鲁教版五四制八年级数学第二章分式与分式方程单元测试
一、选择题
下列各式：，其中分式共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
分式在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
计算的结果是( )
A. B. C. D.
下面是一位同学所做的道题：，，，，，他做对的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
甲从地到地要走小时，乙从地到地要走小时，若甲、乙二人同时从、两地出发，经过几小时相遇( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
已知是有理数，当，时，求的值为( )
A. 或 B. ，或 C. 或 D. ，，或
分式中的、的值同时扩大到原来的倍，则此分式的值( )
A. 不变 B. 是原来的 C. 是原来的倍 D. 是原来的倍
已知，，，，，则( )
A. B. C. D.
斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的倍，则小敏通过路段时的速度是( )
A. 米秒 B. 米秒 C. 米秒 D. 米秒
对于非零的两个数，，规定若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
当______，分式的值为．
分式、、的最简公分母是______ ．
若关于的分式方程有增根，则的值为______．
关于的分式方程的解为正实数，则实数的取值范围是______．
代数式化简的结果是，则整式______当时， ______填“”“”“”
若代数式的值为，则的值为______．
三、计算题
计算
四、解答题
解方程：；
解一元一次不等式组：．
先化简，再求值：，其中．
某工厂签了件商品订单，要求不超过天完成．现有甲、乙两个车间来完成加工任务．已知甲车间的加工能力是乙车间加工能力的倍，并且加工件需要的时间甲车间比乙车间少用天．
求甲、乙每个车间的加工能力每天各是多少件？
甲、乙两个车间共同生产了若干天后，甲车间接到新任务，留下乙车间单独完成剩余工作，求甲、乙两车间至少合作多少天，才能保证完成任务．
三湘都市报华声在线月日讯在长沙市岳麓区麓景路与梅溪湖路的交汇处，一条穿过桃花岭公园连接含浦片区与梅溪湖片区的麓景路隧道正在加紧施工当中．从隧道中运输挖出土方，其中每辆大货车运输的土方比每辆小货车多立方米，大货车运立方米与小货车运立方米车辆数相同．
求大货车与小货车每辆各运输土方多少立方米？
总共有大小货车共辆，每天需运出立方米泥土，大小货车各需要多少辆？
1.【答案】
【解析】解：由题可得，分式有：，共个，
故选：．
根据分式的概念：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式进行分析即可．
此题主要考查了分式定义，分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．
2.【答案】
【解析】解：分式有意义，则分母不为零，
分式在实数范围内有意义，
即，
解得．
故选：．
根据分式有意义的条件，解分母可得到答案．
本题考查了分式有意义的条件，准确把握当分母等于零时分式无意义，当分母不等于零时，分式有意义．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据负整数指数幂的定义可得答案．
本题考查分式的乘方运算、负整数指数幂的意义，本题属于基础题型，掌握各公式是关键．
4.【答案】
【解析】解：，故符合题意．
与不是同类项，故不符合题意，
，故符合题意题．
，故符合题意．
，故符合题意．
，故不符合题意．
故选：．
根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义、整式的加减运算、整式的乘除运算即可求出答案．
本题考查零指数幂的意义、负整数指数幂的意义、整式的加减运算、整式的乘除运算，本题属于基础题型．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了列代数式分式，解答此题可将，两地的距离看成单位，然后根据时间，可得甲的速度为，乙的速度为，然后根据相遇问题求出相遇的时间即可．
【解答】
解：设，两地间的距离为单位“”，
故相遇的时间为：小时．
故选D．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是有理数的混合运算，绝对值，代数式的值的有关知识，注意分析条件，得出这三个数中只能有一个负数，另两个为正数是化简的关键因为，，则这三个数中只能有一个负数，另两个为正数把变形代入代数式，求值即可．
【解答】
解：
，，，
，
，，
，，中只能有一个负数，另两个为正数．
，，中有两个为，一个为．
假设为正数，
假设为负数，
则．
综合所述，原式的值为或．
故选A．
7.【答案】
【解析】解：分式中的、的值同时扩大到原来的倍，则此分式的值扩大到原来的倍．
故选：．
分式的分子扩大到原来的倍，而分母扩大到原来的倍，利用分式的基本性质，此分式的值扩大到原来的倍．
本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
每三个数为一个周期，
，
，
故选：．
利用分式混合运算的法则分别计算出，，，从而发现结果的变化规律，然后按照周期进行分析计算．
本题考查分式的混合运算，数字的规律探索，掌握异分母分式加减法运算法则，通过发现数字的周期变化规律解题是关键．
9.【答案】
【解析】解：设小敏通过路段时的速度是米秒，则小敏通过路段时的速度是米秒，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
小敏通过路段时的速度是米秒．
故选：．
