上海市浦东新区重点中学2023届高三上学期9月开学考试数学试题（含答案）

浦东新区重点中学2023届高三上学期9月开学考试数学试题
一 填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1. 已知集合，若，则_______.
2. 若复数z满足（i为虚数单位），则______.
3. 已知数列为等差数列，其前n项和为若，则______．
4. 展开式中常数项为________.
5. 已知向量，，则向量在向量的方向上的投影向量为______
6. 双曲线焦点到渐近线的距离为__________．
7. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是________
8. 一名信息员维护甲乙两公司的5G网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________
9. 将函数的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是______．
10. 已知中，，，，在三角形所在的平面内有两个动点和，满足，，则的取值范围是______
11. 已知有限集，如果A中元素满足：，就称A为n元“均衡集”．若是二元“均衡集”，则的取值范围是__．
12. 函数满足对任意都成立，其值域是，已知对任何满足上述条件的都有，则的取值范围为___________.
二 选择题（本大题共4题，满分20分）
13. 已知，，则是的（ ）条件
A 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分又非必要
14. 已知，则的最小值为（ ）
A. 50 B. 49 C. 25 D. 7
15. 若动点 分别在直线和上移动，则的中点到原点距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
16. 已知表示大于的最小整数，例如，，下列命题中正确的是（ ）
①函数的值域是；
②若是等差数列，则也是等差数列；
③若是等比数列，则也是等比数列；
④若，则方程有2022个解.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
三 解答题（本大题共有5题，满分76分）
17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，，直线与平面所成的角为.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成的角的大小.
18. 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
（1）证明：；
（2）求集合中元素个数．
19. 某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，，（单位：米），E、F为BC上的两点，且，区域为休息区，和区域均为活动区．设．
（1）求、的长（用的代数式表示）；
（2）为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？
20 已知函数.
（1）求函数在处切线方程；
（2）若对任意，恒成立，求的取值范围；
（3）当时，设函数，对于任意的，试确定函数的零点个数，并说明理由.
21. 已知，是其左右焦点，，直线过点交于两点，在轴上方，且 在线段上，
（1）若是上顶点，，求；
（2）若，且原点到直线的距离为，求直线；
（3）证明：对于任意 ，使得的直线有且仅有一条.
浦东新区重点中学2023届高三上学期9月开学考试
数学试题答案
一 填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
【1题答案】
【答案】
【2题答案】
【答案】2
【3题答案】
【答案】12
【4题答案】
【答案】
【5题答案】
【答案】
【6题答案】
【答案】1
【7题答案】
【答案】
【8题答案】
【答案】0.88
【9题答案】
【答案】
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
二 选择题（本大题共4题，满分20分）
【13题答案】
【答案】A
【14题答案】
【答案】B
【15题答案】
【答案】C
【16题答案】
【答案】D
三 解答题（本大题共有5题，满分76分）
【17题答案】
【答案】（1）；
（2）．
【18题答案】
【答案】（1）证明略；
（2）．
【19题答案】
【答案】（1）米，米；
（2）当为时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为平方米.
【20题答案】
【答案】（1）
（2） （3）1个，理由略
【21题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）证明略