华东师大版数学八年级上册13.4　尺规作图　课堂提升训练（含解析）

2022-2023学年度华东师大版八年级数学上册
课堂提升训练
第13章　全等三角形
13.4　尺规作图
知识点1　作一条线段等于已知线段
1.(2022浙江杭州余杭月考)如图,已知线段a,b,c.用直尺和圆规作△ABC,使BC=a,AC=b,AB=c.
知识点2　作一个角等于已知角
2.如图是作△ABC的作图痕迹,则此作图的已知条件是(　　)
A.已知两边及其夹角
B.已知三边
C.已知两角及其夹边
D.已知两边及一边对角
3.(2022北京一六一中学期中)用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出∠A'O'B'=∠AOB的依据是　　　　　　　　.
4.(2022独家原创)如图,D是△ABC的边BA延长线上一点,AB=BC,∠B=40°,观察图中的作图痕迹,求∠CAE的度数.
知识点3　作已知角的平分线
5.(2022河北黄骅期末)如图,已知在△ABC中,∠A=20°,∠C=60°,嘉淇通过尺规作图得到BD,交AC于点D,根据其作图痕迹,可得∠ADB的度数为(　　)
A.120°　　　　　B.110°　　　　　C.100°　　　　　D.98°
6.已知∠AOB,求作射线OC,使OC平分∠AOB,那么作法的合理顺序是(　　)
①作射线OC;
②在射线OA和OB上分别截取OD、OE,使OD=OE;
③分别以D、E为圆心,大于DE的长为半径在∠AOB内作弧,两弧交于点C.
A.①②③　　　　　B.②①③　　　　　C.②③①　　　　　D.③①②
7.(2022吉林长春吉大附中期中)如图,在△ABC中,∠A=50°,∠B=80°,观察图中尺规作图的痕迹,则∠DCE的度数为　　　　.
知识点4　经过一已知点作已知直线的垂线
8.如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)过点C作直线CD⊥AB,垂足为D;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)与∠ACD相等的角为　　　　.
知识点5　作已知线段的垂直平分线
9.(2021广东深圳模拟)根据图中尺规作图的痕迹,可判断AD一定为三角形的(　　)
A.角平分线　　　　　B.中线
C.高线　　　　　 D.都有可能
10.(2022四川三台期中)如图,已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.
步骤1:以C为圆心,CA长为半径画弧①;
步骤2:以B为圆心,BA长为半径画弧②,交弧①于点D;
步骤3:连结AD,交BC的延长线于点H.
下列叙述正确的是(　　)
A.AB=AD
B.BH⊥AD
C.S△ABC=BC·AH
D.AC平分∠BAD
11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC(1)动手操作:要求尺规作图,不写作法,但保留作图痕迹.
①作出线段AB的垂直平分线MN,MN与AB交于点D,与BC交于点E;
②连结AE,过点B作BF垂直于AE,垂足为F.
(2)推理证明:求证AC=BF.
能力提升全练
12.(2021辽宁盘锦中考,7,)如图,已知直线AB和AB上一点C,过点C作直线AB的垂线,步骤如下:
第一步:以点C为圆心,以任意长为半径作弧,交直线AB于点D和点E;
第二步:分别以点D和点E为圆心,以a为半径作弧,两弧交于点F;
第三步:作直线CF,直线CF即为所求.
下列关于a的说法正确的是(　　)
A.a≥DE的长　　　　　B.a≤DE的长
C.a>DE的长　　　　　D.a13.(2021四川广元中考,6,)观察下列作图痕迹,所作线段CD为△ABC的角平分线的是(　　)
　　　　　　　　　
A 　　　　　　B 　　　　　　C 　　　　　　D
14.(2020广东深圳中考,8,)如图,在△ABC中,AB=AC,在AB,AC上分别截取AP,AQ,使AP=AQ,再分别以点P,Q为圆心,以大于PQ的长为半径作弧,两弧在∠BAC内交于点R,作射线AR,交BC于点D.若BC=6,则BD的长为(　　)
A.2　　　　　B.3　　　　　C.4　　　　　D.5
15.(2022山西平定期中,18,)如图,已知等腰△ABC的顶角∠A=36°.