设小敏通过路段时的速度是米秒，则小敏通过路段时的速度是米秒，利用时间路程速度，结合小敏共用秒通过路段，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了解分式方程的方法：解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
【解答】
解：由规定运算，可化为：
， 即，
解得，
符合条件，
故选C
11.【答案】
【解析】解：分式的值为，
，
由得，，
由得，且，
此不等式组的解集为：．
故答案为：．
根据分式的值为的条件得出关于的不等式组，求出的值即可．
本题考查的是分式值为的条件，能根据分式值为的条件得到关于的不等式组是解答此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：因为三分式中的常数项系数的最小公倍数是，的最高次幂是，的最高次幂是，的最高次幂是，
所以三分式的最简公分母是．
故答案为：．
根据确定最简公分母的方法：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式确定；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
13.【答案】
【解析】解：方程两边都乘，
得
原方程有增根，
最简公分母，
解得，
当时，．
故答案为．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14.【答案】
【解析】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
解都为正实数，
，
，
又，即，
将代入得，
．
综上，且．
故答案为：且．
求实数的取值范围，要符合分式方程解为正实数，也要满足分式方程有意义．
本题考查分式方程的解，在求分式方程解的时候要注意分式方程是否有意义．
15.【答案】
【解析】解：由题意得，，
当时，可设，
则，，
，
．
故答案为：，．
根据可得，再利用特殊值法可比较大小．
本题考查分式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
16.【答案】
【解析】解：由题意得
去分母得
解得
经检验：是原方程的根．
故答案为．
将分式方程去分母转化为一元一次方程，即可求出的值．
本题考查的是分式方程的解法，把分式方程转化为整式方程是解决问题的关键．
17.【答案】解：
；
．
【解析】本题主要考查的是分式的乘除，涉及了同底数幂的乘除，积的乘方和平方差公式等．
先计算分式的乘方运算，然后利用分式的乘法计算法则进行计算即可；
首先利用平方差公式将展开，然后利用分式的乘除法运算法则进行约分计算即可．
18.【答案】解：，
，
方程两边乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即原方程无解；
，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是．
【解析】方程两边乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
先求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可．
本题考查了解分式方程和解一元一次不等式组，能把分式方程转化成整式方程是解的关键，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解的关键．
19.【答案】解：原式
，
当时，原式．
【解析】原式括号中两项通分并同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：设乙车间的加工能力每天是件，则甲车间的加工能力每天是件．
根据题意得：，
解得：．
经检验是方程的解，
则．
答：甲、乙每个车间的加工能力每天分别是件和件；
设甲、乙两车间合作天，才能保证完成任务．
根据题意得：，
解得．
答：甲、乙两车间至少合作天，才能保证完成任务．
【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系．
设乙车间的加工能力每天是件，则甲车间的加工能力每天是件．根据加工件需要的时间甲车间比乙车间少用天列出方程，求解即可；
设甲、乙两车间合作天，才能保证完成任务．根据甲合作完成的量乙完成的量，列出不等式，解不等式即可．
21.【答案】解：设小货车每辆运方，则大货车每辆运方，
依题意得：，解得：，
经检验：是方程的解，
则大货车为：．
答：小货车每辆运输方，大货车每辆运输方．
设小货车有辆，则大货车有辆．
依题意得：，
解得：，
则大货车为辆．
答：大货车需要辆，小货车需要辆．
【解析】本题主要考查了分式方程及一元一次方程的应用，根据题意找到相等关系是关键．
设小货车每辆运方，则大货车每辆运方，根据大货车运立方米与小货车运立方米车辆数相同列出分式方程解答即可；
设小货车有辆，则大货车有辆，根据每天需运出立方米泥土列出一元一次方程解答即可．
第1页，共1页鲁教版五四制八年级数学第一章因式分解单元测试
一、选择题
下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
下列分解因式正确的有个( )
；
；
；
．
A. B. C. D.
代数式，，中的公因式是( )
A. B. C. D.
下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
若可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为( )
A. B. C. ， D. ，
已知，，则的值是( )
A. B. C. D.
下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A. B. C. D.
