﹣8）×2③
＝24÷8+（﹣8）×
＝3+（﹣4）
＝﹣1．
．问题探索：如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 　8　cm．
（2）图中点A所表示的数是 　14　，点B所表示的数是 　22　．
实际应用：由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
（3）一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦!”请问妙妙现在多少岁了？
【解答】解：（1）由题意可得：数6与数30之间的线段的长等于AB的三倍，
∴AB＝（30﹣6）÷3＝8．
故答案为：8；
（2）∵AB＝8，
∴点A表示的数为：6+8＝14，
点B表示的数为：30﹣8＝22，
故答案为：14，22；
（3）当奶奶像妙妙这样大时，妙妙为（﹣35）岁，
所以奶奶与妙妙的年龄差为[115﹣（﹣35）]÷3＝50（岁），
所以妙妙现在的年龄为115﹣50﹣50＝15（岁）．