(1)根据要求用尺规作图:作∠ABC的平分线交AC于点D;(不写作法,只保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,证明:△BDC是等腰三角形.
素养探究全练
16.[逻辑推理]数学课上,探讨角平分线的作法时,李老师用直尺和圆规作角的平分线,作法如下(如图1):
①在OA和OB上分别截取OD、OE,使OD=OE.
②分别以D、E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.
③作射线OC,则OC就是∠AOB的平分线.
　　
图1　　　　　　　　　　　　图2
小聪只带了直角三角板,他发现利用三角板也可以作角的平分线,作法如下(如图2):
①利用三角板上的刻度,在OA和OB上分别截取OM、ON,使OM=ON.
②分别过M、N作OM、ON的垂线,交于点P.
③作射线OP,则OP为∠AOB的平分线.
小颖的身边只有刻度尺,经过尝试,她发现利用刻度尺也可以作角的平分线.
根据以上情境,解决下列问题:
(1)李老师用尺规作角的平分线时,用到的三角形全等的判定方法是　　　　;
(2)小聪的作法正确吗 请说明理由.
答案全解全析
基础过关全练
1.解析　如图,△ABC即为所求.
2.C　观察题图可知,已知∠CAB=α,线段AB,∠CBA=β,故选C.
3.全等三角形的对应角相等
解析　连结CD、C'D'(图略).根据作图过程可知OC=O'C',OD=O'D',CD=C'D',
∴△OCD≌△O'C'D'(S.S.S.),
∴∠A'O'B'=∠AOB(全等三角形的对应角相等).
4.解析　∵AB=BC,∴∠C=∠BAC.∵∠B=40°,∴∠C===70°.由作图痕迹知∠DAE=∠B=40°,∴AE∥BC,∴∠CAE=∠C=70°.
5.B　∵∠A=20°,∠C=60°,
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=100°,
由作图可知,BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠ABC=50°,
∴∠ADB=180°-∠A-∠ABD=110°,
故选B.
6.C　根据作一个角的平分线的过程可知:作法的合理顺序是②③①.故选C.
7.65°
解析　∵∠A=50°,∠B=80°,且∠ACD是△ABC的外角,
∴∠ACD=∠A+∠B=50°+80°=130°,观察图中尺规作图的痕迹,可得CE 平分∠ACD,
∴∠DCE=∠ACD=×130°=65°.
8.解析　(1)如图,直线CD即为所求.
(2)∵∠ACB=∠ADC=90°,∴∠A+∠ACD=90°,∠A+∠B=90°,∴∠ACD=∠B,故答案为∠B.
9.B　由作图可知,D是线段BC的中点,故AD是中线,故选B.
10.B　由作图可知,直线BC是线段AD的垂直平分线,故选B.
11.解析　(1)①②如图所示:
(2)证明:∵ED垂直平分AB,∴AD=BD,∠ADE=∠BDE=90°,
在△ADE和△BDE中,∴△ADE≌△BDE(S.A.S.),
∴EA=EB,
∵BF⊥AE,∴∠BFE=90°=∠C,
在△ACE和△BFE中,
∴△ACE≌△BFE(A.A.S.),∴AC=BF.
能力提升全练
12.C　由经过一点作已知直线的垂线的作法可知a>DE的长,故选C.
13.C　A、D选项中的线段CD为△ABC的高,B选项中的线段CD为△ABC的中线,C选项中的线段CD为△ABC的角平分线.故选C.
14.B　∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,
由作图可得,AR平分∠BAC,
∴BD=BC=×6=3,
故选B.
15.解析　(1)如图所示,BD即为所求.
(2)证明:∵∠A=36°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=(180°-36°)÷2=72°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°,
∴∠CDB=180°-36°-72°=72°,
∴∠C=∠CDB,
∴BD=BC,
∴△BDC是等腰三角形.
素养探究全练
16.解析　(1)S.S.S..
(2)小聪的作法正确.理由如下:
∵PM⊥OM,PN⊥ON,∴∠OMP=∠ONP=90°,
在Rt△OMP和Rt△ONP中,
∴Rt△OMP≌Rt△ONP,
∴∠MOP=∠NOP,∴OP平分∠AOB.