分解因式的结果是( )
A. B. C. D.
若，，则代数式的值为( )
A. B. C. D.
已知，，是的三条边，且，则一定是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 以上答案都不对
二、填空题
因式分解：____________．
甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为乙看错了，分解结果为，则 ．
如图是由一个边长为的小正方形和一个长、宽分别为，的小长方形组成的大长方形，则整个图形可表达出一个有关多项式因式分解的等式，请写出这个等式 ．
已知，则代数式的值等于______．
多项式能用完全平方式分解因式，则的值为______．
已知，，，若，结合上面各式的规律，可得______．
三、计算题
分解因式：
；
．
四、解答题
18.阅读下面分解因式的过程，并回答问题：
上述分解因式的方法是________，共运用了________次；
若将分解因式，则需运用上述方法________次，分解因式的结果是________；
请你直接写出将为正整数分解因式的结果。
19.已知，，求的值．
20.某校“数学社团”活动中，小亮对多项式进行因式分解．
．
以上分解因式的方法叫做“分组分解法”，请你在小亮解法的启发下，解决下面问题：
因式分解；
已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了因式分解的意义，利用把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的意义求解即可．
【解答】
解：、是单项式转化成几个整式积的形式，故A不符合题意；
B、是整式的乘法，故B不符合题意；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；
故选D．
2.【答案】
【解析】解：，故错误；
，故错误；
，故正确；
，故正确；
即正确的有个，
故选：．
根据因式分解的定义和因式分解的方法逐个判断即可．
本题考查了因式分解的定义和方法，能熟记因式分解的方法是解此题的关键．
3.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查找出式子中的公因式，关键是熟练掌握确定公因式的方法根据找公因式的方法：系数找最大公约数，字母找相同字母的最低次幂，据此解答即可．
【解答】
解：，，
，，中的公因式是：．
故选C．
4.【答案】
【解析】解：没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意；
B.没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意；
C.把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意；
D.是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．
5.【答案】
【解析】解：可以用完全平方公式进行因式分解，
，
解得：或．
故选：．
利用完全平方公式判断即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，
把，代入，
原式．
故选：．
通过观察与已知式子的特点，发现先将提公因式法因式分解后，即可将问题解决．
本题考查提公因式法因式分解，找准公因式是关键．
7.【答案】
【解析】解：无法分解因式，故此选项不合题意；
B.无法分解因式，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.无法分解因式，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：．
故选：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：
当，时，
原式．
故选：．
首先化简，然后把，代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
10.【答案】
【解析】解：，
或，
，，是的三条边，
，
，，
一定是等腰三角形．
故选：．
根据，推得，即可判断出一定是等腰三角形．
此题主要考查了因式分解的应用，以及等腰三角形的特征和应用，要熟练掌握．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有项，可采用完全平方公式继续分解．
【解答】
解：原式．
故答案是：．
12.【答案】
【解析】
【分析】此题考查因式分解与多项式相乘是互逆运算，利用对应项系数相等是求解的关键．
【解答】
解：分解因式，甲看错了，但是正确的，他的分解结果为，，同理，乙看错了，但是正确的，他的分解结果为，
，因此．
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】
【解析】解：由，得到，
则原式，
故答案为：．
原式提取公因式变形后，将已知等式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
15.【答案】或．
【解析】解：由题意得：
，
，
，
或，
或，
故答案为：或．
利用完全平方公式，进行计算即可解答．
本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：根据规律得：，
．
故答案为：．
根据规律得到即可得出答案．
本题考查了平方差公式，规律型：数字的变化类，等式两边都乘构造公式是解题的关键．
17.【答案】解：
；
．
【解析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
首先找出公因式，进而提取公因式得出答案；
首先提取公因式，进而分解因式得出答案．
18.【答案】解：提公因式法；；
；；
原式
．
【解析】
【分析】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，根据已知得出分解因式的规律是解题关键．
根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；
根据已知分解因式的方法可以得出答案；
由中计算发现规律进而得出答案．
【解答】
解：上述分解因式的方法是提取公因式法，共应用了次，
若分解因式：，
则需应用上述方法次，结果为；
见答案．
19.【答案】解： ，，
．
【解析】本题为代数式求值，考查了因式分解提公因式法，考查整体思想，熟练掌握提公因式法分解因式是解本题的关键．
原式提取公因式变形后，将与的值代入计算即可求出值．
20.【答案】解：
是等腰三角形．
理由如下：
．
．
，
．
，，是的三边，
．
，
是等腰三角形．
【解析】首先前三项利用完全平方公式，再利用平方差公式分解．
先因式分解找到，，的关系，再判断三角形的形状．
本题考查用分组分解法进行因式分解，观察多项式特征，正确分组是求解本题的关键．
第1页，共1页
